3. Задача о назначении (проблема выбора, задача о женихах и невестах).

Один из видов этих задач рассматривался в разделе «Элементы теории графов» («Паросочетания»). В общем виде эта задача формулируется так.

Имеется nисполнителей, которые могут выполнятьnразличных работ. Известна полезность, связанная с выполнениемi-м исполнителемj-й работы. Необхо-димо назначить исполнителей на работы, чтобы добиться максимальной полезности при условии, что каждый исполнитель может быть назначен только на одну работу и за каждой работой должен быть закреплен только один исполнитель.

Для составления математической модели задачи обозначим через факт назна-чения или неназначенияi-го исполнителя наj-ю работу. Так как количество исполнителей равно количеству работ и каждый из них может быть назначен только на одну работу, тодолжны принимать только два значения: 1 или 0.

Итак, приходим к следующей математической модели задачи: найти план назна-чения , который масимизирует суммарную полезность назначений

при следующих ограничениях: каждый исполнитель назначается только на одну работу

,

на каждую работу назначается только один исполнитель

,

условие неотрицательности и целочисленности (булевости)

.

Легко видеть, что задача о назначении – частный случай транспортной задачи при . Однако с учетом специфики задачи для ее решения разработаны специаль-ные, более эффективные, алгоритмы.

4. Задача коммивояжера (бродячего торговца).

Математическая модель этой задачи была введена в разделе «Элементы теории графов» («Гамильтонов цикл»).

18.2. Суть методов дискретной оптимизации.

Во всех случаях решение ЗЦП, казалось бы, может быть найдено обычными мето-дами с отброшенными условиями целочисленности и последующим округлением нецелых переменных в ответе. Однако такое округление может привести к решению, далекому от оптимального. Рассмотрим, например, геометрическую интерпретацию задачи дискрет-ного линейного программирования.

С практической точки зрения подобный подход допустим в тех случаях, когда значения переменных, образующих оптимальной решение исходной задачи, достаточно велики и погрешностями округления можно пренебречь.

В первом приближении методы целочисленной оптимизации можно разделить на две основные группы: точные и приближенные. К точным относятся методы отсечения и комбинаторные методы (метод ветвей и границ). Это универсальные методы дискретной оптимизации. Кроме универсальных, имеется много специальных точных методов, учи-тывающих специфику задачи. Однако точные методы имеют слабую сходимость. Многие экспериментальные и прикладные задачи не удалось решить точными методами за десят-ки и сотни тысяч итераций, хотя их конечность теоретически доказана. Трудности машин-ной реализации точных методов привели к появлению различного рода приближенных методов, построенных на использовании особенностей конкретной задачи. Среди прибли-женных методов наметились два направления: 1) разработка детерминированных эврис-тических алгоритмов, учитывающих специфику задачи; 2) использование случайного поиска в сочетании с локальной оптимизацией.

Общая идея решения задачи дискретного программирования методами отсечения состоит в следующем. Исходная задача решается сначала без учета ограничений целочис-ленности. Если полученный оптимальный план удовлетворяет условиям целочисленности, то задача решена. В противном случае к ограничениям исходной задачи добавляется но-вое, обладающее следующими свойствами: 1) полученный нецелочисленный план нару-шает это ограничение; 2) любой целочисленный допустимый план исходной задачи заве-домо удовлетворяет и новому ограничению. Затем задача решается с учетом нового ограничения. В случае необходимости добавляется еще одно ограничение и т.д. Геомет-рически каждому новому ограничению соответствует поверхность, которая отсекает от области допустимых решений некоторую его часть с оптимальной точкой с нецелыми координатами, но не затрагивает ни одной из целочисленных точек этого многогранника.

На основе этой идеи американский математик Р.Гомори предложил ряд сходящих-ся алгоритмов решения задач дискретного линейного программирования. Ему удалось обосновать правила построения дополнительных ограничений и доказать конечность алгоритмов.

Для решения задач дискретного (особенно нелинейного) программирования получили широкое распространение комбинаторные методы направленного частичного перебора допустимых планов. Из них наиболее универсален метод ветвей и границ.