П.18. Дискретное программирование.

18.1. Классические задачи целочисленного программирования.

Задачи, сформулированные в терминах линейного программирования и содержа-щие требование «все или некоторые – целые числа», играют важную роль в исследо-ваниях различных прикладных проблем. Такие задачи были объединены в один раздел математического программирования, который называетсядискретным программиро-ванием.

Дискретное программирование– раздел математического программирования, изу-чающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные налагается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна.

Существует огромное количество задач с дискретной природой. Прежде всего, это задачи с физической неделимостью многих факторов и объектов расчета. Дискретными являются задачи с логическими переменными, принимающие только два значения – нуль или единица (вариант отвергается или принимается).

Иногда дискретное программирование называется целочисленным. Этот термин некоторые математики считают неправильным, так как, строго говоря, дискретное – не обязательно целочисленное. Например, ряд вместимостей (в м³) 1,3; 1,6; 1,9; … - дискретный, но не целочисленный. Отсюда целочисленное программирование правильно считать частным случаем дискретного.

В формальном плане область определения задач целочисленного программиро-вания (ЗЦП) представляют собой совокупность конечного числа точек (если все целочисленные) или множество непересекающихся линий, плоскостей, гиперплоскостей (если целочисленные лишь отдельные). Соответствующие коррективы вносятся и в методологию поиска оптимальных решений, причем серьезные трудности вызывает раз-работка теоретически обоснованных методов получения экстремальных плана задачии значения целевой функции.

Прежде чем прейти к рассмотрению методов решения ЗЦП, сначала обратимся к некоторым моделям задач данного раздела.

1. Общая задача целочисленного программирования.

Математическая модель задачи имеет такой же вид, как модель ЗЛП, только на переменные накладывается условие целочисленности, т.е. .

2. Задача о контейнерных перевозках (задача о рюкзаке).

Эта задача формулируется так. Контейнер оборудован mотсеками вместимостьюдля перевозкиnвидов продукции. Виды продукции характе-ризуются свойством неделимости, т.е. их можно брать в количестве 0, 1, 2, … единиц. Пусть– расходi-го отсека для перевозки единицыj-й продукции. Обозначим черезполезность единицыj-й продукции (это может быть цена реализации, прибыль и др.). Требуется найти план(– количество единицj-й продукции, погруженной в контейнер) перевозки, при котором максимизируется общая полезность рейса. Модель задачи примет вид

при ограничениях на вместимость отсеков

,

условии неотрицательности

,

условии целочисленности.

- целые

Задача о рюкзаке является частным случаем задачи о контейнерных перевозках. В задаче о рюкзаке предусмотрены перевозки с одним отсеком и каждый вид продукции (предмет) может быть взят или нет, т.е. :, если предметj-го вида берется, ив противном случае.