2.3. Теоремы сложения и умножения. Формула включений и исключений.

В машиностроении рассматриваются конечные множества. Чтобы подсчитать число элементов конечного множества, образованного в результате объединения или пересечения некоторых конечных множеств, используется комбинаторный анализ. Мы рассмотрим теоремы сложения и умножения, а так же формулу включений и исключений.

Теорема 2.2.(Теорема сложения)

Пусть – конечные попарно непересекающиеся множества, т.е.. Тогда

(2.3.1.)

Доказательство.Докажем теорему методом математической индукции.

Базис индукции. Пустьn=2. Пусть множестваX₁=AиX₂=B, мощности которых соответственно равныk₁иk₂, т.е.A=k₁,B=k₂. Так какAB=, то

.

Индуктивный переход. Пусть теорема верна дляn. Покажем, что дляn+1 будет тоже справедливо. Тогда

■

Теорема 2.3.(Теорема умножения)

Пусть заданы конечные множества . Тогда

(2.3.2.)

т.е. число элементов декартова произведения множеств равно произведению количеств элементов сомножителей.

Доказательство.Докажем теорему методом математической индукции.

Базис индукции. Пустьn=2. Пусть множестваX₁=AиX₂=B, мощности которых соответственно равныk₁иk₂, т.е.A=k₁,B=k₂. Первый компонент упорядоченной пары можно выбратьk₁способами, второй –k₂способами. Таким образом, всего имеетсяk₁k₂различных упорядоченных пар. Значит,

.

Индуктивный переход. Предположим справедливость утверждения теоремы дляn. Покажем, что дляn+1 оно будет тоже справедливо. В самом деле, добавляя еще одно множество в декартово произведение, видим, что

■

Пример ..Сколько существует целых чисел между 0 и 1000, содержащих ровно одну цифру 6?

Решение.ПустьS– множество целых чисел между 0 и 1000, содержащих ровно одну цифру 6. Рассмотрим три подмножестваS₁,S₂иS₃множестваS.

S₁– множество, которое содержит число, состоящее из одной цифры, и эта цифра 6;

S₂– множество, содержащее двузначные числа ровно с одной цифрой, равной 6;

S₃– множество, содержащее трехзначные числа ровно с одной цифрой, равной 6.

Множество S₁содержит только один элемент – число 6. Значит, S₁=1.

В множестве S₂каждый элемент, содержащей 6, имеет ее либо первой, либо второй цифрой. Если 6 – вторая цифра, то существует 8 различных чисел, которые будут стаять на первом месте, поскольку первое число не может быть 0 или 6. Если 6 – первая цифра, то таких чисел 9, поскольку вторая цифра не может быть 6. Таким образом,S₂содержит 8+9=17 элементов, т.е. S₂=17.

Элемент из S₃содержит 6 как первою, вторую или третью цифру. Если 6 – первая цифра, то существует 9 вариантов выбора второй цифры и 9 вариантов выбора третьей цифры. Согласно комбинаторному принципу умножения,S₃содержит 99=81 чисел с первой цифрой. Если 6 – вторая цифра, то имеются 9 вариантов выбора третьей цифры и 8 вариантов выбора первой цифры, поскольку первая цифра не может быть нулем. Следовательно,S₃содержит 98=72 числа, у которых 6 – вторая цифра. Аналогично,S₃содержит 72 числа, у которых 6 – третья цифра. Следовательно, всегоS₃содержит 81+72+72=225 элементов, т.е.S₃=225.

Поскольку и множестваS₁,S₂иS₃попарно непересекающиеся, то

.



Поставим задачу подсчитать число элементов в объединении

X=X₁X₂…X_m

конечных множеств , которые могут иметь непустые пересечения между собой, т.е. объединение может быть не разбиением. В общем случае имеет место следующая теорема, которую нетрудно доказать методом математической индукции. Но мы примем теорему без доказательства.

Теорема 2.4.(Формула включений и исключений).

Для конечных множеств , справедлива формулавключений и исключений.

(2.3.3.)

В частности для двух множеств эта формула примет вид:

.

Для трех множеств формула включений и исключений примет вид:

.

Название этой теоремы подчеркивает использование последовательных включений и исключений элементов подмножеств.

Пример ..Сколько положительных целых чисел, меньших 1001, делятся на 2, 3 или 5?

Решение.ПустьX– множество положительных целых чисел, которые делятся на 2, 3 или 5. Рассмотри три подмножестваX₁,X₂иX₃множестваX.

X₁– множество положительных целых чисел, которые делятся на 2. Число элементов или мощность этого множества равно.

X₂– множество положительных целых чисел, которые делятся на 3. Число элементов или мощность этого множества равно.

X₃– множество положительных целых чисел, которые делятся на 5. Число элементов или мощность этого множества равно.

Тогда множество X₁X₂– множество положительных целых чисел, которые делятся на 2 или 3. Число элементов или мощность этого множества равно. МножествоX₁X₃– множество положительных целых чисел, которые делятся на 2 или 5. Число элементов или мощность этого множества равно. МножествоX₂X₃– множество положительных целых чисел, которые делятся на 3 или 5. Число элементов или мощность этого множества равно.

Множество X₁X₂X₃– множество положительных целых чисел, которые делятся на 2, 3 или 5. Число элементов или мощность этого множества равно.

Воспользуемся формулой включения и исключения, чтобы найти число элементов множества X. Получаем

