MATLAB_Lab_all / Лабораторная работа 3 mathlab

Лабораторная работа №3

Решение эллиптических уравнений

Эллиптические уравнения возникают во многих задачах физики и техники: исследование прогиба нагруженной мембраны, давления газа в неоднородном силовом поле, стационарного распределения тепла или электрического потенциала и т.п. В этих задачах предполагается, что внешние воздействия не зависят от времени, а начальные условия были заданы достаточно давно, так что система успела подстроиться к ним и перейти в стационарный режим. Типичным случаем является задача Дирихле с уравнением Пуассона и краевыми условиями первого рода. На еѐ примере и рассмотрим особенности численного решения эллиптических уравнений.

и граничным условиям общего вида:

где G – граница области (граница квадрата), s – длина дуги вдоль границы G (определеямая х или y координатами вдоль соответствующей части границы), f и φ – заданные функции.

Запишем конечно-разностный аналог уравнения (1). Для этого введѐм на рассматриваемой области равномерную сетку с N+1 узлами (xi, yj) = (ih, jh) и шагом h = 1/N. Тогда после замены производных в (1) на их трѐхточечную аппроксимацию получим:

Несложно видеть, что (2) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно ui,j. Решать эту систему общими методами линейной алгебры (например, Гаусса) невыгодно, поскольку они, как правило, не учитывают сильную разреженность матрицы системы. Вместо этого используют специальные методы как прямые, так и итерационные. Итерационные методы обычно не обладают высокой скоростью, зато более универсальны, не зависят от геометрии расчѐтной области и легче программируются. Далее рассмотрим один из простейших итерационных методов решения эллиптических уравнений – счѐт на установление.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу с теми же граничными условиями (2), но с уравнением параболического типа (уравнение теплопроводности):

и с произвольным начальным условием , также удовлетворяющим граничным условиям (2). Можно показать, что решение данной задачи в пределе стремится к решению исходного уравнения (1) с граничными условиями (2). Поэтому далее будем решать нестационарную задачу до установления, для чего перепишем разностную схему (3) в соответствии с новой постановкой в виде:

где была использована конечно разностная аппроксимация производной по времени и введѐн «временной шаг» τ. Такая схема называется явной, поскольку с еѐ помощью мы имеем возможность непосредственно по известным значениям находить неизвестные на следующем «временном слое». При этом устойчивый счѐт по явной схеме

возможен при условии:

Итерации продолжаются, пока невязка задачи (1) не окажется меньше наперѐд заданного числа ε<1. Отметим, что сходимость итераций по схеме (5) имеет место и в случае расчѐтной области произвольной формы. Кроме того, схему (4-5) можно обобщить и на случай задачи Дирихле с переменными коэффициентами, что позволяет решать задачи, заданные в криволинейных системах координат.

Задание

1. Решить численно эллиптические уравнения используя счѐт на установление:

при

при

при

при

Принять ε=10-4.

2.Оптимизировать вычисления в циклах, используя индексацию массивами, и сравнить выигрыш по времени.

3.В процессе решения на каждой десятой итерации построить графики приближений решения уравнения и локальной невязки, используя графические возможности MatLab.