Downloads / Статы (1) / Статы / помощь предков / Шпоры по задачам / zada4i nark
.doc
Зад. 2. Установление колебаний в генераторе происходит по экспоненциальному закону A(t) = A0exp(t), где А0 – случайная величина. Найти: а) закон распределения амплитуды колебаний в фиксированный момент времени; б) закон распределения времени достижения фиксированного значения амплитуды; в) наиболее вероятное время достижения фиксированного значения амплитуды.
Решение:
а)
Пусть известно
,
причём
,
где Т – фиксированный момент времени.
Тогда:
б)
Пусть
- фиксир. знач. амплитуды, распределен.
времение его достижения необход. найти
в)
Наиболее вероятое время достижения
фиксированного значения амплитуды
находится из условия максимума функции
,
т.е.
Задача 22.
Получить функцию распределения 2-х случайных (в общем случае - зависимых) величин.
Решение (без комментариев):
Задача 24.
Найти закон распределения и среднее значение случайного модуля радиус-вектора R2
= x2 + y2, если x и y независимы и имеют нормальные распределения с нулевыми средними и одинаковой дисперсией D.
Решение:
3.
На цепь, состоящую из последовательно
соединенных полупроводникового диода
и сопротивления R,
воздействует стационарный нормальный
шум с нулевым средним значением и
дисперсией 2.
Вольт-амперная характеристика диода
имеет вид:
где u
– напряжение на диоде. Определить
среднее значение и дисперсию тока в
цепи.
Решение:
Введём
величину
19, На вход идеального усилителя с частотной характеристикой K(j) = K0/(1 + j) подключена последовательная RLC-цепь. Найти мощность флуктуаций на выходе усилителя
Решение:
4.
Найти спектр мощности белого шума после
прохождения через резонансный контур,
описываемый уравнением
.
Решение;
пусть
5.
На резонансный контур воздействует
случайный импульс f(t).
Найти соотношение между площадями
импульса на входе и на выходе контура:
и
,
если он описывается уравнением
.
Решение;
пусть
Задача 21.
Найти средний интервал между импульсами в пуассоновском случайном процессе со средней частотой 0.
Решение:
В пуассоновском процессе распределение импульсов по времени совпадает с распределением Пуассона:
где
= 0
- средняя частота (из определения
пуассоновского процесса среднее число
импульсов <n>
= t;
отсюда, соответственно 0).
Вероятность того, что на интервале [0;t]
не придет ни одного импульса равна
.
Вероятность того, что за промежуток
[t;t+dt]
придет 1 импульс равна dt
(по определению). Рассмотрим вероятность
того, что на [0;t]
не будет импульсов, а на [t;t+dt]
придет 1 импульс:
Средний интервал между соседними импульсами
11.
На элемент низкочастотного фильтра
воздействует внешняя сила, случайным
образом изменяющая параметр фильтра.
Исходя из уравнения фильтра
определить порог параметрической
нестабильности для первого момента m1
= <x>.
Получить уравнение для момента mn
= <xn>.
Определить порог параметрической
нестабильности для
.
Решение:
Перепишем
уравнение в виде
тогда т.к.
,
то
Усредим уравнение:
Т.к. одно из следствий ур. ФПК есть то,
что
,
где
опр-ся из
то
и поэтому ур. примет вид
Усл.
затухания exp:
,
т.е. нестабильность есть
Рассмотрим задачу для n-го
мом. Пусть
,
тогда т.к.
получим
т.е.
=> пары нестабильности
12, Найти характеристические функции распределений:
w(x) = a/(a2 + x2); w(x) = aexp(–a|x|)/2.
Решение:
1)
т.к.
то
2)
15
На
вход RC-фильтра
с полосой пропускания
подается белый шум (t)
с параметрами <>
= 0, <(t)(t
+ )>
= 2C().
Используя уравнение фильтра
найти мощность <x2>
и корреляционную функцию <x(t)x(t
+ )>
флуктуаций на выходе.
Решение:
20 Найти мощность флуктуаций на выходе идеального усилителя с частотной характеристикой K(j) = K0/(1 + j), если на вход подключена цепь, состоящая из параллельно соединенных сопротивления R и конденсатора С.
Решение:
Задача 25
Задача 22. Получить функцию распределения суммы двух случайных (в общем случае – зависимых) величин
Пусть:
то
есть:
Для
независимых
и
:
Задача 25
Задача 26
то есть гаусс на выходе
Задача 26 Найти стационарное распределение вероятностей для процесса y(t), удовлетворяющего уравнению y'(t) + ay(t) = x(t), если x(t) – белый шум со спектральной интенсивностью G0
то есть гаусс на выходе
Задача 17. Выразить дисперсию, функцию корреляции и спектр мощности производной стационарного случайного процесса через статистические параметры самого процесса.
Зад.
3.
На цепь, состоящую из последовательно
соединенных полупроводникового диода
и сопротивления R,
воздействует стационарный нормальный
шум с нулевым средним значением и
дисперсией 2.
Вольт-амперная характеристика диода
имеет вид:
где u
– напряжение на диоде. Определить
среднее значение и дисперсию тока в
цепи.
Решение:
Введём
величину
Зад.
4. Найти спектр мощности белого шума
после прохождения через резонансный
контур, описываемый уравнением
.
Решение;
пусть
Задача 18
Зад.
5. На резонансный контур воздействует
случайный импульс f(t).
Найти соотношение между площадями
импульса на входе и на выходе контура:
и
,
если он описывается уравнением
.
6. Найти распределение вероятности случайного сигнала на выходе квадратичного детектора, если на вход подается гауссов шум, а характеристика детектора имеет вид y = x2.
8. На входы перемножителя подаются два статистически независимых стационарных случайных процесса x1(t) и x2(t). Выразить спектр сигнала на выходе перемножителя y(t) = x1(t)x2(t) через спектры входных процессов.
Задача №6.
Характеристика
детектора:
;
На входе гауссов шум:
;
Тогда мы можем записать:
Здесь
Задача№7
Квадратичный
детектор имеет такую характеристику:
.
По теореме Винера-Хинчина мы можем записать:
Найдем функцию автокорреляции:
Для распределения Гаусса известно следующее соотношение:
Здесь
- гауссовы функции;
Таким
образом, полагая
:
Нам
нужна функция автокорреляции входного
сигнала. Спектр на входе как спектр
гауссова шума равен:
.
Тогда для
:
Найдем ее квадрат:
Окончательно для спектра шума на выходе получим:
Если
спектр входного шума имеет прямоугольную
форму, то на выходе детектора мы получим:
Задача№8
По теореме Винера-Хинчина мы можем записать выходной спектр через функцию корреляции выходного сигнала:
;
Найдем нужную нам функцию корреляции:
Это
справедливо, так как
и
-
независимы. Найдем функции автокорреляции
обоих входных сигналов:
Тогда получим спектр сигнала на выходе:
Задача№9
Возьмем исходное уравнение:
Сделаем
такую замену:
;
Тогда исходное уравнение примет вид:
Усредним это уравнение:
;
В силу того, что:
,
мы получим:
;
Тогда уравнение упрощается:
;
;
Таким образом получим:
;
Отсюда,
т.к.
,
получим:
Задача№10
Воспользуемся уравнением ФПК:
;
В
нашем случае
Для
дельта-коррелированного сигнала с
нулевым средним (т.е. для которого
и
),
существует следствие уравнения ФПК:
Здесь
штрихом обозначена производная по
,
точкой – производная по времени, а
- произвольная функция;
Пусть
.
В этом случае получим:
Выполним элементарные преобразования:
Т.к.
- стационарный случайный процесс, то
.
Таким образом мы получаем второй момент
величины
:
;
Для нахождения функции автокорреляции воспользуемся теоремой Винера-Хинчина:
Величину
можно выразить через спектр входного
шума:
,
где
,
т.к.
- белый шум;
Найдем
.
Положим для этого
В этом случае из исходного уравнения получим:
,
отсюда:
Домножим на комплексно сопряженное, получим:
Тогда функция автокорреляции:
Т.к.
Таким образом:
Найдем,
чему равно
:
Тогда
окончательно получим:
Задача 18
Задача 22.
Пусть:
то
есть:
Для
независимых
и
:
