матан

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Пусть E R – произвольное множество. Будем говорить, что +∞ (−∞) является предельной точкой множества E, если в любой ε-окрестности +∞ (−∞) имеется хотя бы одна точка множества E, другими словами, когда множество E не ограничено сверху (снизу).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2. Пусть E R – произвольное множество, имеющее +∞ в качестве предельной точки. Будем говорить, что функция y = f(x), заданная на E, имеет пре-

делом A R при x → +∞, если для всякой ε-окрестности A найдется δ(ε)-окрестность +∞ такая, что при изменении x в δ(ε)-окрестности +∞ значения f(x) лежат в ε-окрестности A.

Запишем определения некоторых пределов:

ε > 0 : δ > 0 x : a < x < a+δ, для которого f(x) < ε.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулировать и доказать критерий Коши существования пределов f(x) → ±∞ при x → ±∞.

Таким образом, функция имеет при x → ±∞ асимптоту y = 2x + 1.

§11. Асимптотические формулы. Классификация бесконечно малых

Пусть y = f(x) и y = g(x) = 0 – функции с общей областью определения, имеющей точку a в качестве точки сгущения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Говорят, что f(x) и g(x) функции одного порядка при x → a, и пишут

f(x) = O(g(x)) (x → a),

если существует постоянная M > 0 : x = a и достаточно близких к a выполнено

−M < f(x) < M. g(x)

84 Глава 3. Непрерывные функции и их свойства

ПРИМЕР 1. Мы имеем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Говорят, что f(x) эквивалентна g(x) при x → a, и пишут

f(x) g(x) (x → a) ,

если

lim f(x) = 1.

x→a g(x)

Отметим некоторые пары эквивалентных функций: 1. sin x x (x → 0).

Доказательство было дано ранее (первый "замечательный" предел).

2. 1 − cos x x22 (x → 0).

Доказательство.

Доказательство. Воспользуемся формулой

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + . . . + abn−2 + bn−1)

для a = (1 + x)1/n, b = 1. Имеем:

Здесь использована непрерывность функции y = ln x. (В каком именно месте?)

С другой стороны,

ln(1 + x)α = ln{[(1 + x)α − 1] + 1},

ln([(1 + x)α − 1] + 1) (1 + x)α − 1 (x → 0) .

Легко видеть, что отношение эквивалентности транзитивно и

потому

αx (1 + x)α − 1 (x → 0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.3. Говорят, что функция y = f(x)

является бесконечно малой при x → a, если lim f(x) = 0.

x→a

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.4. Будем говорить, что y = f(x) есть бесконечно малая по сравнению с y = g(x) при x → a, и писать

f(x) = o(g(x)) (x → a),

если

lim f(x) = 0.

x→a g(x)

ПРИМЕР 2. Функции f(x) = sin2 x и g(x) = x бесконечно малые при x → 0. Справедливо равенство

sin2 x = o(x) (x → 0).

Другими словами, функция sin2 x стремится к нулю быстрее, чем x.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Поясните, что означает запись f(x) = o(1) при x → a.

Все формулы указанного выше вида называются асимптотическими формулами.

ТЕОРЕМА 11.1. Функция y = f(x) имеет пределом в точке a число A тогда и только тогда, когда функция (f(x) − A) является бесконечно малой при x → a.

Доказательство. Пусть lim f(x) = A. Тогда ясно, что

x→a

lim(f(x) − A) = 0. Это означает в свою очередь, что (f(x) −

x→a

A) – бесконечно малая при x → a.

Обратно. Пусть (f(x) − A) – бесконечно малая при x → a.

Тогда lim(f(x) − A) = 0. Отсюда по теореме о пределе раз-

x→a

ности lim f(x) − A = 0.

x→a

Пусть α(x) бесконечно малая при x → a. Если f = o(αn(x)) при x → a, то бесконечно малая f называется бесконечно малой порядка n относительно бесконечно малой α (если f = o(α(x)) при x → a, то говорят, что f является бесконечно малой более высокого порядка, чем α).

В таком случае простейшими бесконечно малыми естественно назвать бесконечно малые вида

C · αK(x), C ≡ const = 0, K > 0.

Говорят, что бесконечно малая β(x) (x → a) имеет порядок K > 0 по сравнению с бесконечно малой α(x), если

(здесь ε(x) – бесконечно малая при x → a). Таким образом,

β(x) = C · αK(x) + ε(x)[C · αK(x)]

или

β(x) = CαK(x) + o(αK(x)) (x → a).

Иногда, вместо того, чтобы записывать формулу (3), говорят, что CαK(x) является главной частью бесконечно малой β(x) по сравнению с бесконечно малой α(x). Другими словами, выражение "CαK(x) является главной частью бесконечно малой β(x) по сравнению с бесконечно малой α(x)" означает, что бесконечно малые α(x) и β(x) связаны соотношением (3) или, что равносильно, соотношением (2).

ПРИМЕР 3. Предположим, что основная бесконечно малая α(x) при x → 0 есть x. Выделим главные части других бесконечно малых

a) β(x) = 1 −cos(x). Главная часть β(x) равна x22 при x → 0.

б) β(x) = tg x − sin x. Тогда

β(x) = tg x − sin x.

Отношения двух таких многочленов:

f(x) = a0xm + . . . + am b0xn + . . . + bn

называются дробно-рациональными функциями. Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных

функций образует класс рациональных функций, т.е. класс функций, получаемых в результате операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую положительную степень, примененных к значениям аргумента x и некоторых постоянных.

Если над аргументом x кроме перечисленных алгебраических операций производится еще извлечение корня конечное число раз и результат не является рациональной функцией (корень не извлекается), то получается иррациональная функция.

ПРИМЕР 1. Функция

5x2 + 4x − 7 f(x) = 3 √

3x2 − 8 x + 4

является иррациональной.

Совокупность всех рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций. В общем случае алгебраической функцией называется многозначная функция y(x), определяемая неявно посредством уравнения

p0(x)yn + p1(x)yn−1 + . . . + pn−1(x)y + pn(x) = 0,

где n – целое положительное, а коэффициенты p0(x), p1(x),

. . . , pn(x) – целые рациональные функции. Всякая не алгебраическая функция называется трансцендентной функцией. Простейшие (элементарные) трансцендентные функции – это функции вида:

y = ax (a > 0, a = 1), y = loga x (a > 0, a = 1), y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

и обратные к ним.

Функции алгебраические, элементарные трансцендентные и их конечные комбинации называются элементарными функциями.

Поскольку элементарные функции определяются как результат конечного числа операций над простейшими функциями и сохранение свойства непрерывности при таких действиях установлено, то достаточно проверить непрерывность

90 Глава 3. Непрерывные функции и их свойства

функций

y = xα (α > 0), y = sin x, y = ex.

ПРИМЕР 2. Функция y = ax = exln a есть результат суперпозиции функций y = et и t = x ln a.

ПРИМЕР 3. Мы имеем y = cos x = ± 1 − sin2 x.

В качестве примера докажем непрерывность функции y = sin x. Доказательство непрерывности показательной функции и экспоненты можно найти в более объемных учебниках по анализу.

ТЕОРЕМА 12.1. Функция y = sin x непрерывна при всех x R.

| sin x − sin x0| ≤ 2 | sin x −2 x0 | ≤ |x − x0|

для любого x. Поэтому, из условия x → x0 следует, что

sin x → sin x0.