матан

y

C

B

x

0 A x

Пусть угол BOA = x. Площадь сектора ОВА равна x2 . Площадь OBA равна 12 sin x. Площадь OCA равна 12 tg x. Так как

Действительно, пусть x < 0. Положим y = −x. Тогда y > 0

иx (−π4 , 0) имеем

1 − sin x = 1 − sin(−y) = 1 − sin y. x (−y) y

Учитывая данное равенство, неравенство (3) непосредственно следует из (2).

Докажем существование предела. Пусть ε > 0 – произволь-

Тогда x = 0 : |x| < δ(ε) заключаем, что |x| < π4 и, значит,

справедливо неравенство (3). Тогда, пользуясь (3), находим, что

§6. Простейшие свойства предела функции. Односторонние пределы

ТЕОРЕМА 6.1. Предположим, что заданные на одном и том же множестве функции f(x) и g(x) имеют при x → a пределами A и B соответcтвенно. Тогда

1) функции f(x)±g(x), f(x)·g(x) имеют при x → a пределы, причем

lim(f(x) ± g(x)) = A ± B,

x→a

lim(f(x) · g(x)) = AB;

x→a

Доказательство. Пусть {xn} → a, (xn = a, n = 1, 2, . . .) –

произвольная последовательность точек из области определения функций f(x) и g(x). Последовательности {f(xn)} и {g(xn)} имеют пределы A и B. Пользуясь соответствующим утверждением для последовательностей, заключаем о существовании пределов последовательностей

lim f(xn) · g(xn) = AB.

n→∞

В силу произвола в выборе последовательности {xn}, из теоремы 4.1, получаем требуемое.

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть y = f(x) и y = g(x) – функции с общей областью определения X R, и a – точка сгуще-

ния X. Пусть также существуют пределы lim f(x) = A

x→a

и lim g(x) = B. Тогда, если

x→a

f(x) ≤ g(x) x X,

то A ≤ B.

Доказательство. Пусть {xn} → a (xn = a, n = 1, 2, . . .) –

произвольная последовательность. Тогда f(xn) ≤ g(xn) n = 1, 2, . . . . Пользуясь теоремой о предельном переходе в неравенстве для последовательностей, заключаем, что A ≤ B.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Покажите, что в условиях теоремы достаточно выполнения неравенства f(x) ≤ g(x) в некоторой окрестности точки a.

ТЕОРЕМА 6.3. Пусть y = f(x), y = g(x), y = h(x)

функции с общей областью определения X R и a – точка сгущения X. Предположим, что

Тогда, если

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) x X,

то существует lim h(x) = A.

x→a

Докажите самостоятельно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Говорят, что функция y = f(x) имеет пределом число A при x → a справа (слева), если для любой последовательности точек {xn} → a, xn > a (xn < a) выполнено f(xn) → A. Обозначения:

В случае a = 0 используем специальные обозначения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2. Говорят, что функция y = f(x) имеет пределом число A при x → a справа (слева), если

ε > 0 δ(ε) > 0 : x > a (x < a), |x − a| < δ(ε)

выполнено |f(x) − A| < ε.

ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда lim f(x) обозначают символом

x→a+0

f(a + 0), а lim f(x), соответственно, символом f(a − 0).

x→a−0

ТЕОРЕМА 6.4. Определения 6.1 и 6.2 предела функции в точке справа и слева эквивалентны.

Доказательство. Рассуждения почти дословно повторяют доказательство теоремы об эквивалентности для двустороннего предела.

ТЕОРЕМА 6.5. Двусторонний предел функции при x → a существует тогда и только тогда, когда существуют порознь и равны между собой односторонние пределы данной функции в указанной точке.

Доказательство. Ясно, что если существует двусторонний предел, то существуют порознь и равны между собой односторонние пределы.

Обратно, предположим, что существуют lim f(x) = A.

x→a±0

Зададим ε > 0. Тогда существуют δ1(ε), δ2(ε) > 0 такие, что

Положим δ(ε) = min{δ1(ε), δ2(ε)}. При |x − a| < δ(ε) неравенства (1) и (2) выполняются одновременно, а потому существует

lim f(x) = A.

x→a

УПРАЖНЕНИЕ 2. Сформулировать и доказать теоремы о единственности предела функции в точке и о единственности односторонних пределов функции в точке.

§7. Монотонные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Функция y = f(x) называется

iii)невозрастающей, если x1 < x2 выполнено f(x1) ≥ f(x2),

iv)неубывающей, если x1 < x2 выполнено f(x1) ≤ f(x2).

Функции перечисленных классов называются монотонными.

ТЕОРЕМА 7.1. Если y = f(x) монотонна на интервале (a, b), то в каждой точке x0 (a, b) существуют односторонние пределы справа и слева.

Доказательство. Предположим, что f(x) неубывает на интервале (a, b). Фиксируем x0 (a, b). Тогда для всех x (a, x0) выполнено

Пусть Y – область значений сужения f(x) на интервале (a, x0). В силу соотношения (1) множество Y ограничено сверху числом f(x0). Обозначим

c = sup Y = sup f(x).

x (a,x0)

Покажем, что c = lim f(x). Зададим произвольно ε > 0.

x→x0−0

По определению точной верхней грани функции, найдется точка x (a, x0) такая, что

y = f(x ) > c − ε.

Положим δ(ε) = x0 − x . Тогда x (x0 − δ(ε), x0), выполнено x < x < x0 и потому

f(x ) ≤ f(x) ≤ c.

Тем самым,

0 ≤ c − f(x) ≤ c − f(x ) < c − (c − ε) = ε,

т.е. c = lim f(x). Аналогичным образом устанавливается

x→x0−0

существование предела справа.

ЗАМЕЧАНИЕ. В процессе доказательства теоремы мы доказали также следующее утверждение: если y = f(x) неубывает (невозрастает) на интервале (a, x0) и ограничена сверху

(снизу), то она имеет предел lim f(x).

x→x0−0

§8. Второй "замечательный" предел

ТЕОРЕМА 8.1. Справедливо равенство

1

lim(1 + x)x = e.

x→0

Доказательство. Покажем, что

1

lim (1 + x)x = e.

x→+0

Будем использовать определение предела справа в смысле Гейне. Пусть xn > 0, xn → 0 при n → ∞ – произвольная последовательность. Выберем целые числа Kn так, чтобы

1

Kn ≤ xn < Kn + 1.

§9. Критерий Коши существования предела функции

ТЕОРЕМА 9.1. Для того, чтобы функция y = f(x) имела предел при x → x0 необходимо и достаточно, чтобы

ε > 0 δ(ε) > 0 : x = x0, x = x0,

|x − x0| < δ(ε), |x − x0| < δ(ε)

выполнялось

|f(x ) − f(x )| < ε.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что

lim f(x) = A. Покажем, что функция удовлетворяет усло-

x→x0

вию критерия Коши. Зададим произвольно ε > 0. Т.к. f(x) → A, при x → x0, то

получаем

|f(x ) − f(x )| = |f(x ) − A + A − f(x )| ≤

≤ |f(x ) − A| + |f(x ) − A| < 2ε + 2ε = ε.

Достаточность. Пусть y = f(x) удовлетворяет в окрестно-

сти x0 условию Коши. Покажем, что lim f(x). Восполь-

x→x0

зуемся определением предела функции в точке "на языке" последовательностей (т.е. в смысле Гейне). Пусть {xn} – произвольная последовательность такая, что xn = x0, xn → x0

при n → ∞. Требуется доказать, что существует lim f(xn).

n→∞

Зададим ε > 0. Найдем δ(ε), участвующее в формулировке критерия Коши. Так как xn → x0 , то по определению предела последовательности

N(δ(ε)) : n > N(δ(ε)) выполнено |xn − x0| < δ(ε)

(воспользовались ). Поэтому

|f(xn) − f(xm)| < ε n, m > N(δ(ε)).

Таким образом, последовательность {f(xn)} является фундаментальной. Согласно критерию Коши для последовательностей она имеет предел.

Покажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности {xn}. Предположим противное, т.е. найдутся последовательности {xn} и {xn} такие, что

xn = x0, xn = x0, lim xn = lim xn = x0

n→∞ n→∞

и

заключаем, что последовательность {f(xn )} предела не имеет. Получаем противоречие.

Глава 3

Непрерывные функции и их свойства

§1. Непрерывность и разрывы функции

Пусть y = f(x) – функция, определ¨енная на множестве E R, и пусть x0 E – точка сгущения множества E.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Говорят, что y = f(x) непрерывна в точке x0, если

lim f(x) = f(x0).

x→x0

Если предела функции в точке не существует или предел существует, но не равен значению функции в этой точке, то такая точка называется точкой разрыва функции.

Если точка x0 не является точкой сгущения (т.е. является изолированной точкой области определения), то о пределе в этой точке (а, следовательно, о непрерывности или разрывах функции) говорить нельзя.

ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда вопрос о пределе функции в изолированной точке множества ее определения решается несколько иначе. А именно, считают по определению, что предел всегда существует и равен f(x0). Соответственно, функция в изолированной точке области определения всегда непрерывна.

Если обозначить через ∆x = x−x0 приращение аргумента, а через ∆f = f(x) − f(x0) – приращение функции, то f(x)

непрерывна в x0 тогда и только тогда, когда lim ∆f = 0.

∆x→0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Говорят, что y = f(x) непрерывна в точке x0 справа (слева), если