2. Эффект дохода

Эффектом дохода в свою очередь называется изменение объема спроса, вызванное исключительно изменением реального дохода при неизменности относительных цен товаров. Общее изменение объема спроса на некоторый товар, вызванное изменением цены этого товара, называется общим эффектом изменения цены и представляет собой, таким образом, сумму эффекта замены и эффекта дохода.

То есть мы просто изменяем доход потребителя с т' на т,сохраняя цены постоянными на уровне (p₁', p₂). Вследствие этого изменения мы попадаем на рисунке 2. из точки (у₁, у₂) в точку (z₁,z₂)- Это последнее движение естественно именовать эффектом дохода, поскольку мы изменяем только доход, сохраняя цены фиксированными на новом уровне.

Говоря более строго, эффект дохода Δxⁿ₁, есть изменение спроса на товар 1при изменении дохода с т' до т и сохранении цены товара 1 постоянной на уровне p₁' :

Δxⁿ₁= x₁(p₁',m) – x₁(p₁',m'). (6)

Эффект дохода может действовать двояким образом: он ведет либо к повышению, либо к понижению спроса на товар 1 в зависимости от того, о каком товаре идет речь — нормальном или низшей категории.

При снижении цены необходимо уменьшать доход, чтобы сохранить покупательную способность постоянной. Если товар — нормальный, то такое уменьшение дохода приведет к сокращению спроса. Если товар является товаром низшей категории, уменьшение дохода приведет к увеличению спроса[1, стр. 163].

3. Общее изменение спроса

Общее изменение спроса Δx₁ есть изменение спроса, вызываемое изменением цены при сохранении дохода постоянным:

Δx₁= x₁(p₁',m) – x₁(p₁,m). (7)

Это изменение можно подразделить на два изменения: эффект замещения и эффект дохода. Или, пользуясь принятыми выше обозначениями:

Δx₁= Δx^S₁+ Δxⁿ₁ (8)

Если выразить смысл данного уравнения словами, то оно говорит о том, что общее изменение спроса равно сумме эффекта замещения и эффекта дохода. Это уравнение называется тождеством Слуцкого.

Суть тождества Слуцкого состоит не в том, что оно представляет собой алгебраическое тождество — это математическая тривиальность. Суть данного тождества заключается в интерпретации двух членов в правой части: эффекта замещения и эффекта дохода. В частности, мы можем применить то, что нам уже известно о знаках эффектов дохода и замещения, чтобы определить знак общего эффекта.

2. Математическое значение уравнения Слуцкого

Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого.

Это уравнение позволяет увязать действие эффекта дохода с результирующим изменением спроса.

Основное матричное уравнение:

можно записать следующим образом:

= (9)

Решение этой системы относительно показателей сравнительной статики по спросу имеет вид:

(10)

(12)

(11)

Здесь - обратная матрица Гессе, а - скалярная величина. Можно показать, что поэтому скаляр можно интерпретировать как коэффициент убывания предельной полезности денег.

Сравнивая (11) и (12) замечаем, что

Сопоставляя это уравнение с (10), получаем

(13)

Равенство (13) называется уравнением Слуцкого. Это же уравнение называют основным уравнением теории ценности.

В координатной форме уравнение Слуцкого выглядит так:

(14)

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены (т. е. компенсированное изменение цены на спрос), второе – действие эффекта дохода (влияние изменения дохода на спрос), выраженное в тех же единицах измерения. Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.

Перепишем уравнение следующим образом:

(15)

Из (4) следует, что матрица влияния замены симметрична и отрицательно определена. Из отрицательной определенности следует

(16)

Отсюда вывод 1– компенсированное возрастание цены товара приводит к уменьшению спроса на этот товар.

Из симметричности матрицы влияния замены и уравнения (15) получаем:

Поэтому уравнение Слуцкого, в частности, означает, что:

(17)

Здесь производная называется влиянием на спрос (на j – й товар) изменения частной цены (цены j - го товара). Равенство (17) используют для характеристики типов товаров.

Товар вида j называется:

1) нормальным, если ;

2) товаром Гиффина, если ;

3) ценным, если ;

4) малоценным, если .

Два товара i и j являются:

А) взаимозаменяемыми, если ;

Б) взаимодополняемыми, если .

На графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности!

Как следует из (16) и (17), должно быть:

С учетом условия приходим к следующим выводам:

А) если , то обязательно ;

Б) если , то обязательно .

Отсюда вывод 2, товар Гиффина не может быть ценным, т. е. он обязательно малоценный.

В общем случае каждый товар попадает в одну из следующих категорий.

1. нормальный и ценный (;);

2. нормальный и малоценный (;)

3. товар Гиффина и малоценный (;).

Выпишем и проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной задачи потребительского выбора с функцией полезности:

Пусть U (x₁,x₂) = x₁ * x₂ → max, тогда

(18)

(19)

, (20)

(21)

(22)

Отсюда

, (23)

и (24)

Итак, в обоих случаях уравнения Слуцкого (при i = j и при ij) здесь выполнены.