Q = ∂ H ′
PP = −∂Q H ′
Очевидно, что вид канонической системы будет сохраняться в том случае, когда для функции Лагранжа, соответствующей функции Гамильтона в новых переменных
H ′(Q, P,t ), будет справедлив принцип наименьшего действия:
∫ |
dt |
q p |
− H = 0 |
|
p dq |
− Hdt = |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
dt |
|
Q P |
− H |
′ |
= 0 |
|
P dQ |
′ |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− H dt |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
P dQ +(H |
′ |
− H )dt |
|
||
dA := p dq − Hdt − P dQ − H dt = p dq − |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p = ∂q A |
P = −∂Q A |
|
∂t A = H ′− H |
|
|||||
где A = A(q,Q,t ) – производящая функция. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Прочие производящие функции получаются из данной с помощью преобразований Лежандра по переменным q и Q .
Типы производящих функций и результат преобразования.
(проверить!)
функция |
результат |
|
уравнения |
|
A(q,Q,t ) |
H ′(Q, p,t ) |
p = ∂q A |
P = −∂Q A |
∂t A = H ′− H |
B (p,Q,t ) |
H ′(q,Q,t ) |
q = −∂p B |
P = −∂Q B |
∂t B = H ′− H |
C (p, P,t ) |
H ′(q, P,t ) |
q = −∂pC Q = ∂PC ∂tC = H ′− H |
||
D (q, P,t ) |
H ′(P, p,t ) |
p = ∂q D Q = ∂P D ∂t D = H′− H |
||
Канонические преобразования – преобразования, осуществляемые с помощью данной производящей функции.
q, p – канонически сопряжённые величины ([1] с. 187)
Точечные преобразования являются частным случаем канонических преобразований
([1] с. 186)
Q = Q (q, p,t ) P = P (q, p,t )
9. Преобразования Лоренца и их геометрическая интерпретация. Пространство Минковского.
Пространство Минковского – пространство R4 со «скалярным произведением»:
x, y R4 x y := x0 y0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 =: xα yα
Замечание. Введённое таким образом «скалярное произведение» имеет следующие свойства:
x y = y x
αx + β y z =α x z + β y z
В отличие от «обычного» скалярного произведения НЕ выполняется свойство положительной определённости: x x ≥ 0 .
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov e-mail: DavydTsurikov@mail.ru 11
Общие принципы вывода преобразований Лоренца.
1.Формулы, связывающие координаты двух инерциальных систем отсчёта.
2.Обеспечение постоянства скорости света.
3.Надгруппа группы O3 .
4.Новые координаты – непрерывные функции старых.
Данным требованиям удовлетворяют линейные преобразования. Заметим также, что
преобразование должно переводить конус x x = 0 в себя, это обеспечивает постоянство скорости света.
([2] с. 166):
Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) – группа вещественных линейных преобразований пространства Минковского: вращения и трансляции.
Полная группа Лоренца – подгруппа группы Пуанкаре, соответствующая ортогональным преобразованиям: вращениям в пространстве Минковского.
Подгруппы полной группы Лоренца.
Ортохронная группа Лоренца – преобразования с L00 > 0 . Преобразования сохраняют
знак временной компоненты времениподобных векторов.
Собственная группа Лоренца – преобразования с L00 > 0 , det L =1. Сохраняет ориентацию (правую или левую) осей координат в обычном пространстве.
Можно показать, что в случае перехода к движущейся системе отсчёта без поворота осей, получим:
|
|
L = |
1 |
|
|
L = L = − |
|
|
X |
i |
|
L |
= L |
=δ + |
|
|
Xi X j |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|||||||||||
|
|
00 |
|
X |
|
|
0i |
i0 |
|
|
|
X |
|
|
ij |
|
|
ji |
ij |
X |
|
X |
+1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
X – положение движущейся системы отсчёта, |
X := ∂0 X := |
1 |
∂t X |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Раскрыв выражения: |
|
|
= − a υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a −1υυ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L = a = |
1 |
|
|
|
L |
= L |
|
|
|
|
|
L |
=δ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1−υ2 / c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
00 |
|
|
|
0i |
i0 |
|
c |
i |
|
|
|
|
ij |
|
ij |
|
υ2 |
i j |
|
|
|
|
|
|
|||||
где υ – скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной
+релятивистский закон сложения скоростей, сокращение масштабов, растяжение времени.
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov |
e-mail: DavydTsurikov@mail.ru 12 |
Термодинамика. Молекулярная физика. Статистическая физика.
10. Тепловая машина Карно. Коэффициент полезного действия.
Имеется изолированная система с неравновесной подсистемой. Требуется, чтобы при стремлении к равновесию работа была максимальной.
Утв. Максимальная работа достигается в случае обратимого процесса, т.е. при dS = 0 (адиабатический процесс).
dE =TdS − PdV + μdN |
|
dR = dE −TdS − μdN |
dR = −PdV |
|
|
|
|
R – работа, совершаемая над системой ( R = −A – работа, совершаемая системой)
Машина Карно реализует обратимый процесс:
1.dT = 0 , передача тепла от нагревателя рабочему телу
2.dS = 0 , совершение работы рабочим телом: адиабатическое расширение
3.dT = 0 , передача тепла рабочим телом холодильнику
4.dS = 0 , адиабатическое сжатие
|
η =1−T1 /T2 |
КПД машины Карно |
T1 – температура холодильника |
T2 – температура нагревателя: T2 >T1 |
|
+получение выражения для КПД машины Карно ([3] с. 128)
11. Термодинамическое и статистическое определение энтропии. Неравенство Клаузиуса. Второе начало термодинамики.
|
|
|
Определение энтропии |
Термодинамическое |
Статистическое |
||
|
|
|
S = − ln ρˆ |
|
TdS := dQ |
||
Для необратимых процессов выполняется неравенство Клаузиуса: dQ <TdS
Второе начало термодинамики. Нельзя осуществить такой периодически действующий двигатель, который производил бы положительную работу только за счёт тепла, полученного от одного тела (нагревателя): часть тепла неизбежно должна передаваться другому телу (холодильнику). ([3] с. 129)
12. Равновесие фаз. Уравнение Клапейрона–Клаузиуса.
|
P1 = P2 T1 =T2 μ1 = μ2 |
Условие равновесия фаз |
|
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov |
e-mail: DavydTsurikov@mail.ru 13 |
||
Уравнения Клапейрона–Клаузиуса
|
1 |
μ1 (P,T )= μ2 |
(P,T ) dT μ1 (P,T )= dT μ2 (P,T ) |
|
|||||||
|
... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∂T μ1 +∂P μ1∂T P = ∂T μ2 +∂P μ2∂T P (∂P μ2 −∂P μ1 )∂T P = ∂T μ1 −∂T μ2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dQ=TdS |
1 |
|
|
||
|
(∂NV2 −∂NV1 )∂T P = −∂N S1 +∂N S2 |
∂N (V2 |
−V1 )∂T P = |
|
∂N Q |
|
|||||
|
T |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲ |
∂T P = |
q |
q := ∂N Q, |
υi := ∂NVi |
Уравнение Клапейрона–Клаузиуса |
||||||
|
, |
||||||||||
T (υ2 −υ1 ) |
|||||||||||
Пояснения.
1.Случай отсутствия внешних полей.
2.Соотношения между производными т/д величин.
Обозначения.
q – количество теплоты на одну частицу
υi – объём, приходящийся на одну частицу в i –ой фазе
13. Явление переноса: диффузия и теплопроводность.
уравнение |
название уравнения |
величины |
||
∂t c = D |
c |
диффузии |
c – концентрация |
|
D – коэффициент диффузии |
||||
|
|
|
||
∂tT = χ |
T |
температуропроводности |
χ – коэффициент температуропроводности |
|
∂tυ = η |
υ |
вязкого течения |
η – коэффициент вязкости |
|
ρ |
|
|
ρ – плотность |
|
Замечание. В газах и жидкостях уравнение температуропроводности не выполняется из-за наличия конвекции.
|
|
Уравнения для потоков |
уравнение |
поток |
коэффициент |
q = −κ T |
q – поток тепла |
κ – коэффициент теплопроводности |
j = −α T |
j – диффузионный поток |
α – … |
χ, D υl |
|
Оценка порядка коэффициентов. |
υ – средняя тепловая скорость |
l – длина свободного пробега |
14. Распределение молекул по скоростям.
Утв. Распределение молекул по скоростям описывается распределением Максвелла вне зависимости от наличия взаимодействия между ними.
+явный вид распределения Максвелла, доказательство утверждения
GosPhys8 v7.02 Copyright © 2006 Davyd Tsurikov |
e-mail: DavydTsurikov@mail.ru 14 |