5. Малые колебания системы материальных точек. Свободные колебания. Затухающие колебания.

систему с N степенями свободы. Функция Лагранжа

Собственные частоты.

L (q, q)=T (q, q)−U (q)

Получили спектральную задачу на собственные частоты, что эквивалентно решению характеристического уравнения:

▲det (V −ω2M )= 0

Пояснения.

1.Квадратичное приближение по q

2.Выбор СК: точка устойчивого равновесия в начале координат

3.Необходимое условие устойчивого равновесия: ∂qU (0)= 0

4.Выбор начала отсчёта для энергии: U (0)= 0

Замечание. Решение исходной задачи записывается в виде разложения:

)Mij1/ 2 w( j) , Ck C

Затухающие колебания.

Из II закона Ньютона: x + 2αx +ω02 x = 0

6. Вынужденные колебания. Явление резонанса.

II закон Ньютона при наличии внешней силы: x + 2αx +ω02 x = f0e−iΩt

Интересуемся случаем, когда t → ∞ , т.е. частным решением уравнения. Анзац: x (t )= AeiΩt

При Ω =ω := ω02 −α2 наблюдается явление резонанса – существенное возрастание амплитуды колебаний. Т.е. точка Ω = ω02 −α2 – точка глобального максимума функции

A .

+применение анзаца, схематическое изображение АЧХ с пояснениями.

7. Кинематика и динамика твердого тела. Тензор инерции. Момент инерции. Уравнения Эйлера.

Абсолютно твёрдое тело (АТТ) – система материальных точек, расстояния между которыми неизменны. ([1] с. 126)

r = r0 + ρ – радиус-вектор точки в неподвижной СК r0 – радиус-вектор начала координат подвижной СК

ρ– радиус-вектор точки в подвижной СК.

υ:= r = r0 +ω ×ρ – скорость произвольной точки АТТ в неподвижной СК ω – угловая скорость

M := ∫dmr ×υ – момент инерции

M= ∫dmr ×υ = ∫dm(r0 + ρ)×(υ0 +ω ×ρ)=

= ∫dmr0 ×υ0 + ∫dmr0 ×[ω ×ρ]+ ∫dmρ ×υ0 + ∫dmρ ×[ω ×ρ]

Физический смысл.

∫dmr0 ×υ0 – описывает движение центра масс

M вн. := ∫dmρ ×[ω ×ρ] – внутренняя часть момента количества движения

Частные случаи.

T вн. = 12 ∫dm(ω ×ρ)2 = 12 ∫dmεijkωj ρkεilmωl ρm = 12 ∫dmε jkiεlmiωj ρkωl ρm =

= 12 ∫dm(δjlδkm −δjmδkl )ωj ρkωl ρm = 12 ωjωl ∫dm(δ jl ρm ρm − ρl ρj )= 12 ωjωl I jl

Пояснения.

1.Уравнения движения АТТ в неподвижной системе координат.

2.Переход в подвижную СК ([1] с. 148)

3.Полагаем, что тензор инерции приведён к диагональному виду: оси подвижной СК направлены по главным осям инерции

Преобразование Лежандра.

Идея: преобразование поверхности от координат точки (переменных x) к координатам касательной плоскости (переменным ξ ). Поверхность рассматривается как огибающая

семейства её касательных плоскостей.

Ограничения: неприменимо для развёртывающихся поверхностей: det{∂xi ∂x j u}ij = 0

Преобразование Лежандра для функции n переменных:

Функция Гамильтона получается из функции Лагранжа с помощью преобразования Лежандра по переменной q :

H (q, p,t ):= q p − L(q, q,t ) Функция Гамильтона

где p := ∂q L – импульс. Записывая функцию Гамильтона, требуется избавиться от переменной q , поскольку функция Гамильтона является функцией координат, импульсов и времени.

Утв. Уравнение Лагранжа эквивалентно канонической системе уравнений, т.е.

Потребуем, чтобы каноническая система сохранялась в новых переменных Q, P :