Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

357.47 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

6.5 Исследование функций и построение их графиков.

Общая схема исследования функции

А. Общая характеристика.

1.Область определения функции.

2.Четность (нечетность) функции, осевая симметрия.

3.Асимптоты графика функции:

а) вертикальные,

б) невертикальные.

4.Множество значений функции.

Б. Локальная характеристика.

5. Точки экстремума и интервалы монотонности функции.

6.Точки перегиба графика функции, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

Результаты исследования удобно свести в таблицу. Используя полученные результаты, строим график функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

y= x23x−1 .

Решение.

А. Общая характеристика.

1. Область определения функции D(x) = (−∞; −1) (−1;1) (1; +∞) .

Точки разрыва x = −1, x =1 .

2. Проверим четность функции:


y(−x) =	3(−x)			= −		3x		= −y(x) , значит, функция нечетная, ее
	(−x)	2	−1		x	2	−1

график симметричен относительно начала координат.

3.Асимптоты:

а) вертикальные.

Функция имеет

две

точки

разрываx = −1,

x =1 , причем

lim

= −∞,

lim

= +∞

lim

= −∞ ,

lim

= +∞ .

x→−1−0

−1

x→−1+0 x

−1

x→1−0 x

−1

x→1+0 x

−1

следовательно, прямые

x = −1,

x =1 – вертикальные асимптоты.

б) невертикальные.

k = lim

= lim

= 0

(x2 −

1)x

x→∞ x

x→∞

x→∞ x2

−1

b = lim[y − kx]

= lim

− 0 x = 0

x→∞

−

следовательно,

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Б. Локальная характеристика.

4. Монотонность функции и точки экстремума.

Найдем производную y′

= −

3(x2 +1)

−1)

Стационарные точки первого рода:

а)

регулярные:

y′ = 0 (x2 +1) = 0 x2

= −1

вещественных

решений уравнение не имеет, значит, регулярных стационарных точек нет.

б)	нерегулярные:	y′	не	существует,	если
(x2 −1)2	= 0 x1 = −1, x2 =1, но	эти	точки не	входят в	область

определения функции. Данные точки разбивают числовую ось на

три интервала. Нетрудно убедиться,	что	в каждом интервале
(−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞) производная	y′	отрицательна, значит,

функция убывает на всей области определения. Точек экстремума нет.

5. Выпуклость,		вогнутость	графика	функции и точки
перегиба.
			6x(x2 + 3)
Найдем производную второго порядка y′′ =				(x2 −1)3		.
Стационарные точки второго рода:
а)	регулярные:	y′′ = 0 6x(x2	+ 3)= 0 x = 0		;
б)	нерегулярные: y′′ не		существует		(x2 −1)3= 0

x1 = −1, x2 =1 D(x).

Данные точки разбивают числовую ось на четыре интервала. На

интервалах	(−∞; −1) и (0;1)	y′′ > 0 и график	функции является
вогнутым.	На интервалах	(−1;0) и (1; +∞) y′′< 0	и график функции
является выпуклым.

Точка (0;0) является точкой перегиба графика функции.

Полученные данные объединяем в таблицу:

x	( −∞; −1)	-1	(-1;0)	0		(0;1)	1	(1; +∞)

y′	−	не	−		−	−	не	−
		сущ.					сущ.
y′′	−	не	+	0		−	не	+
		сущ.					сущ.
y	I	не	U		0	I	не	U
		сущ.			точка		сущ.
					перегиба
График функции:

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

y = x2 ln x .

Решение.

А. Общая характеристика.

1.Область определения функции D(x): x > 0 .

2.Четность функции: y(− x) не существует, функция общего

вида.

3.Асимптоты:

а) вертикальные.

Вертикальная асимптота может быть только в точке x = 0 (граница области определения). Найдем правосторонний предел в этой точке:

lim x	2	ln x = (0	∞)=	lim	ln x		∞
						=		=
					1	=		=
x→0+0				x→0+0	1		∞


					x2

lim

x→0+0

1


x			=

−23x

lim − x2 = 0 ,

x→0+0 2

т.к. предел в точке x = 0 конечен, то вертикальных асимптот график функции не имеет.

б) невертикальные.

k = lim	y	= lim	x2	ln x	= +∞ ,
k = lim	x	= lim		x	= +∞ ,
x→+∞	x	x→+∞		x
следовательно, невертикальных асимптот нет.
Б. Локальная характеристика.
4. Монотонность функции и точки экстремума.
Найдем производную y′ = 2x ln x + x = x(2 ln x +1) .
Стационарные точки первого рода:
а) регулярные: y′ = 0 x(2 ln x +1)= 0 x1 = 0 D(x), x2						= 1	;
						e
б) нерегулярных стационарных точек нет, т.к. y′							не
существует при x = 0 D(x).

Исследование функции на монотонность приведем в общей таблице.

5. Выпуклость, вогнутость графика функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка y′′ = 2ln x +3.

Стационарные точки второго рода:

а) регулярные:	y′′ = 0 2 ln x +3 = 0 ln x = −	3	x =	1	;
		2		e3

б) нерегулярных стационарных точек нет ( x = 0 D(x)).

Составим таблицу:

3 ;

;+ ∞

	y′	−		−	−		0		+
	y′′	−		0	+	+			+
		∩	−	3			1
		∩	−	3			1
	y			2e		−
	y			2e		−		2e
			точка					2e
			точка			min
			перегиба			min
			перегиба
График функции:

Упражнение 14. Исследовать функции и построить их графики:

1−

2x3

x ; 3) y =1−e−

2x3

y =

; 2) y = (x −3)

;4) y =

;5) y = 3

1− x3 .

x +

		Контрольные задания
I. Найти производные функций.
1.	а)	y = 2x3 + 53 x − 24 +1;			б) y =		ex	;
1.	а)	y = 2x3 + 53 x − 24 +1;			б) y =		cos3x	;
		x					cos3x
	в)	y = ln(x2 + 3x +1)2 .
2.	а)	y =5x2 − 4 + 27 x3	+ 5	;	б)	y =	1 − x2 arccos x			;
2.	а)	x2		;	б)					;
	в)	y = (x2 + 2x +1)3 .
3.	а)	y = 2x3 − 64 x3 + 7	− 4	;	б)	y = 2x sin 4x			;
3.	а)	x3		;	б)				;
	в) y = ln(x2 + 2).

4.а)

в)

5.а) в)

6.а)

в)

7.а)

в)

8.а)

в)

y = 2x2 −			3 +		63 − 2	;
			3 x		x
y = 3 cos 2x .
y =3x4 −			55 +		9 3 x2	+1;
			x		2
y = ln tgx .
y = 2x3 −				6 − 23 + 7 ;
			3 x2		x
y =tg3 5x .
y = x2 +			25 − 4		x + 6 ;
1		x

y =				.
	sin 3x2

y = 2x4 −				64 + 2 x3		+1;
			x	x
y = ln			x		.
y = ln	x	2	+1		.
	x		+1

б) y = 3x log3 x ;

б) y = (x2 +1) arctgx ;

б) y = x2 + 4x +5 ; cos x

б) y = tg2x ln 6x ;

б) y = ex + cos x ; sin x

9.а)

в)

10.а)

в)

11.а)

в)

12.а)

в)

13.а)

в)

14.а)

в)

15.а)

в)

16.а)

в)

17.а)

в)

y = 5x3 −	23 +3 x +5 ;
	x
y = e3x 2 +2 x +1 .
y = 6x2 +	42 −	3 −1	;
	x	3 x
y = cos(3x2 + 5x + 2).
y = 7x2 −	53 +	4 + 5	;
	x	6 x
y = 4 2x2 + 4x + 5 .
y = 3x2 −	62 − 3 + 4 ;
	x	x3
y = 2tg x .
y = 2x3 − 8 − 23 + 7 ;
	4 x3	x

y = ln 3x +1 .

y = 4x2 −	6 +		42 + 6	;
	3 x4	x
y = e 6 x −2 .
y =3x2 + 25 x6 −			63 + 4		;
			x

y =sin x2 +1 .

y = −4x3 + 3 5x + x34 −5 ; y = x2 cos2 x .

y = 5x4 + 6 + 24 x3 + 7	;
x3

y = ln5 (x − 2).

б)	y =	arcsin x	;
		2
		1 − x
б)	y =	5x2 + 6x +1		;
			2
		(x − 2)

= 2x3

б) y ex ;

б) y = (x2 + 4x)ln x ;

б) y = cosxx ;

б)	y =	sin x + cos x	;
		x − 2

б) y = 5x (x +1)5 ;

б) y = (x3 − x)ln x ;

б) y = cos x arcsin x ;

18.а) y = − 12 x4 − x33 + x54 + 6 ;

в) y = ctg x2 + 5 .

19.а)	y = 2 3 x4 −			52 + 6 ;
	3			x
в)	y = 4	x2 + cos x .
20.а)	y = −	42 + 63 x − x5 + 2 ;
		x		(x +1).
в)	y = arcsin2			(x +1).
21.а)	y = 44	x3 +		63 − 7x2	− 6	;
				x
в)	y =5 x 2 +4 x +1 .
22.а)	y = 4x3 −		3	+ 2x6 −11;
22.а)	y = 4x3 −		x4	+ 2x6 −11;
			x4
в) y = ln(x2 + 2).

23.а) y =5x2 + x43 − 52 4 x5 + 4 ;

в) y = 4cos 2 x .

24.а)	y =	1 x4	−	4		+	23	+ 5	;
		8		x3			x
в)	y = 5 sin 3 (x −π).
25.а)	y =	1 x3	+	6		−	75	− 6	;
		6	4	x3			x
в)	y = arctg2			1	.
в)	y = arctg2				.
				x

б) y = 4x arccos x ;

ex +5

б) y = x2 − 25 ;

б) y = lnxx−+1x2 ;

б) y = cos2 x ; x2 − 4

б) y = cos(x + 2)tgx ;

б) y = (3x3 + 4x)sin x ;

б) y = ex ctgx ;

б) y = arcsin x ; ln x

II. Провести полное исследование и построить графики функций.

1. а)

y =

−

−15x +1;

б)

y =

−5

− 4

2.а) y = 4x3 + x2 − 2x −5 ;

3.а) y = 23 x3 + x2 − 4x + 13 ;

4. а)

y = −

+ 6x −1 ;

5. а)

y =

−3x

+8x −1;

6. а) y = x3 +

−18x + 2 ;

7. а)

y =

x2 + 4x ;

8.а) y = 23 x3 + 92 x2 −5x −1;

9.а) y = x3 − 2x2 − 4x + 4 ;

10.а)

y = 2x3 −

−

4x +

;

11.а)

y =

−3x + 2 ;

12.а)

y = x3 − x2 −8x +1 ;

13.а)

y = x3 +

−

2x +

;

14. а)

y =

+ x +1;

15.а)

y =

+ 3x2 −

12x +

;

16.а)

y = x3 +

−

20x −

;

17. а)

y =

−12x −1;

б)

y =

x2 −1

б)

y =

1 + x

б)

y =

x3 −8

2x2

б)

y =

2x −1

(x −1)

б)

y =

−

б)

y =

2(x +

б) y = ln(x2 +1).

б) y = 1 +2x2 .

б) y = x2 + 9 .

б) y = 4 4+xx2 .

б) y = x2 +1 2x .

б) y = 4x3 + 5 . x

б) y = (x +3)2 . x2 +9

б) y =ln x x−1 .

б) y = (x + 2)2 . x2 + 4

б) y = 4x2 + 8x .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>