Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

357.47 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

второй производной или производной второго порядка от функции

y и обозначается y′′,	f ′′(x) или	d 2 y	.
		2
		dx

Аналогично определяют производные третьего, четвертого и более высокого порядка:

y′′′=(y′′)′, yIV =(y′′′)′,...,y(n) =(y(n−1))′.

Производная n-ого порядка обозначается и так:

y(n) = d n y . dxn

Примеры. Вычисление производных высших порядков:

а) y = 2x4 + 5x2 −3 , найти y ′′′ .

Решение. Дифференцируя функцию y = 2x4 + 5x2 −3 , получим первую производную:

y′ = 8x3 +10x .

Дифференцируя первую производную, получим вторую производную:

y′′ = (8x3 +10x)′ = 24x2 +10 .

Третья производная:

y′′′ = (24x2 +10)′ = 48x .

б) y = arctgx , найти y′′(−1).

Решение. y′ = (arctgx)′ =		1		.
	1	+ x	2

Дифференцируя y′ как сложную функцию, получим

y′′ = (1+ x2 )−1	′	= −			2x			.
y′′ = (1+ x2 )−1	′	= −					2	.
				(1+ x2 )
				(1+ x2 )
Подставим в y′′ значение x = −1	:
′′	2 (−1)			=	1	.
′′			2
y (−1)= −	(1 +1)		2		2
	(1 +1)				2

Упражнение 5. Найти производные указанного порядка заданных функций.

1)	y = 5x4 −6x3 + 3x2 +1 ,				y(IV ) −? ; 2)	y = cos x , y(IV ) −? ;
3)	y = 5x , y(VI ) −? ;				4)	y = e3x , y(V ) −? ;
5)	y =	1	, y(IV ) −?	;	6)	y = ln2 x , y′′(e)−? .

		x

4.Дифференциал функции. Приложение дифференциала

кприближенным вычислениям

Дифференциал		функции	y = f (x) равен произведению
производной	на	приращение	независимой переменной, т.е.
dy = f ′(x)∆x .

Если y = x dу = dx , тогда бесконечно малое приращение ∆x = dx и

dy = f ′(x)dx .

Если u =u(x), v =v(x)−дифференцируемые функции, то

1)d(u +v)=du+dv, du=u′(x)dx, dv = v′(x)dx ;

2)d(uv) =vdu+udv;

dy −?

3)	u	=	vdu−udv		.
	d		v	2
	v

С точностью до бесконечно малой высшего, чем первый, порядка ∆y ≈ dy , т.е.

f (x0 +∆x) − f (x0 )≈ f ′(x0 )∆x

или

		f (x0 +∆x) ≈ f (x0 )+ f ′(x0 )∆x .	(4.1)
(4.1) −	формула	приближенного вычисления значения функции
в точке	x0 + ∆x ;	дифференциал dy = f ′(x0 )∆x дает	оценку
абсолютной погрешности вычисления (при малом ∆x ).

Замечание. Абсолютная погрешность не характеризует точности вычисления. Поэтому вводят относительную погрешность, равную модулю отношений абсолютной погрешности к значению

измеряемой величины: ∆yy ≈ dyy .

Примеры. Найти дифференциалы функций:

а) y = 3x2 − 2x ,

Решение. Находим производную функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

dy = d(3x2 − 2x ) = (3x2 − 2x )′dx = (6x − 2x ln 2)dx .

б) z = ln(1 +e6x )+arctge3x , вычислить dz при x = 0, dx = 0,02 .

Решение. Находим дифференциал функции:

dz = d(ln(1+ e6x )+ arctge3x ) = (ln(1+ e6x )+ arctge3x )′dx =

(1 +e6x )′

(e3x )′

6e6x

3e3x

2e6x + e3x

dx.

6x +

= 3

1+e

1 +e

dx =

1+ e

6x dx

1+ e

Полагая x = 0, dx = 0,02 , получим dz = 0,09 .

Примеры. Вычислить приближенно:

а) 3 8,1 .

Решение.

1. Записываем функцию по виду заданного выражения y = 3

х .

2. Выбираем начальную точку

x0 =8 ;

y = 3 8 = 2 ;

∆x = x − x0 =8,1 −8 = 0,1.

3. Находим dy =

1 ∆x

0,1

= 0,1 .

33 x2

x=8

33 82

4. Подставляя найденные значения в формулу (4.1), получим

3 8,1 ≈ 2 + 121 0,1 = 2,0083 .

б) сos 590 .
	Решение.
1.	Записываем функцию по виду заданного выражения y =сosx .
2.	Выбираем	начальную			точку				x0	= 600 ;			y0	= cos 600 = 0,5 ;
∆x = x − x0 = 590		− 600 = −10 = −		π		(радн).
∆x = x − x0 = 590		− 600 = −10 = −	180			(радн).
			180
3.	Находим dy = −sin x∆x x=600 = −sin 60						0		π		=	3	π	=	3π	.
3.	Находим dy = −sin x∆x x=600 = −sin 60							−			=	2	180	=	360	.
									180			2	180		360
						14

4. Подставляя найденные значения в формулу (4.1), получим

cos590

≈ y0 + dy = 0,5 +

3π

≈ 0,5 +

1,732 3,142

≈ 0,515 ,

360

где 3 ≈1,732 ,

π ≈ 3,142 .

Упражнение 6. Найти дифференциалы функций:

1) y =

;

2) y =

;

1−t

3) y = cos α +sin

;

4) y = arctg

x2 −1 ;

5) y = ln(1 + cos x) ;

6) y =

;

−2

7) y =

;

−

tgx

8) y =

cos 2x sin 2x

при

x = 0,

∆x = −0,01.

Упражнение 7. Вычислить приближенно:
1) sin 28,50 ;	2)	cos1210 ;	3)	ctg460 ;
4) arctg1, 075 ;	5)	4 16,1 ;	6)	3 27, 027 ;
7) e1,025 , e ≈ 2, 718 ;	8)	0, 98 .
		5. Правило Лопиталя

Предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:

(0 ∞)

lim ϕ(x) = lim			ϕ′(x)	,	(5.1)
x→a	ψ(x)	x→a	′
			ψ (x)

если

limϕ(x)= 0,

x→a

limψ(x)= 0.

x→a

limϕ(x)= ∞,

x→a

или limψ(x)= ∞.

x→a

Примеры. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

e5x −1

а) limx→0 sin x .

Решение. Подставляем предельное значение x = 0 , получаем

неопределенность вида 00 , применяем правило Лопиталя:

lim	e5x −1		0	= lim	(e5x −1)′	= lim	5e5x	= 5.
		=
	sin x		0		(sin x)′
x→0				x→0		x→0 cos x

6x3 б) xlim→+∞ e2 x .

Решение:

6x3

∞

18x2

∞

36x

∞

lim

x→+∞ e2 x

∞

x→+∞ 2e2 x

∞

x→+∞ 4e2 x

∞

x→+∞ e2 x

∞

= lim

= 0.

x→+∞ 2e2 x

Здесь три раза применили правило Лопиталя.

Правило Лопиталя можно применять к пределам с неопределенностями вида (функция представляет собой

произведение бесконечно малой функции на бесконечно

большую) и (∞ −∞)	(разность двух бесконечно больших
	16

функций). В этих случаях функция легко преобразуется в

дробную, в результате получаем неопределенность	0	или	∞
дробную, в результате получаем неопределенность	0	или	∞ .

Примеры. Найти пределы:

а)	lim	x ln x ;
	x→+0
		1			x
б) lim			−			.
б) lim			−	x	−1	.
	x→1 ln x			x	−1

Решение. Установив, что имеет место случай (0 ∞) или (∞ −∞),

преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, затем применим правило Лопиталя.

а)

ln x

∞

x ln x = (0 ∞)= lim

= 2 lim x = 0.

lim

∞

lim

−

x →+0

б)

= (∞ −∞)= lim

x −1 − x ln x

1−ln x −1

lim

−

= lim

(x −1)ln x

x −1

x→1 ln x

x −1

x→1

x→1 ln x +

x ln x

1+ ln x

= − lim

= −

+ x ln x

2 + ln x

x→1 x −1

x→1

Здесь привели к общему знаменателю и два раза применили правило Лопиталя.

Упражнение 8. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim

x3 + x2 −16x +20

;

lim

cos 3x

;

x→π

cos x

−8x

+20x −16

x→2 x

lim

1−cos 3x

;

lim tg5x

;

x→0

tg3x

x→2

lim cos x tg5x

;

lim

−8

x→2

;

−32

x→2

lim

1−cos 2x

;

5x3

1−cos 5x

lim

;

x→0

x→∞

xlim→+∞

;

ln(1+ x)

10) lim

x→∞

6.Исследование функций

6.1Возрастание и убывание функций. Точки экстремума

Теорема 6.1. Достаточные условия возрастания и убывания функции на интервале.

Если функция f (x)						дифференцируема на интервале		(a;b) и
′				( (f ′(x)< 0)		для любого	x (a;b) , то функция	y = f (x)
f (x)> 0
возрастает (убывает) на интервале							(a;b).
Примеры. Указать интервалы монотонности функций:
	x3		3x		2
а) y =		−			−4x +2 .
	3			2

Решение.
1. Область определения данной функции D(x)= R .
2. Найдем					производную:		y′ = x2 −3x −4 = (x +1)(x −4) .

Производная положительна при x < −1 и x > 4 и отрицательна

при −1 < x < 4 . Следовательно, функция убывает на интервале (−1; 4) и возрастает на интервалах (−∞; −1) (4; +∞) .

б) y = x +x 3 .

Решение.

1. Область определения данной функции D(x) = (−∞; −3) (−3; +∞) .

2. Найдем производную y′ =	3		. Для любого аргумента x из
	(x +3)	2

области определения данной функции, производная положительна. Следовательно, функция y возрастает на всей области определения.

Упражнение 9. Указать интервалы монотонности функций:

1)	y = x3 −3x +5 ; 2)				y = x(1 + 2 x );	3)	y = x2e−x
4)			;	5)		6)		x2
	y = x −	2 ln x			y = 4 − x2		y =	x −2 .

Для определения точек экстремума функции y = f (x), следует:

1.Найти область определения функции D(x).

2.Найти производную y′ = f ′(x).

3.Найти стационарные точки первого рода, лежащие внутри

D(x):

а) регулярные: f ′(x )= 0 x1 D(x);

б) нерегулярные: f ′(x )= ∞ (или не существует) x2 D(x).

4. Исследовать знак производной y	′	′
4. Исследовать знак производной y		= f (x) справа и слева от

каждой стационарной точки, определить характер экстремума (если он существует).

NB. Характер экстремума в стационарной точке можно определить по знаку второй производной в этой точке:

а) если f ′′(x )> 0 x − точка минимума;

б) если f ′′(x )< 0 x − точка максимума;

в) если f ′′(x )= 0 , то вопрос о наличии экстремума в точке

хостается открытым. Такую стационарную точку, как и всякую другую, можно исследовать с помощью первой производной.

Далее следует найти экстремумы функции, т.е. вычислить значение функции в найденных точках экстремума.

Пример. Найти точки экстремума функции:

а) y = x 1− x2 .

Решение. Область определения данной функции D(x) =[−1;1].

1. Находим производную:

	′		2		x		1−2x2
	y =	1−x		−x		=	1−x2 .
	y =	1−x		−x	1−x2	=	1−x2 .
Находим стационарные точки первого рода:
а) регулярные: y′=0 1−2x2					=0 1		−2x	2 =0 x =±	2	;
		1−x2							2
б)	нерегулярные:			y′		не		существует		при
1 − x2	= 0 x = ±1 (−1;1).
					20

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>