Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

357.47 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики

В.В. Наврозов, Т.В. Малых

Элементы высшей математики 1

Дифференциальное исчисление

Учебное пособие для студентов биологического факультета

Киров 2012

УДК 517.2 ББК 22.161.11

Наврозов В.В., Малых Т.В. Элементы высшей математики 1. Дифференциальное исчисление: Учебное пособие для студентов биологического факультета. – Киров: ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА, 2012.- 42с.

Рецензенты: доцент кафедры математики Вятской ГСХА, кандидат физикоматематических наук Фарафонов В.Г.; доцент кафедры математического моделирования в экономике ВятГУ, кандидат физикоматематических наук Ковязина Е.М.

Учебное пособие рассмотрено и утверждено методической комиссией инженерного факультета Вятской государственной сельскохозяйственной академии (протокол № 8 от 3 мая 2012 г.).

В учебном пособии рассмотрены основные понятия дифференциального исчисления. Приведены примеры решения задач, задания для самостоятельной работы и контрольные задания.

ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА , 2012

Наврозов Виктор Васильевич, Малых Татьяна Викторовна, 2012

Оглавление

1.Производная функции…………………………………………........4

2.Геометрические приложения производной……………………….8

3.Производные высших порядков…………………………….........10

4.Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям……………………………………….12

5.Правило Лопиталя…………………………………………...…….15

6.Исследование функций с помощью производных……………....18

6.1Возрастание и убывание функций. Точки экстремума………...18

6.2Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке…….23

6.3Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба...25

6.4Асимптоты………………………………………………………...28

6.5Исследование функций и построение их графиков. Общая схема исследования функции…………………………………………….....31

Контрольные задания………………………...………………………37

1. Производная функции

Правила дифференцирования

U =U (x);V =V (x) − дифференцируемые функции аргумента х.

I. (U ±V )′ =U ′±V ′		II.
IIа.(CU )	= CU , C − const	III.
′	′

(UV )′ =U ′V +UV ′

U	′			′	′
U		=	U V −UV

				V 2
V				V 2

IV. Производная сложной функции.

y = f (u),u =ϕ(x) y = f (ϕ(x)) , тогда y′x = y'u u′x .

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по внутреннему аргументу на производную внутренней функции по конечному аргументу.

V. Производная обратной функции.

y = y(x) x = x(y) x′(y)= y′1(x).

Формулы дифференцирования

′

8. y = cos x y′ = −sin x

1. y =С−const y

′

α−1

y =x

=αx

9. y = tgx y′ =

cos2

′

3. y =a

y =a

lna

10. y = ctgx y′ = −

sin2

y = ex y′= ex

11. y = arcsin x y

′

1 − x2

y = loga х y′ =

12. y = arccos x y′ = −

x ln a

1 − x2

6. y = ln x y′

13. y = arctgx y′ =

1 + x2

y = sin x y′ = cos x

14. y = arcctgx y′ = −

1 + x2

Примеры. Найти производные функций:

а) y = 3x2 + 2 x − 3 3x − x14 + 5 .

Решение. Вводя дробные и отрицательные показатели степени, преобразуем данную функцию: y = 3x2 + 2x1 2 − 3x−1 3 − x−4 + 5.

Применяя правило дифференцирования суммы функций и формулу 2 (см. стр.4), получим

y′ = (3x2 + 2x1 2 −3x−1 3 − x−4 +5)′ = 3(x2 )′ + 2(x12 )′ −3(x−13 )′ −(x−4 )′ +5′ =

6x + x−1 2 + x−4 3 + x−5 = 6x +	1	+	1	+	4 .
	x		3 x4		x5

б) y = x2 cos x.

Решение. Применяя правило дифференцирования произведения функций и формулы 2, 8 (стр.4), получим

y′ = (x2 cos x)′ = (x2 )′cos x + x2 (cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x.

в) y = ex . arctgx

Решение. Применяя правило дифференцирования частного и формулы 4, 13 (стр.4), получим

′

(ex )′ arctgx − ex (arctgx)′

arctgx −

ex (1 + x2 )arctgx − ex

+ x2

y′ =

(1 + x

)arctg

arctg

arctgx

		3			2
г)	y = x		5x +1	−		.

					3x

Решение. Сначала раскроем скобки, затем дифференцируем как сумму функций.

		y = 5x4 + x3 −				2 x2	,
						3
y′ =	5x4	+ x3 −	2 x2	′	= 20x3		+3x2 −	4 x .
			3					3

д)	y = xln x +	3x	.
		sin x

Решение. Здесь применим правило дифференцирования суммы функций (I), затем правила дифференцирования произведения (II) и частного (III).

′

x ′

′

= x′ln x + x(ln x)′ +

(3 )sin x −3 (sin x)

y′ = x ln x

= ln x +1 +

sin

sin x

+3x sin x ln 3 −cos x .

sin2 x

Упражнение 1. Найти производные функций:

y = 2x +

3 −53

x + 7 ;

2) y = x − 2 x ;

3) y = 84 x − 4 x + 3 ;

y = 4cos x + 5ex ;

y = 3x + x3 ;

6) y = 2 ln x cos x ;

y = (3x − 2)tgx ;

y = x2 arcctgx

; 9)

y =

;

+ 5x +

10) y =

;

11) y = 1 + x ;

12)

y =

−3

;

+ 3

13)

y =

− arctgx ; 14) y =

; 15)

y =

e х

− x

+ x

sin x + cos x

Примеры. Найти производные следующих функций:

а) y = (1 + 4x2 )3 .

Решение. Применяя правило функции (IV) и учитывая, что получаем

дифференцирования сложной

(1 + 4x2 )- внутренняя функция,

y′ = ((1 + 4x2 )3 )′ = 3(1 + 4x2 )2 (1 + 4x2 )′ = 24x(1 + 4x2 )2 .

б) y = ln tgx .

Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции и учитывая, что tgx − внутренняя функция, получаем

y′ =

(ln tgx)′ =

(tgx)′ =

tgx cos

sin 2x

tgx

в) y = ln 3

e2 x

2 x .

+ e

Решение. Прежде чем находить

производную,

функцию

преобразуем, используя правила логарифмирования:

y = ln 3

e2 x2 x

= 1 [ln e2 x − ln(1 + e

2 x )]=

[2x − ln(1 + e2 x )].

+ e

Тогда

[2x − ln(1 + e2 x )]

′

2 x

y′ = 1

= 1

−

+ e

2 x

3(1

+ e

2 x

)

Упражнение 2. Найти производные функций:

y = sin(3x − 5);

y = e4 x+2 ;

y = tg3 x ;

y = 5 x2

+ x +5

;

5) y = ln cos 3x ;

y =

sin 2x ;

7) y = cos

4x ;

8) y = ln

3x2

;

9) y = ln(5x2 + 6x +1);

1 − x2

10)

y = arctg 1x ;

11) y =

1 +

x ;

12) y = sin5x cos

Упражнение 3. Найти производные функций:

1) y = x(x3 − x + 2)3 ; 2) y = 2x10x ;

3) y = (x3 −3x + 2) (x4 + x −1);

tgx

4) y = ( x +

−

; 5)

y =

;

6) y =

;

x2 +

7) y =

2x4

;

y =

;

9) y

x2 +1

;

5 + x

arctgx

9 − x

10)

y = arctgx2 ;

11)

y = arcsin

;

12)

y = x ln(x3 − 6x);

13)

y = log2 (x2 +1);

14)

y = 1 + ln4 x ;

15)

y =

;

ln x

16)

y = arccos x

;

17)

y = cos2 x cos x2

; 18)

y = ex sin x cos2 x

1 − 4x2

2. Геометрические приложения производной

Значение производной f ′(x0 )

функции

y = f (x) в точке x0

равно

тангенсу угла наклона касательной

к графику функции в точке

M (x0 ; f (x0 )), т.е. kτ

= f ′(x0 ) . Тогда уравнение касательной к графику

функции y = f (x) в точке M (x0 ; y0 = f (x0 ))

будет следующим:

y − f (x0 )= f ′(x0 )(x − x0 ).

(2.1)

или

y −y0 = y0′(x −x0 )

, где y0 = f (x0 ),

y0′

= f ′(x0 ).

(2.2)

Нормаль − прямая, перпендикулярная касательной в точке

касания, поэтому kn = −	1	и уравнение нормали к графику функции
касания, поэтому kn = −	k	и уравнение нормали к графику функции
	τ
y = f (x) в точке M (x0 ; y0 )		следующее:
y −y =−			1	(x −x	)	.	(2.3)
y −y =−				(x −x	)
		0	y0′	0
			y0′

Пример. Найти уравнения касательных, проведенных к параболе y =x2 −4:

а) в точке (−2;0) ;

б) в точках пересечения параболы с прямой x − y − 2 = 0 .

Решение.

а) x0 = −2, y0 = 0.

Для определения углового коэффициента касательной k , найдем производную функции y = x2 −4 и вычислим ее частное значение при x = −2:

y′ = (x2 −4)′ = 2x , тогда k = y0′ = y′(−2)=−4.

Подставляя значения x0, y0, y0′ в уравнение (2.2), получим уравнение касательной:

y = −4(x + 2) 4x + y +8 = 0 .

б) Точка пересечения принадлежит обеим линиям, поэтому координаты точки находим, решая систему уравнений:

	2	−4,		2	−4,	A(2;0), B(−1;−3).
y = x		−4,	y = x		−4,	A(2;0), B(−1;−3).

x − y −2 =0.			y = x −2.
					9

Из предыдущей задачи	y′ = 2x . Тогда		угловой коэффициент
касательной в точке A y0′ = 4 , в точке B y0′			= −2 .
Уравнения касательных	к	параболе	y = x2 −4 в точках
пересечения с прямой x − y − 2 = 0 имеют следующий вид:
y = 4x +8		(в точке A(2;0) ),
y = −2x −5		(в точке B(−1;−3) ).

Упражнение 4.

1) Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

y = 2x3 − x 2 + 2 :

а) в точке, абсцисса которой х =1 ;

б) в точке пересечения с параболой y = −x2 .

2)В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 1?

3)В какой точке касательная к параболе y = x2 …

а) параллельна прямой y = 4x −5 ;

б) перпендикулярна к прямой	2x −6 y + 5 = 0 ;
в) образует с прямой 3x − y +1	= 0 угол 450 ?
3. Производные высших порядков
Если y′ есть производная	функции y = f (x) и y′ = f ′(x) −

дифференцируемая функция, то производная от y′ называется

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>