Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 1

Точки

x = ±1 не

являются

внутренними

точками области

определения ( x = ±1

граничные точки). Стационарными точками

являются только точки x1 = −

2

, x2 =

2 , так как они находятся

2

2

внутри области определения функции.

2. Исследуем стационарные точки по знаку производной

y′

в

соседних

с ними

точками.

Возьмем,

например,

точки

x = −0,9; x = 0; x = 0,9

и определим знак первой производной

в

Следовательно, x1

= −

2 −

точка минимума,

x2 =

2

− точка

2

2

максимума функции.

Тогда

2

2

2

2

1

= −

−

= −

,

ymin = y −

2

2

1 −

2

2

2

2

2

2

1

=

=

.

ymax = y

2

2

1 −

2

2

y′′ = 4x +1 .

′′

x1 = −2 −

y (−2) = −7 < 0 , следовательно, стационарная точка

точка максимума.

3

3

y′′

= 7 > 0

, следовательно,

стационарная точка x2 =

− точка

2

2

минимума.

3

37

уmin

= y

=

,

2

8

ymax

= y(2)=

29

.

3

Упражнение 10. Найти точки экстремума функций, исследовать

их характер:

1)

y = x2 (x −6) ;

2)

y =1−e−x2 ;

3) y = x2e−x ;

4) y =

4x

5) y =

x

2

−3x +2

;

;

6) y = x3 −3x2 +3 ;

x2 +4

7)

y = x ln x ;

8)

y = e−x +e2 x ;

9) y = x ln x .

1. Найти стационарные

точки x1, x2 ,..., xn функции

f (x)

внутри

отрезка и

вычислить

значения функции

в

этих

точках:

f (x1 ), f (x2 ),…, f (xn ).

2. Вычислить

значения

функции на

концах

отрезка, т.е. найти

f (a), f (b).

3. Сравнить полученные значения функции

f (a),

f (x1 ),

f (x2 ),

… f (xn ), f (b).

Выбрать наибольшее

и наименьшее значения

функции y = f (x) на отрезке [а;b].

Примеры. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) y = 3x4 −8x3 +6x2 на отрезке [−2;2].

Решение. Функция y = 3x4 −8x3 +6x2

имеет

производную при

любом значении x R :

y′ =12x3 −24x2 +12x .

Находим стационарные точки, принадлежащие интервалу

(− 2;2),

и значения функции в этих точках:

Сравнивая полученные результаты, заключаем:

наибольшее значение функции:

max(3x4 −8x3 +6x2 ) = y(−2) =136 ,

[−2;2]

наименьшее значение функции:

min(3x4 −8x3 +6x2 ) = y(0) = 0 .

[−2;2]

б)

y =sin 2x − x на отрезке −

π

; π

.

2

2

Решение.

Функция y =sin 2x − x

имеет

производную

при

любом значении x R

y′ = 2 cos 2x −1.

1. Находим

стационарные

точки,

принадлежащие

интервалу

π

;

π

−

2

, и значения функции в этих точках:

2

y′ = 0

2 cos 2x −1 = 0 cos 2x =

1

x = ±π

+πk, k Z .

2

6

Внутри исследуемого отрезка находятся две точки x1

= −π , x2

= π .

6

6

−

π

=

π

−

3

≈ 0,34

,

y

6

6

2

π

=

3

−

π

≈ −0,34 .

y

6

2

6

−

π

=

π

≈1,57

,

π

= −

π

≈ −1,57 .

у

2

2

у

2

2

24

наибольшее значение функции maxπ π

−

π

≈1,57

;

(sin 2x − x)= у

2

−

:

2

2

наименьшее значение функции

min

π

≈1,57 .

(sin2x − x)= у

2

−π

:π

2

2

1)

y = x3 − 27x на отрезке [0;4];

2) y = x ln x на отрезке

1

;e3

;

2

e

3)

y = 2x +

1

на отрезке

1

;10

;

4) y = 3 x2 −1на отрезке [0;1];

x

2

функции.

Пусть

y = f (x)– дважды дифференцируемая

функция на

интервале

(a;b). Если f ′′(x) > 0 на интервале (a;b), то график

функции на этом интервале вогнутый, если f ′′(x) < 0

на интервале

(−∞; 2) (2; +∞) .

На интервале (−∞; 2)

вторая производная y′′ отрицательна, и

значит, график функции на этом интервале – выпуклый.

На втором интервале

(2; +∞) y′′ > 0 ,

следовательно,

график

функции является вогнутым на этом интервале.

В точке

x = 2 , вторая производная меняет знак, значит,

x = 2 –

абсцисса точки перегиба, ее ордината y(2)= 6 .

Тогда

(2;6)–

точка

перегиба

графика

функции

y = x3 −6x2 +12x −2 .

26

3

6

y′= −

2 , y′′=

7 .

5 5 (x +1)

25 5 (x +1)

Вторая производная

y′′ ≠ 0 для любого действительного

x , но

при x = −1 вторая производная функции не существует.

Значит

разбивает область

определения функции

на два

интервала:

(−∞; −1) (−1; +∞) .

В первом интервале

вторая

производная

y = x3 −3x2 −9x +9 ;

1

y = x −ln(x2 −4) ;

1)

2)

y =

;

3)

x2 +

2x

4)

y = (x +4)e2 x ;

5)

y = x +2 − 3 x5 ; 6)

y = e−2 x2 ;

7) y =

1

.

x

2

−9

удалении точки в бесконечность.

Утверждение 1. Пусть функция y = f (x) определена

при x → ∞ и

существуют конечные пределы:

lim

f (x)

= k,

lim[ f

(x) −kx] = b .

(6.1)

x→∞

x

x→∞

Тогда прямая y = kx +b является

наклонной асимптотой графика

Утверждение 2. Пусть функция y = f (x) определена

в некоторой

окрестности точки

x

0 и

lim f (x) = ∞

. Тогда прямая

x = x

0

является

x→x

0

вертикальной асимптотой графика функции y = f (x).

Поведение

функции y = f (x) в окрестности точки

x0

нужно

исследовать

с помощью односторонних пределов

lim

f (x) и

x→x0 −0

lim

x2

+ 3x + 2

= −∞ ,

x −3

x→3−0

lim

x2

+ 3x + 2

= +∞.

x −3

x→3+0

к = lim

y

= lim

x2

+3x +2

=1

,

(x −3) x

x→∞ x

x→∞

следовательно, k =1

(здесь пределы при x → +∞ и при

x → −∞

совпадают).

2

+3x + 2

6x +2

b = lim[y −kx]= lim

x

− x = lim

= 6 .

x→∞

x→∞

x −3

x→∞

x −3

Так что

y = x + 6 –

наклонная

асимптота

графика

функции

а)

к = lim

y

= lim

ex x

= lim e

x

=∞,

x

x→+∞ x

x→+∞

x→+∞

значит, при x → +∞

невертикальных асимптот нет.

б) к = lim

y

= lim

ex x

= lim ex

= 0 ,

x

x→−∞ x

x→−∞

x→−∞

b = lim [y

−kx]= lim[xe

x

−0 x]=

lim xe

x

= (−∞ 0)=

x

∞

=

lim

=

x→−∞

x→−∞

x→−∞

x→−∞ e−x

∞

1

=

lim

−

= 0.

e−x

x→−∞

1) y =

3x2 −9

;

2) y = −x +

2sin x

;

x +1

x

3) y = x

2

e

−x

;

2x +1

2

4)

y = x +ln

;

x −1

5) y =

x4

;

6)

y =xarctgx .

x3 −2