- •Новые информационные технологии
- •Часть 3. Основы математики и математическое моделирование Учебное пособие
- •Введение
- •Глава 1. Основы компьютерной математики
- •1.1. Математика и ее средства
- •1.1.1. Аксиоматический метод и структуры математики
- •1.1.2. Компьютерная математика как часть математики
- •1.1.3. Классификация средств компьютерной математики
- •1.1.4. Структура систем компьютерной математики
- •1.1.5. Обзор систем компьютерной математики
- •1.2. Система компьютерной математикиMathcad
- •1.2.1. Состав системы Mathcad и ее запуск
- •1.2.2. Основы работы с системой Mathcad 2001
- •1.2.3. Работа с текстовым редактором
- •1.2.4. Работа с формульным редактором
- •1.2.5. Операции вывода и присваивания
- •1.2.6. Шаблоны математических операторов и символов
- •1.2.7. Ошибки и прерывание вычислений
- •1.3. Простые типы данных
- •1.3.1. Числовые данные
- •1.3.2. Вещественные числа и их форматы
- •1.3.3. Комплексные числа
- •1.3.4. Строковые данные
- •1.3.5. Символьные данные и выражения
- •1.4. Сложные типы данных
- •1.4.1. Множества и подмножества
- •1.4.2. Массивы
- •1.4.3. Векторы и матрицы
- •1.5. Константы, переменные, операторы и функции
- •1.5.1. Числовые константы
- •1.5.2. Строковые константы
- •1.5.3. Переменные
- •1.5.4. Операторы
- •1.5.5. Выражения и функции
- •1.6. Основы графической визуализации вычислений
- •1.6.1. Понятия об основных геометрических объектах
- •1.6.2. Построение графиков функций одной переменной
- •1.6.3. Построение графиков поверхностей
- •1.7. Средства программирования в системеMathcad
- •1.7.1. Задание операторов пользователя
- •1.7.2. Задание программных модулей
- •1.7.3. Особенности применения программных модулей
- •Методические указания
- •2.1.2. Вычисление произведений
- •2.1.3. Вычисление пределов
- •2.3. Вычисление производных и интегралов
- •2.3.1. Определение производной и полного дифференциала
- •2.3.2. Вычисление производных
- •2.3.3. Определение интегралов
- •2.3.4. Вычисление интегралов
- •2.4. Решение уравнений и систем уравнений
- •2.4.1. Простое линейное уравнение и его решение
- •2.4.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.4.5. Поиск всех корней степенного многочлена()
- •2.4.6. Решение систем нелинейных уравнений()
- •2.4.7. Реализация итерационных вычислений
- •2.5. Решение дифференциальных уравнений()
- •2.5.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях()
- •2.5.2. Решение систем оду()
- •2.5.3. Решение оду с помощью функции odesolve()
- •2.5.4. Решение жестких систем оду()
- •2.6. Решение задач оптимизации и линейного программирования
- •2.6.1. Основные понятия оптимизации
- •2.6.2. Пример оптимизации раскроя железного листа
- •2.6.3. Поиск минимума тестовой функции Розенброка
- •2.6.4. Функции maximize и minimize системы Mathcad
- •2.7. Разложение функций в ряды
- •2.7.1. Определение рядов Тейлора и Маклорена
- •2.7.2. Разложение в ряд Тейлора в системе Mathcad
- •2.7.3. Ряды Фурье()
- •2.7.4. Быстрые прямое и обратное преобразования Фурье()
- •2.7.5. Примеры преобразований Фурье()
- •2.7.6. Альтернативные преобразования Фурье()
- •2.8. Табличная интерполяция и аппроксимация
- •2.8.1. Теоретические основы интерполяции и экстраполяции
- •2.8.2. Интерполяция и аппроксимация по общей формуле Лагранжа
- •2.8.3. Полиномиальная интерполяция и аппроксимация
- •2.8.4. Кусочно-линейная и сплайновая аппроксимации в Mathcad
- •2.9. Статистическая обработка данных
- •2.9.1.Эксперименты, события и другие понятия статистики
- •2.9.2.Решение задач комбинаторики
- •2.9.3. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •2.9.4. Законы распределения и статистические функции Mathcad
- •2.9.5. Регрессия и метод наименьших квадратов
- •2.9.6. Выполнение линейной регрессии в среде Mathcad
- •2.9.7. Полиномиальная регрессия в Mathcad
- •2.9.8. Проведение нелинейной регрессии()
- •2.9.9. Экстраполяция и предсказание
- •2.9.10. Сглаживание данных
- •Методические указания
- •10 Главных вопросов
- •Глава 3. Основы математического моделирования
- •3.1. Основные понятия моделирования
- •3.2. Основные виды моделей и их свойства
- •3.2.1. Основные виды моделей
- •3.2.2. Основные свойства моделей
- •3.3. Цели, принципы и технология моделирования
- •3.3.1. Цели моделирования
- •3.3.2. Основные принципы моделирования
- •3.3.3. Технология моделирования
- •3.3.4. Основные методы решения задач моделирования
- •Оценка обусловленности вычислительной задачи – еще одно обязательное требование при выборе метода решения и построении математической модели.
- •3.3.5. Контроль правильности модели
- •3.4. Задачи моделирования полета камня
- •3.4.1. Постановка задачи моделирования
- •3.4.2. Концептуальная формулировка задачи
- •3.4.3. Построение математической модели
- •3.4.4. Выбор метода решения
- •3.4.5. Программная реализация модели на эвм
- •3.4.6. Проверка адекватности модели
- •3.4.7. Анализ результатов моделирования
- •Методические указания
- •10 Главных вопросов
- •Глава 4. Практика математического моделирования
- •4.1. Моделирование процессов на основе известных формул
- •4.1.1. Моделирование изменения параметров атмосферы
- •4.1.2. Моделирование закона Мура
- •4.1.3. Моделирование преодоления самолетом звукового барьера
- •4.2. Моделирование на основе конечно-разностных методов
- •4.2.1. Моделирование Броуновского движения частиц
- •4.2.2. Моделирование диффузии
- •4.2.3. Моделирование торможения автомобиля()
- •4.2.4. Моделирование падения парашютиста()
- •4.2.5. Моделирование генератора на туннельном диоде()
- •4.2.6. Моделирование развития и угасания эпидемии
- •4.3. Моделирование колебательных систем
- •4.3.1. Анализ линейной колебательной системы
- •4.3.2. Анализ нелинейной колебательной системы Ван дер Поля
- •4.3.3. Моделирование системы Дафинга с внешним воздействием
- •4.3.4. Хаос и моделирование аттрактора Лоренца()
- •4.4. Моделирование рассеивания альфа-частиц()
- •4.5. Моделирование биологических и экономических систем
- •4.5.1. Модель системы «хищник-жертва» Лотки-Вольтерра
- •4.5.2. Модель системы «хищник-жертва» с логистической поправкой
- •4.5.3. Модель системы «хищник-жертва» Холлинга-Тэннера
- •4.5.4. Моделирование замкнутой экономической системы
- •4.6. Моделирование на основе линейного программирования
- •4.6.1.Оптимальные экономико-математические модели
- •4.6.2. Решение задач максимизации объема продукции
- •4.6.3. Решение задач минимизации ресурсов
- •4.6.4. Решение транспортной задачи
- •4.6.5. Задачи целочисленного программирования с булевыми переменными
- •4.7. Сетевые модели в оптимизации управленческих решений
- •4.7.1. Задача поиска кратчайшего пути
- •4.7.2. Задача о распределении потоков в сетях
- •4.8. Обработка и моделирование сигналов и изображений
- •4.8.1. Основы спектрального метода моделирования сигналов
- •4.8.2. Спектральное моделирование на основе точных формул интегрирования()
- •4.8.3. Улучшенное спектральное моделирование дискретных сигналов()
- •4.8.4. Вейвлеты - новый базис представления сигналов()
- •4.8.5. Вейвлет-преобразования()
- •4.8.6. Примеры вейвлет-обработки сигнала - временного ряда()
- •4.8.7. Анализ сигналов по вейвлет-спектрограммам
- •4.9. Обработка изображений
- •4.9.1. Средства обработки изображений
- •4.9.2. Обработка монохромных изображений
- •4.9.3. Обработка цветных изображений
- •4.9.4. Функции для работы с файлами и матрицами рисунков
- •4.9.5. Вейвлет-компрессия рисунков в пакете Wavelet Extension Pack
- •4.10.1. Подготовка к работе с матричной лабораторией matlab
- •4.10.2. Имитационное моделирование и расширение Simulink
- •Методические указания
- •10 Главных вопросов
- •Список литературы
- •Глава 1. Основы компьютерной математики 4
- •Глава 2. Основы математических вычислений 50
- •Глава 3. Основы математического моделирования 105
- •Глава 4. Практика математического моделирования 121
Методические указания
Материал этой главы в основном предназначен для углубленного изучения темы математического компьютерного моделирования. Разделы, помеченные знаком (), ориентированы на преподавателей, а остальные выборочно могут использоваться студентами.
10 Главных вопросов
1. Какие примеры моделирования с использование готовых математических моделей вы знаете?
2. В чем суть конечно-разностных методов в моделировании, в чем их достоинства и недостатки?
3. Почему в биологических моделях наблюдаются автоколебания, могут ли при этом существовать апериодические режимы работы?
4. Какие режимы работы возможны в линейных системах второго порядка?
5. Как влияет на форму колебаний нелинейность систем?
6. Что такое фазовый портрет и как он строится?
7. В каких системах наступают случайные (хаотические) колебания?
7. В чем суть линейного программирования?
8. Какие функции в системе Mathcad обеспечивают поиски экстремумов и какие виды экстремумов они могут находить?
9. Какие основные виды обработки сигналов и изображений вы знаете, в чем преимущества вейвлет-обработки сигналов и изображений?
10. Для чего предназначен комплекс MATLAB+Simulink, может ли он выполнять имитационное и ситуационное моделировании?
Список литературы
1. Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. М.: Советская энциклопедия, 1988. – 847 с.
2. Турецкий В. Я. Математика и информатика: Учебник. М.: Инфра-М, 2000. – 560 c.
3. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. I. М.: Физматлит, 2001. – 648 с.
4. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. II. М.: Физматлит, 2001. – 464 с.
5. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: Нолидж, 2001. –1296 с.
6. Дьяконов В. П. Система компьютерной алгебры DERIVE: Самоучитель. Полное руководство пользователя. М.: Солон-Р, 2002. – 320c.
7. Дьяконов В.П. MathCAD2001: Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002.
8. Дьяконов В.П. Mathematica4: Учебный курс. СПб.: Питер, 2001.
9. Дьяконов В.П. Maple7: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2002. –672 с.
10. Дьяконов В. П. MATLAB6/6.1/6.5.Simulink4.5. Основы применения: Полное руководство пользователя. М.: Солон-Пресс, 2002. – 768 с.
11. Введение в математическое моделирование: Учебное пособие/ В.Н. Ашихмин и др.; Под ред. П.В. Трусова. – М.: Интермет Инжиниринг, 2000. – 336 с.
12. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – 2 изд., испр. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.
13. Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Практическое моделирование динамических систем. –СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 464 с.
14. Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ – М.: Радио и связь, 1988г. – 232 с.
15. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и наука. М.: Мир, 1978. – 417 с.
16. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. СПб.: Питер, 2002. – 608 с.
17. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая: Пер. с английского. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 568 с.
18. Бурсиан Э.В. Задачи по физике для компьютера: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1991. – 256с.
19. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-Р, 2002.– 448 с.
20. Столниц Э., ДеРоус Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения: Пер. с англ. Ижевск, 2002. – 272 с.
21. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB и Scilab. –СПб.: Наука, 2001. – 286 с.
22. Цисарь И.Ф., Нейман В.Г. Компьютерное моделирование экономики. – М.: Диалог-МИФИ, 2002. – 304 с.
23. Цисарь И.Ф., Крыкин М.А. Matlab_Simulink – лаборатория экономиста: Учебное пособие. – М.: Издательство «Анкил», 2001. -104 с.
24. Сдвижков О.А. MathCAD-2000: Введение в компьютерную математику. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2002. – 204 с.
25. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 376 с.
26. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайтибегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 391 с.
27. Семененко М.Г. Введение в математическое моделирование. М.: Солон-Р, 2002. -112 с.
28. Самарский А.А., Михайлов А.П. Компьютеры и жизнь: (Математическое моделирование). – М.: Педагогика, 1987. – 128с.: ил. – (Б-чка «Ученые – школьнику»).
29. Гулд Х., Табочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2-х частях: Пер. с англ. – М.:Мир, 1990.
30. Дьяконов В. П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: СК-Пресс, – 1998.
31. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
32. Грэхем Р., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998.
33. Давенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3