2.3.2. Вычисление производных

Для выполнения дифференцирования в системе Mathcad можно использовать команды Variable Differentiate в позиции Symbolic меню. Для выполнения этой операции надо выделить мышкой переменную в дифференцируемом выражении и исполнить данную команду. Результат вычислений появляется снизу под исходным выражением, справа от него или вместо исходного выражения. Это, как и вывод комментарий, можно задать в окне команды Evalution Style… в позиции Symbolic меню.

Данный способ имеет существенные ограничения. Одно из них - невозможность вычисления производных для выражений, содержащих функции пользователя. Не вполне очевидна связь исходного выражения с результатом вычисления производной. Впрочем, этот недостаток устраняется выводом комментария.

Пример 2.10. Вычислить производные выражений sin(x), 2exp(x) и x/(x-1) в командном режиме:

Другой способ - с применением шаблонов вычисления производных и оператора символьных вычислений  обычно более удобен и более нагляден (см. примеры ниже).

Пример 2.11. Вычислить производные для выражений предшествующего примера, задав последнее выражение как функцию пользователя g(x) и вычислив дополнительно третью производные от g(x)

Пример 2.12. Задайте самостоятельно какую либо дифференцируемую функцию и постройте на одном рисунке ее график и графики первых двух производных этой функции.

2.3.3. Определение интегралов

Интегральное исчисление зародилось из практической необходимости вычисления площадей, объемов и центров тяжести различных фигур. Если есть некоторая функция f(x), то определенный интеграл вида

дает значение площади, ограниченной вертикалями a и b (именуемыми пределами интегрирования), кривой f(x) и осью абсцисс.

Если f(x)dx есть дифференциал функции F(x), то

f(x)dx=dF(x).

Функцию F(x) называют первообразной функции f(x). Наиболее общий вид первообразной функции f(x) называют неопределенным интегралом и обозначают как

.

В состав этого выражения включена некоторая постоянная интегрирования C, подчеркивающая, что для одной и той же f(x) существует масса первообразных, описываемых одной и той же линией, но смещенных по вертикали на произвольную постоянную. Например, для f(x)=sin(x) имеем:

.

Существуют специальные (в том числе весьма обширные) таблицы интегралов, значительно облегчающие их нахождение. Но в последнее время для этого чаще используются СКМ.

2.3.4. Вычисление интегралов

СКМ Mathcad реализует вычисление интегралов с помощью операторов интегрирования. Рисунок 2.1 дает наглядное представление об определенном и неопределенном интегралах и технике интегрирования в системе Mathcad. Как видно из него, под площадью надо понимать ее алгебраическое значение, то есть разность между площадью над осью x и под ней. В этом случае ясно, что определенный интеграл может иметь как положительные (первый пример на рис. 2.1), так и отрицательные (второй пример на рис. 2.1) значения.

П

.

ример 2.13. Вычислить определенный интеграл от функции sin(x) в пределах от 0 до , от  до 2 и от 0 до 2:

В новых версиях Mathcad введена возможность выбора метода вычисления определенных интегралов. Для этого достаточно указать курсором мыши на знак интеграла и нажать правую клавишу мыши - появится контекстно-зависимое меню этой клавиши (см. рис. 2.1 справа), в котором жирной точкой отмечен используемый метод - по умолчанию адаптивный. Можно установить любой из следующих методов:

• Romberg - известный метод Ромберга - деления интервала интегрирования пополам до тех пор, пока расхождение результатов не станет меньше заданной погрешности.

• Adaptive - адаптивный метод с изменением шага интегрирования в зависимости от особенностей функции с выдачей результата с заданной переменной TOL погрешностью.

• Infinite Limit - специальный метод, улучшающий интегрирование при бесконечных пределах.

• Singular Endpoint - специальный метод, учитывающий сингулярность (особенность) функции в конечной точке.

Рис. 2.1. Трактовка интеграла - документ Mathcad

Аналитическое вычисление интегралов возможно и в командном режиме, что иллюстрирует следующий пример.

Пример 2.14. Вычислить в аналитическом виде производную выражения xⁿ, а затем неопределенный интеграл от полученного результата:

Нетрудно заметить, что в итоге получилось исходное выражение, что в данном простом примере и можно было ожидать.