4.2.6. Моделирование развития и угасания эпидемии

Еще один классический пример на применение итерационных конечно-разностных методов - моделирование эпидемии. Эпидемиологическая обстановка в некотором городке характеризуется 4 параметрами: инфекцией i, восприимчивостью к ней g, смертностью d и выздоравливаемостью r. Рисунок 4.13 представляет документ с решением задачи моделирования развития эпидемии.

В левой части документа задан вектор начальных значений отмеченных выше параметров, а в правой задана система конечно-разностных уравнений, описывающих взаимосвязь между параметрами с учетом коэффициентов, отражающих влияние различных факторов эпидемии. Графические зависимости изменения параметров эпидемии весьма наглядны - видно развитие и затем угасание эпидемии, в нашем случае унесшей жизни почти половины начального населения городка.

4.3. Моделирование колебательных систем

4.3.1. Анализ линейной колебательной системы

Известно множество линейных систем, создающих почти синусоидальные колебания - самые простые из известных. Это струна музыкальных инструментов, маятник часов, LCR-колебательный контур, колеблющаяся молекула вещества и т.д. Все эти устройства и системы при малых амплитудах колебаний можно описать линейным дифференциальным уравнением второго порядка, вид которого представлен в заголовке рис. 4.14. Там же даны типичные решения этого уравнения с помощью блока

… Выздоравливаемостью

Рис. 4.13. Моделирование эпидемии

Given и функции Odesolve системы Mathcad 2000/2001 (в более ранних версиях этой функции нет).

Поведение линейной системы сильно зависит от параметра a - затухания. При его отрицательных значениях амплитуда колебаний нарастает по экспоненциальному закону. При a=0 создаются незатухающие синусоидальные колебания. Однако этот процесс нестабилен - малейшее изменение a в ту или иную сторону приводит либо к нарастанию колебаний, либо к их затуханию. При больших положительных a (теоретически a>0.25) переходный процесс в системе становится апериодическим. Все эти случаи можно анализировать аналитически, но численный метод решения с помощью функции Odesolve намного проще и нагляднее.

4.3.2. Анализ нелинейной колебательной системы Ван дер Поля

А теперь рассмотрим поведение нелинейной колебательной системы второго порядка. Характер нелинейности системы может быть самым различным. Классическим стал анализ нелинейных систем, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка - уравнением

Рис. 4.14. Решения дифференциального уравнения второго порядка,

описывающего поведение линейных колебательных систем

Ван дер Поля. Рисунок 4.15 показывает документ системы Mathcad, в котором такое уравнение решается при параметре =0,5. Этот параметр задает характер решения, как и начальные условия для x(t) и dx(t)/dt. При положительных  колебания в системе нарастают, но вследствие нелинейности системы их амплитуда ограничивается, а форма становится заметно отличной от синусоидальной.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно разбить на два уравнения первого порядка. Этот случай решения уравнения Ван дер Поля представлен на рис. 4.16. Оба варианта решения совершенно равноценны. Во втором случае показано поведение системы при отрицательном параметре =-0,5. В этом случае возникшие вначале колебания затухают во времени.

Системы, колебания в которых возникают без внешних воздействий, принято называть автономными системами. Помимо систем класса Ван дер Поля к ним относится и описанный выше генератор колебаний на туннельном диоде и большинство автогенераторов синусоидальных и релаксационных колебаний.

Рис. 4.15. Решение уравнения Ван дер Поля (вариант 1)