2.7.2. Разложение в ряд Тейлора в системе Mathcad

В системе Mathcad разложение в отрезок ряда Тейлора возможно в режиме символьных вычислений, как в командном режиме, так и с помощью символьной функции series. Шаблон этой функции имеет три места ввода - для разлагаемого выражения, для имени переменной, по которой ведется разложение, и для числа возможных членов ряда n. Он также содержит оператор символьного ввода .

Пример 2.31. Вычислить разложение в отрезки ряда Маклорена (в окрестности точки x=0) следующих выражений sin(x), exp(x) и 2^x:

О

.

братите внимание на то, что некоторые из возможных членов ряда могут отсутствовать, но они входят в числоn. Например, ряд для синуса содержит только члены с нечетными номерами.

.

Пример 2.32. Вычислить разложение в отрезок ряда Тейлора выражения ln(x) в окрестности точки x=1:

Обратите внимание на то, что в этом случае вместоx надо записывать x=1, используя жирный знак равенства.

Пример 2.33. Самостоятельно постройте график функции sin(x) и графики трех разложений синуса в окрестности точки x=0 для n=3, 5 и 7. Убедитесь в том, что разложение приближается к исходной функции только при малых отклонениях от точки разложения и очень сильно отклоняется от нее вдали от нее.

2.7.3. Ряды Фурье()

К фундаментальным положениям математики относится возможность представления периодических (а при определенных условиях и непериодических) функций и сигналов совокупностью их синусоидальных (гармонических) составляющих в виде так называемого ряда Фурье. Эта возможность используется во множестве прикладных областей, достаточно отметить, что на ее основе реализуется передача через каналы связи практически любой информации, например речи или музыки, и ее эффективная фильтрация (выделение нужной информации и отсев шумов) [16].

Рядом Фурье для интегрируемой на отрезке [-, ] функции y(x), удовлетворяющей известным условиям Дирихле (конечное число разрывов и непрерывность функции между ними), называют следующий ряд:

.

Коэффициенты Фурье этого ряда находятся по формулам Эйлера-Фурье:

.

Важными сферами применения рядов Фурье являются радиотехнические расчеты. В них периодические сигналы обычно представляют как функции времени y(t) на отрезке [0, T] с периодом T = 1/f₁, где f₁ — частота первой гармоники периодического сигнала. В этом случае ряд Фурье после несложных преобразований записывается в виде

.

Здесь коэффициенты выглядят следующим образом:

.

В этом случае коэффициенты a_k и b_k описывают косинусную и синусную составляющие k-й гармоники сигнала с периодом T и частотой повторения f₁ = 1/T. Часто используется иная форма ряда Фурье, упрощающая его синтез:

.

Здесь A_k — амплитуда k-й гармоники периодического сигнала, j_k — фаза k-й гармоники. Они вычисляются по формулам:

.

Разложение функции на гармонические составляющие, то есть вычисление коэффициентов Фурье, принято назвать спектральным анализом. А воссоздание приближения функции рядом Фурье, то есть получение ее тригонометрического представления, называют спектральным синтезом.

Гармонику с k = 1 называют основной, или первой гармоникой сигнала. Она задает его частоту повторения f₁. Остальные гармоники называют высшими, их частоты равны f_k = k·f₁, где k = 2, 3, … . Таким образом, спектр периодических сигналов дискретный — он содержит набор фиксированных частот f_k, где k = 1, 2, 3, … . У непериодических сигналов спектр будет сплошным, и вместо амплитуды гармоник он характеризуется спектральной плотностью сигнала.