Хангулян Избранныие вопросыи теории ядра ч.1 2009

где I – единичная матрица. В соответствии с общими правилами можно написать

Построенные выше волновые функции, описывающие зарядовую переменную нуклона (1.60), являются собственными функциями

операторов t 2 и t3 соответствующими собственным значениям t 1/2 и t3 1/2 соответственно для протона и нейтрона, т.е.

Перейдем к рассмотрению системы двух нуклонов, координаты которых обозначаются (ri, i,ti) i 1,2 для первого и второго ну-

клона соответственно. Обозначим волновую функцию двух нуклонов через (r1, 1,t1;r2, 2,t2 ). Два нуклона могут находиться в че-

тырех зарядовых состояниях, так как прямое произведение двух изоспиновых волновых функций нуклонов дает 4-компонентную величину. Этими состояниями являются p1 p2 , p1n2 , n1 p2 ,

n1n2 . Тогда волновую функцию двух нуклонов можно предста-

вить в виде суперпозиции

Волновая функция двух нуклонов согласно принципу Паули должна быть антисимметричной относительно перестановки частиц, т.е.

31

Приравнивая это выражение для волновой функции двух нуклонов к выражению (1.76), получаем:

Из соотношений (1.78а) и (1.78б) видно, что если зарядовые состояния являются состояниями двух протонов или двух нейтронов, то спиново-координатные волновые функции антисимметричны, как и должно быть для двух тождественных фермионов. Однако для состояний p1n2 и n1 p2 такого утверждения сделать нель-

зя. Чтобы устранить это, введем волновые функции следующего вида

32

и подставляя их в волновую функцию двух нуклонов, получим для(r1, 1,t1;r2, 2,t2 ) следующее выражение

изоспиновые волновые функции, в то время как s – симметрич-

на, и умножается на антисимметричную изоспиновую волновую функцию. В случае, когда изоспиновые функции двух нуклонов описываются выражениями p1 p2 , n1n2 , p1n2 и n1 p2 , зарядовые состояния двух нуклонов характеризуются собственны-

В этом случае оператор заряда двух нуклонов Q равен

33

где T3 1,0.

Обобщая выше изложенное, можно сказать, что сложение изоспина совершенно аналогично сложению обычного спина. Следовательно, для системы из A нуклонов оператор изоспина имеет вид

Для каждого значения T существует 2T 1 значений T3 , которые являются целыми или полуцелыми числами в интервале:

Поскольку собственные значения оператора проекции спина на ось 3 для нейтрона и протона равны 1/ 2 и 1/ 2, то собственные значения оператора T3 системы из A нуклонов равны

систему двух протонов, двух нейтронов, систему протон-нейтрон в антисимметричном состоянии и систему протон-нейтрон в симметричном состоянии соответственно. Введем также операторы проектирования,Ppp ,Pnn,Pa ,Ps , которые оставляют неизменным одно за-

34

рядовое состояние двух нуклонов, а остальные приравнивают к нулю. В соответствии с этим имеем

для системы двух протонов;

для системы двух нейтронов;

для системы протон-нейтрон в антисимметричном состоянии;

Ps 1(1 (1) (2) )

4

для системы протон-нейтрон в симметричном состоянии.

Можно ввести также как в случае одного нуклона (1.70), правильный гамильтониан двух нуклонов:

Сформулируем еще один физический принцип – зарядовую независимость ядерных сил: силы, действующие между двумя нуклонами, не зависят от T3 , а определяются только T , т.е.

Таким образом, силы между двумя протонами, двумя нейтронами и протоном и нейтроном в состоянии с T 1 равны. Следовательно, гамильтониан взаимодействия двух нуклонов имеет вид:

Поскольку

35

учитывая соотношение (1.86г), окончательно получим для гамильтониана двух нуклонов выражение

В соответствии с этим потенциальная энергия двух нуклонов должна иметь вид

где m – масса нуклона, а V(r) – потенциальная энергия, опреде-

Это означает, что гамильтониан двух нуклонов (1.94) инвариантен относительно вращений в изотопическом пространстве. Действительно, оператор вращения в изотопическом пространстве вокруг оси n на угол записывается как

36

Таким образом, зарядовая независимость ядерных сил означает инвариантность гамильтониана двух нуклонов относительно вращений в изотопическом пространстве.

Отметим, что принцип зарядовой независимости ядерных сил – приближенный принцип. Он применим лишь к сильным взаимодействиям. В случае электромагнитных и слабых взаимодействий он нарушается. Включение электромагнитных взаимодействий приводит к поправкам двух типов: учет разности масс mp и mn , а

также в потенциальной энергии появляется кулоновское взаимодействие протонов.

Рассмотрим поправки, возникающие в кинетической энергии. С учетом разности масс протона и нейтрона оператор кинетической энергии двух нуклонов запишется как

Кулоновское взаимодействие действует между двумя протонами, следовательно, в случае взаимодействия двух нуклонов ее можно представить:

ции третьей компоненты изоспина двух нуклонов (1.82). Следовательно, с учетом поправок на электромагнитное взаимо-

действие, гамильтониан двух взаимодействующих нуклонов можно представить в виде

37

В выражении (1.101а) V(r) ядерный потенциал взаимодействия двух нуклонов (1.92). Потенциал H0 коммутирует с T2 и Ti

(i 1,2,3). Следовательно, он инвариантен относительно вращений в изотопическом пространстве. В гамильтониане H имеется выделенное направление T3 , и поэтому он не коммутирует с T1 и T2 :

нарушения изотопического спина кулоновским взаимодействием сравним кулоновскую энергию с потенциалом Юкавы (В.7), т.е.

Поэтому эффекты кулоновского взаимодействия могут проявиться в тяжелых ядрах, в то время как в нуклон-нуклонных взаимодействиях они малы.

38

В заключение этого параграфа построим гамильтониан A взаимодействующих нуклонов. В соответствии сказанному выше, оператор кинетической энергии A нуклонов можно записать как

Потенциальная энергия состоит из двух членов. Ядерной потенциальной энергии

i j 1

где Vij (r) – потенциальная энергия взаимодействия двух нуклонов

(1.92), и кулоновской энергии взаимодействия протонов:

Член H0 гамильтониана (1.105) инвариантен относительно враще-

ния в изотопическом пространстве и, следовательно, коммутирует с Ti (i 1,2,3) и T2 . В то же время в H , который имеет вид

имеется выделенное направление (ось 3). Следовательно, присутствие слагаемого H в гамильтониане H приводит к неинвариант-

39

ности гамильтониана относительно вращений в изотопическом пространстве. При этом H и T3 коммутируют.

Контрольные вопросы к главе 1

1.Вычислить радиус сил, зависящих от скорости.

2.Пусть гамильтониан взаимодействия частицы со спином 1/ 2 с частицей со спином нуль инвариантен относительно обращения времени, но не инвариантен относительно инверсии пространства. Написать потенциальную энергию взаимодействия таких частиц.

3.Перечислить интегралы движения системы частиц, рассмотренных

ввопросе 2.

4.Пусть гамильтониан взаимодействия двух тождественных частиц

со спинами 1/ 2 инвариантен относительно обращения времени, но не инвариантен относительно инверсии пространства. Написать потенциальную энергию их взаимодействия.

5.Перечислить интегралы движения системы частиц, рассмотренных

ввопросе 4.

40