Хангулян Избранныие вопросыи теории ядра ч.1 2009

т.е. когда оба пучка имеют одинаковые векторы поляризации. Это означает, что оба пучка, входящие в объединенный пучок, находятся в одинаковых спиновых состояниях, следовательно, и объединенный пучок находится в чистом спиновом состоянии.

Таким образом, длина вектора поляризации ограничена неравенствами:

(4.23)

Максимально возможное значение P 1 достигается тогда и

только тогда, когда рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии. Смесь всегда характеризуется вектором поляризации, длина которого меньше единицы. Используется следующая терминология. Если состояние пучка характеризуется вектором поля-

ризации с P 0, пучок называется поляризованным. В случае, ко-

гда состояние пучка характеризуется вектором поляризации с

P 0, то пучок называется неполяризованным. Если пучок опи-

сывается вектором состояния , т.е. вектор поляризации равен единице P 1, то такой пучок называется полностью поляризо-

ванным.

На любой вопрос, касающийся поведения чистого или смешанного состояний, можно ответить, указав состояния, присутствующие в смеси, и их статистический вес Wi . Однако есть другой более удобный метод описания чистых и смешанных спиновых состояний. Рассмотрим этот альтернативный метод.

единенного пучка оператор плотности или статистический оператор, который определяется выражением

где

141

ных независимо. Тогда объединенный пучок описывается матрицей плотности

Пусть объединенный пучок неполяризованный, т.е. вектор по-

ляризации равен нулю, P 0. Тогда согласно соотношению (4.24а)

В качестве второго примера рассмотрим матрицу плотности чистого состояния. Используя спиновую волновую функцию (4.6), ее можно представить:

Если ввести в это выражение компоненты вектора поляризации P, которые определяются соотношениями (4.10), получим для спино-

144

вой матрицы плотности частиц со спином 1/ 2 следующее выражение:

где 1, 2, 3 – матрицы Паули. Следовательно, матрица плотности пучка частиц со спином 1/ 2, находящегося в чистом состоянии, которое описывается вектором состояния , полностью опреде-

ляется вектором поляризации P.

Рассмотрим спиновую матрицу плотности чистого состояния,

Можно показать, что спиновая матрица плотности пучка частиц со спином 1/ 2 в смешанном состоянии имеет вид (4.33а). Однако в этом случае вектор поляризации определяется не соотношениями (4.9), а выражением (4.21), т.е.

где суммирование идет по пучкам частиц, обладающими вектором состояния i , а Wi их статистический вес в объединенном пучке.

Спиновая матрица плотности пучка частиц со спином 1/ 2 имеет три независимых параметра. Действительно, спиновая матрица плотности – комплексная матрица второго порядка, поэтому она определяется четырьмя комплексными или восемью действительными параметрами. Из определения спиновой матрицы плотности (4.33) видно, что она эрмитова. Это означает, что диагональные элементы матрицы действительны, т.е, имеем два дополнительных условия (мнимые части равны нулю).на элементы матрицы плотности. Кроме того, недиагональные элементы комплексно сопряженные, т.е. рваны их реальные части, а мнимые части отличаются на ( 1). Это еще два дополнительных условия. Таким образом, эрмитовость спиновой матрицы плотности пучка частиц со спином 1/ 2 на восемь ее действительных параметров налагает четыре дополни-

145

тельных условия. Следовательно, независимых остаются четыре. Однако условие равенства единице шпура спиновой матрицы плотности (4.29) дает еще одно дополнительное условие, и независимых действительных параметра остается всего три.

Таким образом, вектор поляризации, который определяется тремя действительными параметрами, полностью определяет спиновую матрицу плотности произвольного пучка частиц со спином

1/ 2.

В случае чистого спинового состояния пучка было показано, что вектор поляризации определяется двумя действительными параметрами и (4.10), или, другими словами, на три компоненты вектора поляризации наложено дополнительное условие равенства единицы его длины (4.13). Следовательно, в случае чистых спиновых состояний должно иметь место еще одно условие на спиновую матрицу плотности . Получим его. С этой целью рассмотрим

44

1(1 2(P ) P2) 1(1 (P )) .

42

Впоследнем равенстве данной цепочки равенств учтено, что в чис-

том состоянии P2 1 (4.13). Поэтому в случае чистых спиновых состояний спиновая матрица плотности определяется двумя дейст-

вительными параметрами и условие P2 1 эквивалентно условию:

Рассмотрим, как изменяется в процессе рассеяния спиновая матрица плотности. С этой целью рассмотрим спиновую матрицу плотности чистого состояния (4.25). Как хорошо известно [7], S - матрица переводит вектор состояния системы из начального (при t ) в конечное состояние (при t ):

f Sif i.

Всоответствии с этим спиновая матрица плотности конечного со стояния пучка запишется как

146

ствительно, вектор поляризации определяется как среднее значение

спина (4.5), т.е. Pf f f , следовательно, он является псев-

довектором. В п. 3.2 были введены три ортогональных единичных

вектора m,l (3.21) и n (3.22). Из них единственным псевдовектором является n , и по нему должен быть направлен вектор поляризации.

Отметим, что величина вектора поляризации пропорциональна модулю инвариантной амплитуды B(s,t) . С другой стороны, инва-

риантная амплитуда B(s,t) отлична от нуля лишь при наличии спин-орбитального взаимодействия (см. п. 3.2). Следовательно, возникновение поляризации в упругом рассеянии нейтрона на чет- но-четном ядре указывает на сильную спин-орбитальную связь в сильных взаимодействиях.

4.3. Восстановление из эксперимента амплитуды упругого рассеяния частицы со спином 1/2 на частице со спином 0

В предыдущем параграфе была получена новая характеристика упругого рассеяния – вектор поляризации конечных частиц Pf (E, ), где E – энергия налетающих частиц, а – угол рассея-

ния. Если сечение рассеяния в случае неполяризованного пучка определялось лишь модулями инвариантных амплитуд a и b, то в величину вектора поляризации входит косинус относительной фазы . Следовательно, для восстановления амплитуды упругого рассеяния частицы со спином 1/ 2 на частице со спином нуль из экспериментальных данных необходим еще один эксперимент, содержащий указанные три величины.

С этой целью рассмотрим упругое рассеяние поляризованного пучка частиц со спином 1/ 2 на мишени со спином нуль. Пусть начальная поляризация пучка определяется вектором поляризации P0 , тогда его спиновая матрица плотности должна иметь вид

(4.33а):

148

d

той же мишени , определяемое выражением (4.4). Однако в

d 0

d

сечение рассеяния входит также вектор A, который называ-

d

ется вектором азимутальной асимметрии и определяется соотношением

Рассмотрим физический смысл вектора азимутальной асимметрии. С этой целью рассмотрим эксперимент по детектированию частиц после рассеяния (рис. 4.1). Пусть вектор поляризации начального пучка P0 перпендикулярен к плоскости реакции и его направление определяется единичным вектором , который направлен вверх от

тируются двумя детекторами, расположенными справа и слева по отношению к направлению падающего пучка под углом . Все импульсы pi, pf и pf лежат в одной

плоскости (где pi – импульс падающей частицы, а pf и pf – им-

пульсы рассеянной частицы, регистрируемые правым и левым детектором соответственно). Тогда единичный вектор n ~[pi pf ] на-