Хангулян Избранныие вопросыи теории ядра ч.1 2009

где pf и pi – импульсы частицы в конечном и начальном состоя-

нии, соответственно, а m12 – приведенная масса сталкивающихся частиц. Тогда эту амплитуду рассеяния можно записать в виде:

то амплитуду рассеяния можно представить в виде

M A(q) ( m123 )Sk kmn(pi )n e iqr rmVLS (r)d3r). 2

Рассмотрим интеграл, входящий в это выражение. Поскольку он параметрически зависит от единственного вектора q , то можно

записать

101

получим для амплитуды рассеяния частицы со спином нуль на частице со спином 1/ 2 в борновском приближении следующее выра-

жение:

M A(q2) B(q2)( n).

ном нуль на частице со спином 1/ 2 не содержит члена с матрицей ( n) . Таким образом, наличие в ядерном взаимодействии спин-

орбитальных сил приводит к указанному члену.

3.3. Разложение по инвариантным амплитудам амплитуды упругого рассеяния нуклона на нуклоне

Рассмотрим амплитуду упругого рассеяния нуклона на нуклоне, т.е. частицы со спином 1/ 2 на частице со спином 1/ 2. Такой процесс характеризуется четырьмя спиновыми волновыми функ-

циями (1), (2), (3), (4) , а также четырьмя импульсами частиц

p1, p2, p3, p4 . Так же, как и в случае рассеяния частицы со спином

1/ 2 на частице со спином нуль, построим из импульсов частиц три инвариантных относительно преобразований Галилея и ортонор-

Так же, как и в предыдущем параграфе, из спиновых волновых функций четырех нуклонов можно построить два скаляра (3) (1)

102

нако они не независимы, в частности, можно показать, что имеет место соотношение:

( (4) (1))( (3) (2)) ( (3) (1))( (4) (2))

где и – некоторые числовые коэффициенты, которые выра-

жаются через 9 j -коэффициенты Вигнера. Это будет видно из рас-

смотрения, проведенного в п. 3.5.

Построенные выше скаляры и векторы принадлежат спиновому пространству каждой из частиц. Из этих двух независимых скаляров и двух независимых векторов можно сконструировать в 4- мерном спиновом пространстве двух нуклонов следующие инвариантные относительно преобразований Галилея величины:

а) скаляр

( (4) (3))I( (2) (1)) ( (4) (2)) ( (3) (1))

(3.40)

( (4) (2))( (3) (1))

впоследнем равенстве данной цепочки учтено, что оба сомножителя являются обычными числами, поэтому знак прямого произведения опущен. В этом выражении I – единичная матрица размерно-

сти 4 4 ( I I(1) I(2) , где I(1) и I(2) – единичные 2 2 матрицы, действующие в спиновом пространстве первого и второго нуклона, соответственно);

б) два вектора

( (4) 2 (2))( (3) (1));

в) тензор второго ранга

103

( (4) (3))( 2,i 1,j )( (2) (1))

( (4) 2,i (2))( (3) 1,j (1)).

Преобразуем построенные выше величины. Во-первых, вместо двух построенных выше векторов (3.41) введем два других вектора

– сумму и разность выписанных векторов:

Во-вторых, тензор второго ранга совершенно так же, как это было сделано в гл.1, разложим на неприводимые ковариантные величины, т.е. на

а) скаляр:

Таким образом, из спиновых волновых функций построили два скаляра (3.40) и (3.43), три вектора (3.42) и (3.44) и симметричный тензор второго ранга со шпуром, равным нулю (3.45). Всего 16 величин.

Все построенные выше величины, как из импульсов частиц, так и из их спиновых волновых функций инвариантны относительно преобразований Галилея. Следовательно, для построения инвариантов относительно вращения необходимо свернуть величину, по-

104

строенную из импульсов, с соответствующей величиной, построенной из спиновых волновых функций. Поэтому необходимо построить тензоры второго ранга из трех ортонормированных еди-

ничных векторов m,l,n . Эти тензоры будут сворачиваться с сим-

метричным тензором второго ранга со шпуром, равным нулю, построенным из спиновых волновых функций. Всего из указанных выше векторов можно построить шесть симметричных векторов второго ранга:

Тогда, воспользовавшись хорошо известным соотношением

ikl jmn ij km nl im kn li in ki lm

ij kn lm im kn li in ki lm,

можно свести данный тензор к другим тензорам. Таким образом, имеется всего пять независимых симметричных тензоров второго ранга.

После всего сказанного легко написать 16 инвариантов относительно преобразований Галилея и вращений, составленных из импульсов частиц и их спиновых волновых функций. Они приведены в табл. 3.1.

Необходимо отметить, что в этой таблицы и далее, так же как и в гл. 1, опущен знак прямого произведения, и в соответствии с этим, в прямых произведениях 2 I(1) и I(2) 1 опускается еди-

ничная матрица. Это не вызывает недоразумений. Действительно, рассмотрим второй инвариант из табл. 3.1. Он определяется выра-

жением (3.43):

( (4) 2 (2)) ( (3) 1 (1)) ( (4) 2 (2))( (3) 1 (1)).

Сдругой стороны, при записи, когда опущен знак прямого произведения, как это сделано в табл. 3.1, необходимо учитывать,

105

Результативно эти два выражения совпадают. Однако если записать матрицу рассеяния нуклона на нуклоне, то она должна быть

106

матрицей 4 4, следовательно, ( 2 1) надо понимать как прямое произведение.

Таким образом, разложение амплитуды рассеяния частицы со спином 1/ 2 на частице со спином 1/ 2 должно содержать 16 инвариантных амплитуд, зависящих от двух инвариантных переменных s и t , которые определяются равенствами (3.26). Однако при рассмотрении рассеяния нуклона на нуклоне необходимо учитывать закон сохранения четности в сильных взаимодействиях. Это означает, что амплитуда рассеяния должна быть инвариантна относительно инверсии пространства, т.е. когда, r r r, а t t t. Инвариантные амплитуды при инверсии пространства не меняются, так как переменные s и t не меняются при таком преобразовании. Следовательно, для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть, как преобразуются при инверсии пространства инварианты, выписанные в табл. 3.1. Как уже упоминалось в п. 3.2, импульсы частиц при инверсии пространства меняют знак. Поэтому

единичные векторы m и l меняют знак (3.39), а единичный вектор n знак не меняет (3.39а). Значит, при инверсии пространства пять независимых тензоров второго ранга преобразуются следующим образом:

minj mjni minj mjni (minj mjn).

Спиновые операторы 1 и 2 при инверсии пространства не меняются. Используя матрицу преобразования спиновых волновых функций tg (1.16), легко убедится, что в результате инверсии про-

странства (преобразования (1.18)) спиновые матрицы, входящие в инварианты табл. 3.1, не меняются. Напомним, что прямое произведение двух единичных матриц дает единичную матрицу. В результате каждый из инвариантов табл. 3.1 при инверсии пространства умножится на множитель P , который равен либо 1, либо

107

1. Значения P приведены в третьем столбце таблицы. Видно,

что восемь инвариантов меняют знак при инверсии пространства. Следовательно, чтобы удовлетворить закону сохранения четности, т.е. требованию инвариантности амплитуды M относительно инверсии пространства эти инварианты не должны входить в разложение амплитуды M по инвариантным амплитудам, Таким образом, разложение амплитуды M можно представить в виде:

f (s,t) (4) (3)Sijlilj (2) (1)

g(s,t) (4) (3)Sijmimj (2) (1)

h(s,t) (4) (3)Sij(lmi j ljmi) (2) (1),

где a,b,c,d,t, f ,g,h – инвариантные амплитуды, зависящие от

двух переменных, как для всякого процесса 2 2.

Пусть так же, как в предыдущем случае, спиновые состояния падающих и выходящих из реакции частиц характкризуются в некоторой системе отсчета проекциями на выделенную ось, т.е. спиновые функции (i) (i 1,2,3,4) являются собственными функ-

циями оператора S3 и соответствуют собственному значению

i, i 1,2,3,4. В соответствии этим амплитуду упругого рассеяния можно также характеризовать в этой системе отсчета проекциями спинов частиц на ось 3. Учитывая определение прямого произведения двух матриц

( 2 1) 2 1, 2 1 ( 2) 2 ( 1) 1 1 ,

а также определения спиновой волновой функции двух нуклонов

( 2 1 ) 2 1 2 ( 2) 1 ( 1) 2 , 2 1, 1 ,

амплитуду рассеяния M в этом случае можно представить в виде

108

Следовательно, амплитуду упругого рассеяния нуклона на нуклоне можно представить в виде матрицы 4 4, и ее разложение по инвариантным амплитудам имеет вид:

ляется прямым произведением матриц и, соответственно, любая спиновая матрица, стоящая в правой стороне равенства, является матрицей 4 4, включая единичную матрицу, стоящую у инвариантной амплитуды a(s,t).

Потребуем, чтобы амплитуда M была инвариантна относительно обращения времени. Как упоминалось в п. 3.2, при обращении времени импульсы меняют знак, т.е. p p и p p , а

также происходит замена начального состояния конечным и наобо-

Учитывая закон преобразования прямого произведения двух спиновых матриц (1.30) при обращении времени, легко найти, что каждый из инвариантов, построенный из спиновых матриц и импульсов, при обращении времени умножится на множитель t , ко-

торый равняется либо 1, либо 1. В табл. 3.1 в четвертом столбце приведены значения множителя t для инвариантов. Видно, что

109

1, и, следовательно, для удовлетворения требованию инвариантности амплитуды рассеяния M относительно обращения времени

инвариантности относительно инверсии пространства и обращения времени, должна иметь вид

При таком преобразовании операторов спина и единичных векто-

Таким образом, амплитуда рассеяния двух нуклонов, M инвариантная относительно преобразований Галилея, вращения, преобразования инверсии, обращения времени и симметричная относи-

где a,b,c, f ,g – инвариантные амплитуды, зависящие от инвари-

антных переменных s и t .

110