Хангулян Избранныие вопросыи теории ядра ч.1 2009

Тогда поскольку инвариантные амплитуды треххвостки для реальных процессов константы, а амплитуда треххвостки при пере-

становке частиц 2 и 3 должна приобретать знак ( 1)2 j2 , который равен 1 для бозонов и 1 для фермионов, т.е.

то в разложении треххвостки по инвариантным амплитудам выживают лишь те форм-факторы, для которых выполнено условие

Остальные форм-факторы должны зануляться. Условие (3.81) можно представить в виде:

( 1)j23 ( 1)l23 , (3.82)

где в последнем равенстве данного соотношения использовано условие (3.76), которое связано с инвариантностью M относительно инверсии пространства. Условие (3.82) также сокращает число форм-факторов.

Рассмотрим два примера применения общих соотношений, полученных в этом параграфе, к конкретным распадам.

В первом примере рассмотрим распад частицы со спином 1/ 2 на две частицы со спинами 1/ 2 и нуль, а внутренняя четность частиц такова, что 1 2 3 1. В соответствии с соотношениями

(3.61) j23 1/ 2, а l23 0,1. Условие (3.76) из двух значений l23 вы-

бирает l23 1. Следовательно, амплитуда распада M определяется одним форм-фактором ( j23 1/2,l23 1) и согласно выражению

(3.64) имеет вид

121

Соответственно, шаровую функцию Y1m( ) можно представить как

Во втором примере частица со спином нуль ( j1 0) распадает-

ся на две тождественные частицы со спинами 1/2 ( j2 j3 1/2), а

внутренняя четность частиц такова, что положительна, т.е.

122

1. В соответствии с соотношениями (3.61) j23 может прини-

гда условие (3.82), которое следует из тождественности частиц 2 и 3, выбирает значение j23 0. Таким образом, разложение амплиту-

ды M по инвариантным амплитудам содержит один форм-фактор( j23 0,l23 0). В соответствии с выражением (3.64) для ампли-

туды M имеем

3.5. Разложение амплитуды произвольной четыреххвостки по инвариантным амплитудам

Рассмотрим произвольную ядерную реакцию, у которой в начале и в конце две частицы, т.е. четыреххвостку 1 2 3 4. В описание этого процесса входят четыре спиновые волновые функции участвующих в реакции частиц, ji (i) (i 1,2,3,4) и импульсы

этих частиц pi (i 1,2,3,4). Задача состоит в построении разложе-

ния амплитуды этой реакции M по инвариантным амплитудам. Для этого согласно предыдущему параграфу (с. 116,117), из спиновых волновых функций необходимо построить спин-тензор, который при вращениях ведет себя как (2L 1)-шаровой вектор. Затем из импульсов частиц необходимо построить (2L 1)-шаровой век-

тор. Перемножив их скалярно, получим необходимые инварианты,

123

по которым можно произвести разложение амплитуды четыреххвостки по инвариантным амплитудам (3.72).

Построим из импульсов частиц (2L 1)-шаровой вектор LM .

Вначале из импульсов начальных и конечных частиц построим два вектора p и p , которые инвариантны относительно преобразова-

ний Галилея:

тельно, существует бесконечное число пар (l1,l2), которые удовле-

творяют этому условию, Поэтому возникает вопрос: как выбрать l1

и l2 , чтобы (2L 1)-шаровые векторы lLM1l2 были линейно-

независимы, поскольку для построения инвариантов типа (3.72) только такие шаровые векторы нужны? С этой целью можно огра-

ничиться рассмотрением лишь (2L 1)-шаровых векторов lLM1l2 , у

124

которых l1 l2 L или l1 l2 L 1. Именно эти (2L 1)-шаровые векторы lLM1l2 или тензоры независимы. Действительно, при фик-

сированных значениях суммы l1 l2 все (2L 1)-шаровые векторы

lLM1l2 , отвечающие разным парам (l1,l2), независимы, так как неза-

висимы шаровые функции с разными l1 и l2 . Нет линейной зави-

симости и среди тензоров с разнящкй на единицу суммой l1 l2 ,

так как при инверсии пространства

т.е. имеют разную четность.

Поскольку число линейно независимых (2L 1)-шаровых век-

торов должно равняться размерности тензора (2L 1), то (2L 1)-

полную систему линейно независимых векторов. Действительно,

бой вектор в трехмерном пространстве можно разложить по трем

125

ранга со шпуром, равным нулю. Такой тензор ранга L, элементы

которого построены из векторов k,m,...,l , обозначается символом

k,m,...,l ij...k . Например, тензор второго ранга, построенный из векторов n,m , имеет вид

Кроме того, если какой-либо вектор входит в этот тензор k раз, то это обозначается символом k . Например:

mmmnll m 3 l 2 n .

Из имеющихся в нашем распоряжении независимых векторов, , n необходимо построить полностью симметричные тензоры ранга L. При этом вектор n может входить лишь один раз. Действительно, если вектор n входит два раза, то, учитывая соотношение

nink ~ ijl j l kmn m n ( ik jm nl im jn lk

+ in jk lm im jk nl ik jn lm in jm lk ) j l m

=(1 ( )2) ik ( i k i k ) ( )( i k i k ),

можно показать, что тензоры, содержащие произведение nink , вы-

ражаются через тензоры, содержащие только векторы и . Следовательно, независимых полностью симметричных тензоров ранга L можно построить 2L 1. Они имеют вид

126

всего L 1 тензоров, а также L тензоров, содержащих вектор n :

(3.89), а условию l1 l2 L 1 – тензоры типа (3.89а).

Для построения инвариантов относительно преобразований Га-

лилея и вращений необходимо построить спин-тензоры TLM (3.70).

Их необходимо сконструировать из спиновых волновых функций начальных частиц j1 , j2 и эрмитовски-сопряженных спиновых

ходного каналов j12, j34 . При написании третьего коэффициента

из спиновых волновых функций начальных частиц и эрмитовскисопряженных спиновых волновых функций конечных частиц. Из

Согласно изложенному выше рецепту построения инвариантов перемножим скалярно спин-тензор TLMj12 j34 на (2L 1)-шаровые векторы lLM1l2 , т.е.

127

TLMj12 j34 lLM1l2 *( , ), M

тогда разложение амплитуды произвольной четыреххвостки M по инвариантным амплитудам можно записать в виде

туды произвольной реакции 1 2 3 4 по инвариантным амплитудам в виде

1 2 3 4

12 34

j1 ( 1) j2 ( 2) j3 ( 3) j4 ( 4).

Пусть в некоторой системе отсчета имеется выделенное направление ось 3, и спиновые волновые функции являются собственными функциями оператора проекции спина на эту ось с собственным значением i (i 1,2,3,4) , т.е. спиновые функции имеют вид ji i . Тогда и амплитуда произвольной четыреххвостки будет

описываться в этой системе отсчета проекциями спинаi (i 1,2,3,4) . Используя выражение (3.11), амплитуду произ-

вольной четыреххвостки в этом случае можно представить в виде

128

Подсчитаем число инвариантных амплитуд, входящих в разложение (3.93). Учитывая, что числа L, j12, j34 лежат в интервалах,

определяемых соотношениями (3.91), можно число инвариантных амплитуд N определить как

то легко получить выражение для числа инвариантных амплитуд

Рассмотрим, к каким ограничениям приводит требование инвариантности амплитуды реакции относительно инверсии пространства, т.е. закон сохранения четности в сильных взаимодействиях. Как уже упоминалось, при инверсии пространства импульсы меняют свое направление, следовательно, единичные векторы и также меняют свое направление. Тогда при инверсии пространства

С другой стороны, при преобразовании инверсии пространства спиновые волновые функции умножаются на внутреннюю четность

версии умножается на произведение внутренних четностей частиц, участвующих в реакции, т.е.

TLMj12 j34 1 2 3 4TLMj12 j34 TLMj12 j34 ,

где введено обозначение 1 2 3 4 . Учитывая, что при инверсии пространства инвариантные амплитуды f ( j12, j34,L,l1,l2) , завися-

129

щие от s,t , не меняются, можно показать, что каждый член разло-

жения амплитуды M по инвариантным амплитудам умножается на множитель ( 1)l1 l2 . Тогда для удовлетворения требованию закона сохранения четности необходимо обнулить те инвариантные амплитуды, которые не удовлетворяют требованию:

Отметим, что обращение времени не дает дополнительных ограничений на амплитуду реакции, а связывает амплитуды прямого и обратного процессов. В случае упругого рассеяния возникают

130