Оганесян Введение в физику тяжелых ионов 2008

Предполагая, что средняя энергия, приходящаяся на одну час-

Если налетающие частицы не нуклоны, а ядра, то в приближении невзаимодействующих нуклонов предыдущее выражение следует умножить на число нуклонов A. Оценим плотность энергии файербола, толщина которого 2 x , между двумя плоскими слоями,

движущимися со скоростями v = ± xt . Согласно скейлинговому решению, обсуждавшемуся выше, вторичные адроны будут огра-

При столкновении ядер свинца начальная плотность энергии для значений времени τi ≈1 фм составляет

191

Эта плотность энергии примерно на порядок величины больше нуклонной плотности энергии в ядрах, и как было отмечено в первой главе, при таких плотностях энергии следует ожидать перехода ядерной материи в фазу кварк-глюонной плазмы.

Важной особенностью формулы (9.50) для плотности энергии

является ее пропорциональность A13 . Причина такой зависимости состоит в том, что в начальный момент гидродинамического рас-

ширения вклад в плотность энергии дают A13 пар нуклонов. Важными являются вопросы:

1)в каком объеме образуется ядерный файербол?

2)достаточны ли энергии имеющихся ускорителей для формирования плотностей энергии согласно выражения (9.51)?

Например, для SPS коллайдера ЦЕРН характерные энергии в системе центра масс ~500 ГэВ. Если вся имеющаяся энергия трансформируется в тепловую энергию файербола и плотность энергии достигает значений согласно формуле (9.51), то объем

файербола должен составлять Vi ≈ 500 фм3. Эта величина сравнима

с объемом тяжелых ядер (типа свинца). Однако имеющаяся энергия столкновения не полностью трансформируется в тепловую энергию файербола, поскольку заметная доля энергии переносится лидирующими частицами, не входящими в состав файербола. Это обстоятельство понижает оценку плотности энергии примерно в два раза, если вторичные лидирующие частицы несут ~50% энергии сталкивающихся частиц. С другой стороны, для повышения начальной плотности энергии следует отбирать центральные столкновения ядер, т.е. иметь специальный экспериментальный триггер на такие события.

9.2.4.Начальная плотность энтропии

Вэтом разделе попытаемся связать начальную температуру Ti

ядерного файербола с характеристиками вторичных адронов и оценить времена τQ , τH и τf в предположении сохранения энтропии

в процессе расширения.

192

Условие сохранения энтропии означает отсутствие диссипации в процессе расширения. Заметим, что это предположение не означает, что взаимодействие между кварками и глюонами мало. Как известно, условие идеальности ядерной жидкости применимо тогда, когда характеристические времена и длины свободного пробега частиц (кварков, антикварков и глюонов) удовлетворяют условиям:

τ<< t,

(9.52)

λ << L,

где t и L — временные и масштабные факторы, на которых такие гидродинамические величины, как плотность энергии, давление и т. д. испытывают значительные изменения. В какой степени эти условия выполнимы в столкновениях релятивистских ионов? Так как характерная длина свободного пробега кварков λ ≤1 фм, а раз-

мер системы в поперечном направлении RA ~ A13 фм, условие

(9.52) выполняется с хорошей точностью. Характерные времена взаимодействия кварков и глюонов τ ~ 1фм, поэтому первое из условий (9.52) также выполняется с разумной точностью, если учесть, что время t ~ 10 фм — порядка времени взаимодействия ядер. Используя уравнение состояния идеальной кварк-глюонной плазмы, найдем для плотности энтропии

Согласно скейлинг-решению, плотность энтропии зависит от собственного времени s(x,t )= s(τ), тогда в момент времени τ пол-

Для того чтобы связать энтропию S с наблюдаемыми величинами, предположим, что кварк-глюонная плазма расширяется в смешанной и адронной фазах адиабатически, т. е. с сохранением энтропии. Так как в адронной фазе пионный газ имеет уравнения состояния (9.1)–(9.3), то по аналогии с (9.54) имеем в этой фазе

193

где τ > τH . В частности, в момент распада файербола на наблюдаемые адроны (τ = τf ):

где c ≈ 3.6 ; dndyπ — распределение по быстротам π-мезонов, рож-

денных в ион-ионных взаимодействиях.

Сравнивая выражения (9.54) и (9.56), получаем соотношение, связывающее плотность энтропии с наблюдаемыми величинами

[9.24]:

Заметим, что плотность энтропии можно определить только в состоянии локального термодинамического равновесия, в то время как плотность энергии можно определить и в неравновесном состоянии. Из выражения (9.57) находим связь начальной температуры с τi :

следует, что Ti определяется с точностью до фактора два.

Например, при столкновениях ядер 16 O с ядрами Pb при энергиях ЦЕРН [9.24] плотность рожденных π -мезонов составляет

Время жизни в кварковой фазе τQ = 0.8 фм, Tc =160 МэВ. Для адронной фазы τf ≈14 фм, Tf ≈ mπ ≈140 МэВ. Как видно из этих

194

оценок, время жизни системы в кварковой фазе гораздо меньше, чем в адронной фазе, поэтому весьма непросто выделить сигналы КГП на фоне смешанной и адронной фаз.

9.2.5.Статистическая модель рождения частиц

встолкновениях тяжелых ионов

Как известно, равновесное поведение термодинамических величин можно получить путем усреднения по статистическому ансамблю. При этом равновесное термодинамическое состояние ансамбля — это такое состояние, в котором плотность в фазовом пространстве однородна. В этом смысле однородное заполнение фазового пространства является необходимым и достаточным условием равновесия.

Основная величина, необходимая для вычисления выходов частиц в столкновениях тяжелых ионов при статистическом подходе

— производящий функционал z (T ,V ) . В каноническом ансамбле

мическими потенциалами барионного заряда, странности и электрического заряда. При этом предполагается сохранение барионно-

го заряда V ∑ni Bi = Z + N , странности V ∑ni Si = 0 и электриче-

195

Эти ограничения оставляют только два свободных параметра модели — температуру T и барионный химический потенциал μb .

На самом деле, конечно, не определен объем системы, и поэтому следует сравнивать отношения выходов различных частиц, которые от объема не зависят.

Очевидно, что большой канонический ансамбль — это простейшая реализация статистического подхода, приемлемая для систем с большим числом рожденных частиц. Однако для небольших систем (например, рожденных в периферических ядро-ядерных столкновениях) или при столкновениях ядер при низких энергиях описание системы каноническим ансамблем является более адекватным. Переход от большого канонического ансамбля к каноническому ансамблю приводит к уменьшению числа частиц («каноническое подавление»). Например, в каноническом подходе хорошо

описываются выходы частиц в e+e− -аннигиляции, хотя необходимо ввести феноменологический фактор подавления странности.

На рис. 9.16 представлены отношения выходов различных частиц в Pb+Pb столкновениях при энергиях 158 ГэВ/нуклон (ЦЕРН). Как оказалось, экспериментальные данные хорошо описываются в

отношения выходов частиц в условиях RHIC (при энергиях 130 и

200ГэВ/нуклон).

Вэтом случае данные описываются статистической моделью,

если выбрать параметры T =176 МэВ и μb = 30 ÷40МэВ.

Рис. 9.16. Отношения выходов частиц в Pb+Pb столкновениях при энергиях 158 ГэВ/нуклон (ЦЕРН)

196

Рис. 9.17. Отношения выходов частиц в условиях RHIC

Если нанести извлеченные из экспериментальных данных значения T и μb на фазовую диаграмму ядерной материи, то она бу-

дет выглядеть так, как представлено на рис. 9.18.

На этом рисунке извлеченные из экспериментальных данных значения (T , μb ) изображены точками, приведены также траектории, на которых происходит вымораживание адронного газа, соответствующие постоянной плотности энергии ( ε = 500 МэВ/фм3 ) и

постоянной барионной плотности ( nb = 0.12 фм−3 ). Граница между

адронной материей и кварк-глюонной плазмой, рассчитанная в решеточной КХД, обозначена

(LQCD). Квадратики определяют положения критических точек для различных способов вычислений в решеточной теории [9.26].

Как видно из рис. 9.18 при энергиях SPS извлеченные из экспериментальных данных параметры

197

ширения адронной материи не позволяют сделать вывод об установлении равновесия при энергиях SPS, хотя наличие фазового перехода при этом не исключается.

9.3. Корреляции между поперечной энергией и прицельным параметром в столкновениях релятивистских тяжелых ионов

9.3.1. «Жесткая» и «мягкая» компоненты поперечной энергии

Как видно из (9.50), начальная плотность энергии пропорцио-

нальна A13 для центральных столкновений ядер (с прицельным параметром, равным нулю). Для нецентральных соударений зависимость плотности энергии от массового числа гораздо слабее, чем

A13 . Таким образом, наибольших εi следует ожидать именно в

центральных соударениях. Но как экспериментально отбирать эти соударения, ведь прицельный параметр не является величиной, непосредственно измеряемой в столкновениях ионов?

В этом случае нужно найти измеряемую величину, которая бы коррелировала с прицельным параметром. В этой главе обсуждается метод косвенного измерения прицельного параметра по попе-

p i — масса и поперечный импульс i -й частицы.

Отметим, что кроме измерения поперечной энергии в событии, существуют и другие методы определения прицельного параметра. В работе [9.28] предлагается извлекать прицельный параметр путем регистрации ядерных осколков после развала ядра в калориметре, установленном под углом M R к оси сталкивающихся пуч-

ков (ZDC калориметр).

В формирование поперечной энергии вносит вклад как «жесткая», так и «мягкая» составляющие в столкновении. «Жесткая» компонента обусловлена столкновениями кварков и глюонов с характерными переданными импульсами, превышающими p0 ≈1−2 ГэВ/с — это масштаб, при котором применима теория

возмущений КХД. «Мягкие» процессы с характерными p < p0 ,

198

также дающие вклад в поперечную энергию, не описываются в рамках пертурбативной КХД, и их учет должен проводиться феноменологически. Будем предполагать, что «мягкая» часть протон-

протонного сечения σspp = σнеупрpp , где Ι +Ι — сечение неупругого

pp-взаимодействия. Если жесткая компонента сечения в столкновениях ядер A и B формируется за счет независимых партон-

партонных взаимодействий, то среднее число жестких столкновений как функция прицельного параметра b представляется в виде суммы по всем типам партонов f (кваркам, антикваркам и глюонам):

возмущений КХД [9.29]. Тогда распределение по поперечной энергии E можно записать в виде:

Как показано в работе [9.30], при числе жестких столкновений NABH ≥ 5 ÷7 , распределение (9.63) при фиксированном значении

прицельного параметра хорошо аппроксимируется распределением Гаусса:

199

где средняя поперечная энергия E ABH (b) и дисперсия σH (b) пропорциональны, соответственно, первому и второму E моментам

сечений жестких процессов [9.31].

Мягкая компонента пропорциональна числу нуклон-нуклонных столкновений:

энергий LHC, а TAB (b) — функция ядерного перекрытия, учитывающая геометрию столкновений ядер A и B:

TAA (0) ≈ A2 πR2 ≈ A43 .

Поскольку мягкая компонента в формуле (9.65) очень слабо зависит от энергии, обычно предполагается, что мягкая и жесткая составляющие разделяются на протон-протонном уровне и поэтому являются не зависимыми друг от друга при любом прицельном параметре.

Тогда средняя поперечная энергия и ее стандартное отклонение имеют вид:

E AB (b) = E ABH +TAB (b)ε0 , (9.68)

σ2 (b)= σ2H +TAB (b)ε1,

где ε0 и Lγγ извлекаются из данных по распределениям попереч-

ной энергии при энергиях SPS. В табл. 9.1 приведены данные по первому и второму E моментам мягкой компоненты для детекто-

ров STAR и PHENIX на RHIC и ALICE, CMS на LHC. Видно, что для LHC жесткая компонента превосходит мягкую на порядок величины. Для RHIC вклад мягкой составляющей в Lγγ соизмерим с

жесткой и даже несколько превышает ее.

200