Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

Пример 5.30 (представление 3-кубитового гейта)

Представить элемент Тоффоли как квантовую схему, состоящую только из двухкубитовых гейтов.

Решение

1). Можно заметить, что элемент Тоффоли (табл. 5.4) — это частный случай 3-кубитового элемента C2U с известной унитарной матрицей, где U=X, а элемент X (см. табл. 5.1) имеет следующую матрицу:

2). Тогда (см. Пример 5.29) согласно полученному ранее результату следующие две квантовые схемы эквивалентны:

3). В главе 2 было рассмотрено, как вычислять корень квадратный из X (т.е. из матриц Паули). В итоге можно получить и требуемую матрицу V:

i = −1= exp (iπ2).

4). И тем самым задача решена▄

На этом завершим такое подробное рассмотрение элементов квантовой схемотехники.

524

Задачи

a)Докажите (см. [1, с.594]), что ZSXZ ≡ – SX.

b)Докажите, что XXX ≡X.

c) Докажите (см. [16, с.8-10]), что Y ≡ i{XZ}, где i = −1 .

d)Докажите (см. [1, с.226]), что XYX ≡–Y.

e)Докажите, что HI ≡ IH ≡ H, где I — единичная матрица.

f)Докажите, что для любой квадратной матрицы M с комплексными элементами справедливо MI ≡ IM ≡ M, где I — единичная матрица подходящих размеров.

g)Докажите, что XHH ≡HHX ≡X.

h)Докажите (см. [1, с.590]), что HZ ≡XH.

i)Докажите, что HZH ≡HHX.

j)Докажите (см. [1, с.225]), что H ≡ 12 {X+Z}.

k)Упростите квантовую схему, представленную выражением YY (или, иными словами, чему тождественно выражение YY ≡?).

l)Покажите, что XHH и HXH приводят, в общем-то, к разному конечному результату, т.е. к разным выходным векторам (при одних и тех же векторах на входе), поскольку эти последовательности умножения матриц соответствуют гейтам, имеющим разные матрицы результирующих преобразований.

m)Есть два кубита, и каждый из них находится в смешанном состоянии (т.е. состояние всей системы является перепутанным состоянием 2-х кубитов). Известен вектор состояния квантового регистра из этих двух кубитов. К первому кубиту применили гейт X. Как изменится вектор состояния квантового регистра?

525

n) Проверьте, действительно ли квантовая схема Э из Примера 5.26 эквивалентна следующей квантовой схеме:

Z

Требуется определить | ψ′= BA — выходной вектор в этом вы-

числительном базисе на выходе этой схемы.

1 Эти и им подобные задачи были получены с помощью программного генератора задач, который разработал аспирант МИФИ К.И. Ткаченко.

526

Список используемой литературы (источники)

1.Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация.–

М.: Мир, 2006.–824с.–(Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information.–М.: Cambridge University Press, 2000.–704p.).

2.Фейнман Р. Характер физических законов /Пер. с англ.–2-е изд. испр.–

М.:Наука, 1987.–160с.

3.Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траектори-

ям.–М.:Мир, 1968.–383с.

4.Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах //Квантовый компьютер и квантовые вычисления /Пер. с англ. под ред. В.А. Садовниче- го .–Ижевск: Ред. журн. Регуляр. и хаотич. динам., 1999.–Т.2.–C.96–124.

5.Нильсен М. Правила для сложного квантового мира // В мире науки. – 2003. –№3(март).–(http://www.sciam.ru/2003/3/inform.shtml).

6.Тарасов Л.В. Закономерности окружающего мира. В 3 кн. Кн.3: Эволюция естественно-научного знания.–М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.–440с.

7.Дойч Д., Экерт А., Лупачини Р. Машины, логика и квантовая физика

//Математическое просвещение, 2001. – Сер.3. – Вып.5. – С.47–60).–

(http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62fb03e-a780-11dc-945c- d34917fee0be/index.html).– (Deutcsh D., Ekert A., Lupacchini R. Machines, Logic and Quantum Physics //arXiv:math.HO/9911150, v.1, 19 Nov., 1999.– (http://quantum3000.narod.ru/papers/edu/deutcsh_machines.zip).

8.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. –М.:Наука, 1966.–576с.

9.Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.–М.:Наука,1966.–280с.

10.Риффель Э., Полак В. Основы квантовых вычислений //Квантовые компьютеры и квантовые вычисления, 2000. – Том 1. – №1. – С.4–57.– (http://ics.org.ru/rus?menu=mi_pubs&abstract=247).

11.Кулик С.Д. Квантовая программа, квантовая база данных и квантовый компьютер //Научная сессия МИФИ-2007. Сборник научных трудов в 17 т. Т.12:Информатика и процессы управления. Компьютерные системы и технологии.–М.: МИФИ, 2007.–Т.12.–С.101-103.

12.Шор П. Полиномиальные по времени алгоритмы разложения числа на простые множители и нахождения дискретного логарифма для квантового компьютера //Квантовый компьютер и квантовые вычисления /Пер. с англ. под ред. В.А. Садовничего . –Ижевск: Ред. журн. Регуляр. и хаотич.

динам., 1999. – Т2. – C.200–247. – (Shor P. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer //SIAM Jour. Comp., 1997, v.26, №5, pp.1484-1509).

13.Чанг И., Вандерсипен Л., Жу К., Леюнг Д., Ллойд С. Экспериментальная реализация квантового алгоритма //Квантовые вычисления: за и против. Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Том 1 /Пер. с англ. под ред. В.А. Садовничего .–Ижевск: Ред. журн. Регуляр. и хаотич. ди-

527

нам., Издательский дом Удмуртский университет, 1999.–C.130–140.

14.Физика квантовой информации /Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цайлингера /Пер. с англ.–.М.: Постмаркет, 2002.–376с.

15.Кулик С.Д. Свидетельство на программу Российской Федерации №2000610470 “Самая маленькая в мире не классическая программа

ВАКУУМ для ЭВМ” (VACUUM) /С.Д. Кулик (Россия).–Заявка №2000610307; Заяв. 04.04.2000;Зарегистр. 02.06.2000. Бюл. №3(32),с.170– 172.– (РОСПАТЕНТ).

16. Яковлев В.П., Кондрашин М.П. Элементы квантовой информатики.–

М.: МИФИ, 2004.–80с.

Список рекомендуемых источников для самостоятельной работы

1.Яковлев В.П., Кондрашин М.П. Элементы квантовой информатики.–М.:

МИФИ, 2004.–80с.

2.Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information.–М.: Cambridge University Press, 2000.–704p.–(Нильсен М.,

Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация.–М.: Мир, 2006.– 824с.).

3.Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей.–М.:ФАЗИС, 1998.–142с.

4.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т.–

М.:Мир, 1984.

5.Вентцель Е.С. Теория вероятностей.–М.:Высшая школа, 2001.–576с.

6.Квантовые вычисления: за и против. Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Том 1 /Пер. с англ. под ред. В.А. Садовничего.–Ижевск: Ред. журн. Регуляр. и хаотич. динам., Издательский дом Удмуртский уни-

верситет, 1999.–212с.

7.Квантовый компьютер и квантовые вычисления /Пер. с англ. под ред. В.А. Садовничего.–Ижевск: Ред. журн. Регуляр. и хаотич. динам., 1999.–Т.2.–288с.

8.Квантовые компьютеры и квантовые вычисления (международный научный журнал), 2000. – Том 1. – №1. – 116с. – (http://ics.org.ru/rus?menu=mi_publish&issue=3&vol=1&number=1&year= 2000).

9.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Краткий курс теоретической физики. Книга 2.– М.:Наука, 1972.–368с.

10.Фейнман Р. Характер физических законов /Пер. с англ. – 2-е изд.

испр.—М.:Наука, 1987.–160с.

528

11.Мигдал А.Б. Квантовая физика для больших и маленьких.–М.:Наука, 1989.–144с.

12.Фейнман Р. Квантовомеханические компьютеры //Квантовый компьютер и квантовые вычисления /Пер. с англ. под ред. В.А. Садовничего. – Ижевск: Ред. журн. Регуляр. и хаотич. динам., 1999.–Т.2.–C.125–156.

13.Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траектори-

ям.—М.:Мир, 1968.–383с.

14.Тарасов Л.В. Закономерности окружающего мира. В 3 кн. Кн.3: Эволюция естественно-научного знания.–М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.–440с.

15.Физика квантовой информации /Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цайлингера /Пер. с англ.–М.: Постмаркет, 2002.–376с.

529

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

________________________________________________________

АКМ — аппарат квантовой механики;

ГХЦ — Гринбергер-Хорн-Цейлингер;

ДС — дуальное соответствие;

к.с. — комплексное сопряжение; КЧ — комплексные числа;

КВП — комплексное векторное пространство; КПФ — квантовое преобразование Фурье; КЭР — квантовая электродинамика резонаторов;

МИФИ — Московский Инженерно-Физический Институт;

см. — смотри; см — сантиметр;

т. — точка;

ЭВМ — электронно-вычислительная машина; ЭПР — А.Эйнштейн, Б. Подольский, Н. Розен;

ЯМР — ядерный магнитный резонанс.

530