Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика

Файл:

Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

.pdf

Скачиваний:

439

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×\| ψ =\| ψ′	A	,
M ×\| ψ =\| ψ′	=	,
	B

то, зная M и | ψ , а также применяя Правило 5.0а, вычислим

							′	=	A
выходной вектор \| ψ								=		на выходе квантовой схемы:
									B
									M ×\| ψ =
																	1
	1	1 1					0		1	0 +1			1	1					A
	1	1 1					0		1	0 +1			1	1			2		A
=						×		=				=			=	−1		=		,
=	2					×		=	2			=	2		=			=		,
	2	1		−1			1		2	0	−1		2	−1					B
																	2
																	2
															1
			1					−1					A					1	1
												′			2
т.е. A =						B	=				\| ψ	′		=	2		=
					,				или			=			−1					.
			2		,			2	или			=						2		.
			2					2					B					2	−1

															2
															2

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

1	2	+	−1	2	=	1	+	1	=	2	=1,

2			2			2		2		2

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

не требуется, так как это прямо следует из самого решения. 6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

′	=	1		1	=	1	1−0		=	1	1	−	1	0	=	1	\| 0 −	1
\| ψ																			\|1 .
		2				2				2			2			2		2
			−1				0	−1			0			1

7). И тем самым задача решена▄

391

Пример 5.9в (задача прямого анализа)
						1		,		0
Известен вычислительный базис, т.е. \| 0 =								,		\|1 =	. Извес-
						0				1
тен входной вектор \| ψ = a\| 0					+b\|1	(где \|a\|2 + \|b\|2 =1) и квантовый
одновходовой				элемент	с	матрицей				преобразования
M =	1	1	1
			.
	2		.
	2	1	−1
							′		=	A
Требуется определить выходной вектор \| ψ									=	в вычисли-
										B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

a\| 0 +b\|1	M	\| ψ′ .
a\| 0 +b\|1	M	\| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие нормировки для входного вектора | ψ выполняется

(так как |a|2 + |b|2 =1).

		†					1		1 1 †							1		1 1
	M		M =												×						=
	M		M =				2								×		2				=
							2		1		−1						2	1		−1
					1			1		1				1	1			1
				=											×	1				=
				=	2 2										×					=
					2 2					1			−1					−1
	1	1+1				1−1							1		2 0 1 0						≡ I ,
=				−1	1		−(−1)					=			0 2			=	0 1
=	2											=	2					=
	2	1											2

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

392

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×\| ψ =\| ψ′	A	,
M ×\| ψ =\| ψ′	=	,
	B

то, зная M и

| ψ = a| 0

+b|1

, вычислим

= a

′

выходной вектор | ψ

на выходе квантовой схемы:

a +b

1 1

a +b

M ×|ψ =

−1

−b

a −b

a +b

т.е. A =

B =

или

a +b

′

= =

| ψ

a −b

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ

′

a +b

a −b

=1, где |a|2 + |b|2 =1,

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовле-

творяет условиям задачи: M ×| ψ =| ψ′ , не требуется, так как это прямо следует из самого решения.

6). Представим выходной вектор | ψ′ в вычислительном базисе:

′

a +b

a +b 1

a −b 0

a +b

| 0 +

a −b

| ψ

|1 .

a −b

7). И тем самым задача решена▄

393

Пример 5.10а (задача прямого анализа)			1				1
Известен вычислительный базис, т.е. \| 0		1			\| 1 =	1
	=			,			−1	.
		2				2
			1

Известен входной вектор | ψ =| 0 и квантовый одновходовой

элемент с матрицей преобразования M =	1	1	1
			.
	2		.
	2	1	−1
		′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор \| ψ			=	в вычисли-
			B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

\| 0		M		\| ψ′ .

Решение

	′	и матрица						преобразования M соответствуют одному и то-
\| ψ		и матрица						преобразования M соответствуют одному и то-
му же вычислительному базису.
2). Проверим корректность исходных данных.
Условие						нормировки										для			входного						вектора		\| ψ
	1	2	+	1		2	=	1	+	1		= 2		=1 выполняется.
	1	2		1		2		1		1
	2			2				2		2
	2			2				2		2		2
				M		†	M			1			1 1 †							1		1 1
								=											×							=
								=											×		2					=
											2 1				−1						2	1		−1
									1			1		1				1	1			1
								=											×	1		=
								=		2 2									×			=
										2 2				1			−1					−1
				1	1+1 1−1												1		2 0 1 0							≡ I ,
			=									(−1)				=			0 2			=	0 1
			=	2												=	2					=
				2		1−1 1−											2

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

394

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′ =

′

на

то, зная M и | ψ , вычислим выходной вектор | ψ

выходе квантовой схемы:

1 1

1 1 1

1+1

2 1 A

×|ψ =

× =

= ,

2 2

−1 1

1−1

0 0 B

т.е.

A =1 , B =

′

или | ψ =

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

1 2 + 0 2 =1+0 =1,

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

		1	=	1	1+1	=	1	1		+	1	1	=
	\| ψ′ =			2			2				2
		0			1−1			1				−1
=	1 1	1	+	1 1		1		=	1		\| 0 +		1	\| 1 .

	2 2			2 2						2			2
		1				−1

7). И тем самым задача решена▄

395

Пример 5.10б (задача прямого анализа)			1				1
Известен вычислительный базис, т.е. \| 0		1	1		\| 1 =	1	1
	=			,			.
	=	2		,		2	.
		2	1			2	−1

Известен входной вектор | ψ =| 1 и квантовый одновходовой

элемент с матрицей преобразования M =	1	1	1
			.
	2		.
	2	1	−1
		′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор \| ψ			=	в вычисли-
			B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

\| 1		M		\| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем

далее предполагать,												что входной вектор \| ψ , выходной вектор
	′	и матрица								преобразования M соответствуют одному и то-
\| ψ		и матрица								преобразования M соответствуют одному и то-
му же вычислительному базису.
2). Проверим корректность исходных данных.
Условие						нормировки												для			входного						вектора		\| ψ
	1	2	+	−1			2		=	1	+	1		= 2			=1 выполняется.
	1	2		−1						1		1
	2									2		2
	2				2					2		2		2
					M	†		M				1			1 1 †							1		1 1
										=											×							=
										=											×		2					=
													2 1				−1						2	1		−1
											1			1		1				1	1			1
										=											×	1		=
										=	2 2										×			=
											2 2					1			−1					−1
					1	1+1 1−1													1		2 0 1 0							≡ I ,
			=						−1 1			−(−1)						=			0 2			=	0 1
			=		2													=	2					=
					2	1													2

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

396

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×\| ψ =\| ψ′	A	,
M ×\| ψ =\| ψ′	=	,
	B

′

на

то, зная M и | ψ , вычислим выходной вектор | ψ

выходе квантовой схемы:

M ×|ψ =

1 1

1−1

0 0 A

= =

2 2

−1

2 1

т.е. A = 0 , B =1

′

или | ψ

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

0 2 + 1 2 = 0 +1 =1,

т.е. условие нормировки выполняется.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовлетворяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

	\| ψ′ =		0			1	1−(+1)		=		1	1	−	1		1	=
	\| ψ′ =		=			2			=		2		−	2			=
			1			2	1−(−1)				2	1		2	−1

=	1 1			1	−		1 1	1		=		1	\| 0 −			1	\| 1 .

							2 2					2				2
		2 2 1					2 2	−1				2				2

7). И тем самым задача решена▄

397

Пример 5.10в (задача прямого анализа)						1				1
Известен вычислительный базис, т.е. \| 0 =					1	1	, \| 1		1	1
								=		.
					2			=	2	.
					2	1			2	−1
Известен входной вектор				\| ψ = a\| 0 +b\| 1 (где \|a\|2+\|b\|2=1) и кван-
товый		одновходовой		элемент с матрицей			преобразования
M =	1	1	1
			.
	2		.
	2	1	−1
						′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор \| ψ =								в вычисли-
							B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

a\| 0 +b\|1	M	\| ψ′ .
a\| 0 +b\|1	M	\| ψ′ .

Решение

| ψ′ и матрица преобразования M соответствуют одному и тому же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие нормировки для входного вектора | ψ выполняется

(так как |a|2+|b|2 =1).

		†					1		1 1 †							1		1 1
	M		M =												×						=
	M		M =				2								×		2				=
							2		1		−1						2	1		−1
					1			1		1				1	1			1
				=											×	1				=
				=	2 2										×					=
					2 2					1			−1					−1
	1	1+1				1−1							1		2 0 1 0						≡ I ,
=				−1	1		−(−1)					=			0 2			=	0 1
=	2											=	2					=
	2	1											2

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

398

3). Так как входной и выходной векторы связаны соотношением

M ×| ψ =| ψ′

то, зная M и | ψ

| ψ = a| 0 +b| 1

a +b

= a

, вычис-

−1

a −b

′

на выходе квантовой схемы:

лим выходной вектор | ψ

M ×|ψ =

1 1

a +b

(a +b)+(a −b)

a A

= =

2 1

−1

−b

(a +b)−(a −b)

b B

т.е.

A = a , B = b

или

′

| ψ

4). Проверим условие нормировки для выходного вектора | ψ′

|a|2+|b|2 =1,

которое выполняется по условию задачи.

5). Проверять, что найденный вектор | ψ′ действительно удовле-

творяет условиям задачи:

M ×| ψ =| ψ′ ,

	\| ψ′	a			1			2a	1	(a +b)+(a −b)					=
	\| ψ′	= =			2		=		2						=
		b			2			2b	2	(a	+b)−(a −b)

=	a +b 1		1	+		a −b 1				1	=	a +b	\| 0 +	a −b		\| 1 .

	2	2						2 2				2			2
	2	2	1					2 2		−1		2			2

7). И тем самым задача решена▄

399

Пример 5.11а (задача прямого анализа)

Известен вычислительный базис, т.е. | 0 = 10 , | 1 = 10 . Извес-

тен входной вектор | ψ =| 0 и квантовый одновходовой элемент с

матрицей преобразования M =	1	1	1
			.
	2		.
	2	1	−1

′	A	в вычисли-
Требуется определить выходной вектор \| ψ	=	в вычисли-
	B

тельном базисе на выходе квантовой схемы, состоящей из этого одного квантового элемента:

\| 0		M		\| ψ′ .

Решение

1). В условиях задачи указан явно вычислительный базис. Будем

далее предполагать,

что входной вектор | ψ , выходной вектор

| ψ

′

преобразования M соответствуют одному и то-

и матрица

му же вычислительному базису.

2). Проверим корректность исходных данных.

Условие

нормировки

для

входного

вектора

| ψ

2 +

2 = 0 +1 =1 выполняется.

†

1 1 †

1 1

−1

2 1

−1

2 2

−1

1+1 1−1

2 0 1 0

−(−1)

0 2

0 1

≡ I ,

1−1 1

т.е. свойство унитарности матрицы M выполняется.

400

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5440 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
16.08.20131 Мб106Кокорев Лабораторный практикум по термодинамике 2008.pdf
#
16.08.201316 Мб55Котов Мониторинг радиационной активности 2008.pdf
#
16.08.20139 Мб324Крастелев Мосчные електроимпулсные системы 2008.pdf
#
16.08.20133 Мб289Крастелев Мосчные електроимпулсные системы ч1 2008.pdf
#
16.08.20137 Мб2958Крючков Теория переноса нейтронов 2007.pdf
#
16.08.20134 Мб439Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008.pdf
#
16.08.20133 Мб340Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга1 2008.pdf
#
16.08.201322 Мб131Курнаев Плазма-ХХИ век 2008.pdf
#
16.08.20131 Мб59Шалнов К глубинным тайнам материи 2007.pdf
#
16.08.20131 Мб455Шапкарин Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf
#
16.08.20131 Мб193Шатохин Вакуумная техника Лабораторный практикум 2010.pdf