Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008
.pdf4). Пусть
Ma = |
a |
a |
|
, |
a00 |
a01 |
|||
|
10 |
11 |
|
|
|
b |
b |
|
, |
Mb = b00 |
b01 |
|
||
|
10 |
11 |
|
|
тогда результирующая матрица Mc=Mb ×Ma (именно в таком порядке Mb на Ma, хотя сами гейты в квантовой схеме идут в обратном: порядке сначала преобразование с матрицей Ma, а затем преобразование с матрицей Mb) есть
|
|
|
b |
b |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b00 |
b01 |
|
× a00 |
a01 |
|
= |
|
|
|
|
||
|
|
|
10 |
11 |
|
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
||
b00 |
a00 |
+b01 a10 |
b00 |
a01 |
+b01 a11 |
|
|
c00 |
c01 |
|
|
||||
= b |
a |
+b |
a |
b |
a |
+b |
a |
|
= |
c |
c |
|
=Mc, |
||
10 |
00 |
11 |
10 |
10 |
|
|
01 |
11 |
11 |
|
|
10 |
11 |
|
|
т.е.
c00 |
= b00 a00 +b01 |
a10 |
, |
c01 = b00 a01 +b01 a11 , |
c10 |
= b10 a00 +b11 |
a10 |
, |
c11 = b10 a01 +b11 a11 . |
V
5). Пусть входной вектор есть | ψ = . Тогда при подаче этого
W
вектора на вход первого гейта с матрицей Ma на его выходе будет следующий вектор | A′ :
a00 |
a01 |
|
V |
a00 |
V + a01 |
W |
′ |
|
|
|
× |
= |
|
|
=| A . |
a10 |
a11 |
W |
a10 |
V +a11 W |
|
411
6). Далее (для квантовой схемы из двух гейтов) при подаче уже этого вектора | A′ на вход второго гейта с матрицей Mb на его
выходе будет вектор | B′ , который определяется следующим образом:
b00 b01 |
|
′ |
b00 |
b01 |
|
a00 V +a01 W |
|
|
|
||||||||
b b |
×| A |
= b b |
|
× a V + a W |
= |
|
|
||||||||||
10 |
11 |
|
|
|
10 |
11 |
|
|
10 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
b00 [a00 V + a01 W ]+b01 |
[a10 V +a11 |
W ] |
= |
|
|
|
||||||||||
= |
[a00 |
V +a01 W ]+b11 [a10 V +a11 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
b10 |
W ] |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V [b00a00 +b01 a10 ]+W [b00 a01 +b01 |
a11 ] |
=| B |
′ |
|
|
′ |
, |
||||||||||
= |
|
|
|
|
]+W [b10 a01 +b11 |
|
|
=| ψ |
|||||||||
V [b10 a00 +b11 a10 |
a11 ] |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
который и есть результирующий выходной вектор | ψ1′ |
всей |
||||||||||||||||
квантовой схемы из двух последовательно соединенных гейтов, |
|||||||||||||||||
т.е. | ψ1′ =| B′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7). Далее при подаче вектора | ψ |
V |
на вход другой квантовой |
|||||||||||||||
= |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
схемы из одного гейта с матрицей |
Mc на его выходе будет сле- |
||||||||||||||||
дующий вектор | ψ′2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Mc × | ψ = |
c c |
|
V |
c V +c W |
|
|
|
|
|||||||||
00 |
01 |
× |
|
= |
00 |
|
01 |
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
c10 |
c11 |
W |
c10 V +c11 W |
|
|
|
|
|
|||||
V |
[b00a00 +b01 a10 ]+W [b00 |
a01 +b01 a11 ] |
|
′ |
. |
|
|||||||||||
= |
[b10 |
a00 |
+b11 a10 ]+W [b10 |
|
|
|
=| ψ |
|
|
||||||||
V |
a01 +b11 a11 ] |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение векторов |
| ψ1′ |
и | ψ′2 |
показывает, что они иден- |
||||||||||||||
тичны, а значит и сами схемы эквивалентны. |
|
|
|
|
|
|
8). И тем самым задача решена▄
412
Из Примера 5.13 и главы 2 следует, что результат произведения унитарных операторов есть унитарный оператор, а значит последовательное применение нескольких однокубитовых гейтов эквивалентно некоторому результирующему однокубитовому гейту (квантовому элементу).
Для рассмотрения далее очередных примеров сформулируем следующее важное правило.
Правило 5.4(1)
Последовательное применение нескольких однокубитовых гейтов, расположенных в заданном порядке, эквивалентно некоторому результирующему однокубитовому гейту. Унитарная матрица этого результирующего преобразования получается как результат последовательного (в инверсном (т.е. обратном) порядке по отношению к порядку следования гейтов) перемножения унитарных матриц этих гейтов ▄
На практике важно уметь упрощать квантовые схемы. Один из возможных способов упрощения квантовой схемы — это замена одной ее части (или даже целиком ее) другой эквивалентной квантовой схемой. Для этого необходимо заменять группу гейтов в квантовой схеме на один или несколько других гейтов, которые реализуют то же самое унитарное преобразование. Следующий пример показывает, как это можно делать.
Пример 5.14а (тождества и эквивалентные схемы)
Пусть H, X, Y, Z, S, T, I — это обозначения матриц гейтов, представленных в табл. 5.1. Запись, например, вида HXS означает перемножение этих матриц, а сами три гейта последовательно один за другим соединены в обратном порядке, т.е. сначала S, а затем X и H. Проверить тождество HXS ≡Z означает, что необходимо выяснить эквивалентность следующих двух квантовых схем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
| ψ |
|
S |
|
X |
|
H |
|
| ψ1′ |
≡ | ψ |
|
Z |
|
| ψ′2 |
|
|
|
|
|
|
Знак минус перед обозначением матрицы гейта (например, –Y) означает, что все элементы этой матрицы умножаются на (–1).
413
Последовательность нескольких стоящих подряд одинаковых матриц (гейтов) будем обозначать с помощью показателя степени, например, HHXH как H2XH, или ZZ как Z2, или TTTT как T4
и т.п. (H 2 и H 2 — это разные обозначения, см. рис. 5.10, 5.11).
Отметим, что порядок в последовательности записи матриц (гейтов) очень существенен. Например, HXH и HHX приводят к разному конечному результату, т.е. к разным выходным векторам, поскольку эти последовательности гейтов имеют разные матрицы результирующих преобразований (это является следствием того, что рассматриваемые матрицы подчиняются некоммутативной алгебре).
Требуется выяснить справедливость следующих тождеств:
для 4-х гейтов
T 4 ≡Z,
для 3-х гейтов [1, с.228]
HXH ≡Z,
HYH ≡–Y,
HZH ≡X,
для 2-х гейтов [1, с.116,225]
H 2 ≡I,
I 2 ≡I,
S 2 ≡Z,
T 2 ≡S.
Решение
1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходные векто-
ры | ψ1′ , | ψ′2 и необходимые матрицы преобразования гейтов соответствуют одному и тому же вычислительному базису.
2). Применяя Правило 5.4(1) и учтя, что i = −1 ,
аi = exp(iπ4)= 1+2i ,
414
проверим следующие требуемые тождества:
тождество H 2 ≡I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
H |
2 |
|
|
1 |
|
1 1 |
|
|
1 |
1 1 |
|
|
1 |
1 1 |
1 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
× |
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
1 |
−1 |
1 −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1+1 1−1 |
|
|
1 |
|
|
2 0 1 0 |
≡ I , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
−1 1−( |
−1) |
|
= |
|
|
|
|
0 2 |
|
= |
0 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тождество I 2 ≡I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 0 1 0 1+0 0 +0 1 0 |
≡ I , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I 2 = |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 1 0 1 0 |
+0 0 +1 0 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тождество S 2 ≡Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 0 1 0 1+0 0 +0 1 0 |
≡ Z , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S2 = |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
i 0 |
i 0 +0 0 +i |
|
|
0 |
|
−1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
тождество T2 ≡S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T 2 = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
1 |
|
|
(1+i) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
(1+i) 0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1+0 |
|
|
0 +0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 0 |
≡S , |
|||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
+0 0 + 2 (1+i) |
|
0 |
|
|
|
2 (1+ |
2i +i |
|
) |
0 i |
|
тождество T 4 ≡Z
поскольку справедливы T 2 ≡S и S 2 ≡Z, то
T 4 = T 2 T 2 = S T 2 = S S = S 2 ≡Z,
415
тождество HXH ≡Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
XH = |
|
|
× |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
0 +1 0 −1 |
|
|
|
1 |
|
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
+0 1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= M, |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
+0 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
HXH = HM = |
|
|
1 |
|
1 1 |
× |
|
|
1 |
|
|
1 −1 |
= |
1 |
1+1 −1+1 |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
−1−1 |
|
|||||||
= |
1 |
2 |
|
|
0 |
= |
1 |
|
0 |
|
≡ Z , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
−2 0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еще один способ проверки (по входу и выходу)
′ |
| B |
′ |
| C′ |
| A |
|
|
? |
|
|
| ψ H X H | ψ1′ |
≡ | ψ |
Z |
| ψ′2 |
пусть | ψ = a| 0+b|1 , тогда (см. табл. 5.1)
|
′ |
|
|
a +b |
|
|
|
a −b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| A |
= |
|
|
|
|
| 0 + |
|
|
2 |1 = A| 0 + B|1 , |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a −b |
|
|
|
a +b |
|
|
||
| B |
= B| 0 + A|1 = 2 |
| 0 + 2 |1 = E | 0 +W |1 , |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
| C |
′ |
= |
|
E +W |
| 0 + |
E −W |
|1 = |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a −b |
+ |
a +b |
|
|
a −b |
|
+ |
a +b |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
| 0 + |
|
2 |
2 |
|1 = a| 0 −b|1 , |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
| ψ1′ ≡| C′ = a| 0−b|1 , | ψ′2 = a| 0−b|1 ,
и сравнивая | ψ1′ и | ψ′2 , получаем, что | ψ1′ =| ψ′2 ,
416
Пример 5.14б (эквивалентность 2-х схем на одном кубите) Известна квантовая схема из кубита и только одного провода без каких-либо последовательно соединенных однокубитовых гейтов.
Требуется определить один однокубитовый гейт, который эквивалентен этому одному проводу. Другими словами, требуется определить унитарную матрицу Mc результирующего преобразования и установить, что следующие две квантовые схемы эквивалентны:
|
|
? |
|
|
| ψ |
| ψ1′ |
≡ | ψ |
Mc |
| ψ′2 |
Решение
1). В условиях задачи не указан явно вычислительный базис. Будем далее предполагать, что входной вектор | ψ , выходные векто-
ры | ψ1′ , | ψ′2 и необходимые матрицы преобразования гейтов соответствуют одному и тому же вычислительному базису.
2). Преобразование, которое выполняет квантовый провод, состоит в том, что не изменяется состояния кубита, что фактически равносильно (см. Правило 5.0в) тождественному преобразованию I с соответствующей унитарной матрицей
1 |
0 |
|
I ≡ |
|
, |
0 |
1 |
|
а значит | ψ = I | ψ или | ψ1′ = | ψ .
3). Учтя, что для эквивалентных схем обязательно должно выпол-
няться | ψ1′ |
=| ψ′2 при одинаковом входном векторе | ψ , а |
||
значит | ψ′2 |
= | ψ , получаем окончательно, что Mc = I или |
||
|
Mc = |
1 |
0 |
|
|
. |
|
|
|
0 |
1 |
4). И тем самым задача решена▄
На этом закончим рассмотрение однокубитовых схем и прейдем к алгоритму Дойча и к двухкубитовым квантовым схемам.
418
5.5. Однокубитовая схема алгоритма Дойча
Рассмотрим пример одного из вариантов [7, с.53] первого квантового алгоритма, предложенного в 1985 г. Д. Дойчем (см. раздел 3.1). Можно полагать [7, с.54], что с этого алгоритма и началась фактически область исследования квантовых вычислений.
Алгоритм решает следующую задачу для булевой функции f, отображающей {0, 1} в себя.
Существуют только 4 функции [7, с.53]:
постоянные
f1(0)= f1(1)=0;
f2(0)= f2(1)=1;
биекции (или другое название — сбалансированные) f3(0)=0, f3(1)=1;
f4(0)=1, f4(1)=0.
Имеется возможность вычислить значение функции только один раз. Случайно выбирается одна из 4 функций, но не известно, какая именно.
Ставится задача определить, что это за отобранная функция, т.е. является ли она биекций (само значение этой функции интереса не представляет, и это значение определять не требуется).
Заметим, что в классическом случае для определения такого глобального свойства функции f требуется вычислить как значение f(1), так и значение f(0), что, как очевидно, потребует дважды вычислять значение этой функции.
С помощью квантовых вычислений при решении этой задачи уже потребуется только однократное вычисление значения этой функции(т.е. используется только 1 гейт Uf, вычисляющий f).
Квантовая схема, решающая эту задачу (см. [7]), представлена на рис. 5.18а, а диаграмма переходов (см. и ср. с [7]) с амплитудами вероятностей показана на рис. 5.18б. Отметим (см. рис. 5.18б), что для Uf амплитуды вероятности переходов из 1 в 0 , а также из 0 в 1 не показаны, поскольку они равны нулю.
419
Квантовая схема и диаграмма для алгоритма Дойча
а)
|
|
not |
|
|
Uf |
|
|
|
not |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
not |
|
|
Uf |
|
|
|
|
|
not |
0 |
i |
2 |
0 |
0 |
(-1) f(0) |
0 |
0 |
|
i |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 1 |
2 |
|
1 |
1 |
(-1) f(1) |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
Рис. 5.18
Квантовый элемент Uf — гейт, вычисляющий, значение функции f(x) только один раз, а точнее (см. [7]) амплитуда вероятности на пути x (на траектории, соответствующей x) умножается на спе-
циально подобранный фазовый множитель exp (i π f (x)), где
i= −1= exp (iπ2), exp(iπ)= cos(π)+i sin (π)= cos(π)= −1, т.е.
на (–1) f(0) (на траектории для 0 в Uf); на (–1) f(1) (на траектории для 1 в Uf).
Перейдем к вычислениям.
1). Вычислим вероятность P00 — выхода 0 на входе 0. Согласно диаграмме (см. рис. 5.18б) из 0 в 0 можно прийти только по следующим 2-м траекториям:
траектория 1: { 0 в 0, |
0 в 0, |
0 в 0 }; |
траектория 2: { 0 в 1, |
1 в 1, |
1 в 0 }. |
420 |
|
|