Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008
.pdfТеперь перейдем к вопросу о функционировании цепочки ионов в качестве логического элемента. Принципы такой схемы были сформулированы Цираком и Цоллером в 1995 г.
Рис. 4.3
Рассмотрим систему, состоящую из двух ионов. Центр инерции этой системы совершает гармонические колебания вдоль оси z в удерживающем квадратичном потенциале ловушки с минимумом в точке z = 0 . Пусть «дышащие» моды не возбуждаются, и расстояние l между ионами остается постоянным. Внутренние состояния
каждого иона — основное g и возбужденное e — образуют
кубит. Другими словами, мы имеем квантовый регистр, состоящий из двух кубитов, связь между которыми осуществляется за счет их общего синфазного колебания как целого. Для управления отдель-
ным кубитом с координатой zi используется поле
E = E |
sin kz |
e−iωL t |
+к.с. |
(4.8) |
0 |
i |
|
|
|
291 |
|
|
|
стоячей волны лазерного излучения с частотой ωL = kLc , близкой к частоте ω0 атомного перехода (рис. 4.3а). Обычно стоячая (вдоль
оси z) волна образуется двумя лучами, пересекающимися под некоторым углом. Поэтому входящая в (4.8) величина k представляет
собой проекцию волнового вектора kL бегущей волны на ось z. Будем считать для определенности, что перемешивание внутренних состояний g и e происходит в результате электродипольного взаимодействия с локальной частотой Раби
|
|
|
Ω(zi ) = Ω0 sin kzi , |
(4.9) |
где Ω0 |
|
= dE0 , a d — дипольный матричный элемент перехода |
||
|
g |
|
e . Для простоты фаза стоячей волны выбрана таким обра- |
|
|
|
зом, что частота (4.9) является действительной. В рамках резонансного приближения гамильтониан взаимодействия имеет вид
ˆ |
Ω(zi ) |
|
|
−i(ωL −ω0 )t |
|
|
|
i(ωL −ω0 )t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Hint = |
|
|
e g |
e |
|
+ |
g e |
e |
|
. (4.10) |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что этот оператор действует не только на внутренние степени свободы иона, но и на «фононную» подсистему, так как
величина zi , т.е. координата отдельного кубита, зависит от опера-
тора (4.6) координаты центра инерции системы двух ионов. Физический механизм перемешивания внутренних и поступательной степеней свободы обусловлен пространственной неоднородностью поля стоячей волны, т.е. зависимостью локальной частоты Раби
(4.9) от положения иона. Градиент функции Ω(zi ) дает дополни-
тельную силу, действующую на жестко связанную систему двух ионов, т.е. на ее центр инерции. Еще раз подчеркнем, что именно перемешивание внутренних и колебательной степеней свободы обеспечивает связь между кубитами.
Пусть поле стоячей волны приложено к первому иону. Тогда z1 = −l2 + zˆ , где l — фиксированное расстояние между ионами, a
292
zˆ есть оператор координаты центра инерции, который выражается через операторы уничтожения и рождения «фонона» с помощью соотношения (4.6). Поскольку в узле градиент поля стоячей волны максимален, расположим волну так, чтобы узел поля был в точке −l2 , т.е. sin kl2 = 0 , а cos kl2 =1. Кроме того, рассмотрим, так
называемый, режим Лэмба–Дике, когда характерная амплитуда колебаний
z0 = Mω
мала по сравнению с длиной волны 1k , т.е.
η ≡ kz0 = |
k 2 |
1. |
(4.11) |
|
2Mω |
||||
|
|
|
Величина η называется параметром Лэмба–Дике. Режим Лэмба–
Дике практически реализуется во многих экспериментах с ионами в ловушках. Он широко используется, например, для глубокого лазерного охлаждения ионов. Для полноты картины отметим, что величина, стоящая под знаком корня в (4.11), есть отношение частоты отдачи
ωrec ≡ k 2 2M
и частоты колебания ω.
Тогда частоту Раби Ω(z1 ) можно записать в такой форме
|
|
l |
|
= Ω0 sin kzˆ ≈ Ω0kzˆ = Ω0η(a + a |
+ |
). (4.12) |
Ω(z1 ) = Ω0 sin k |
− |
|
+ zˆ |
|
||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Здесь мы использовали условие cos kl2 =1 и формулу (4.6), а
также провели разложение с учетом неравенства (4.11). Это выражение надо подставить в оператор взаимодействия (4.10).
293
Если выбрать частоту ωL лазерного поля так, что |
|
ωL = ω0 − ω , |
(4.13) |
то выполняется точное условие резонанса для переходов между состояниями g n и e n −1 , где кэт-векторы n и n −1 опи-
сывают состояния фононной подсистемы. Один такой переход для n = 1 показан на рис. 4.3а двойной стрелкой. Последнее упрощение состоит в том, что в операторе взаимодействия (4.10) с учетом выражения (4.12) мы удерживаем только члены, отвечающие за резонансные переходы, т.е. в первом слагаемом оставляем оператор
поглощения фонона a, а во втором – оператор рождения a+ . Переходя к представлению взаимодействия1 с помощью гамильто-
ˆ |
(4.1), получаем окончательное выражение для гамильто- |
|||||||||||||
ниана H0 |
||||||||||||||
ниана системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
Ω0 |
|
|
e g |
|
a + |
|
g |
e |
|
a |
+ |
(4.14) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
H = |
2 |
η |
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гамильтониан такого вида называют моделью Джейнса- Каммингса-Пауля. Это одна из самых популярных моделей, которая первоначально была сформулирована в квантовой оптике для описания взаимодействия двухуровневой системы с квантованным
электромагнитным полем, когда операторы a и a+ являются операторами уничтожения и рождения фотона одной резонансной моды поля (см. раздел 3.2). В нашем случае фотоны заменены «фононами».
1 |
Полный гамильтониан системы есть |
ˆ |
ˆ |
, |
ˆ |
не зависит от |
|
H0 |
+ Hint |
где H0 |
времени. В представлении взаимодействия гамильтониан системы опреде-
|
Hˆ 0t |
|
ˆ |
|
|
Hˆ 0t |
|
ляется выражением exp i |
|
Hint exp |
−i |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
294 |
|
|
|
Перейдем теперь к вопросу о том, как с помощью изложенных выше физических механизмов можно реализовать двухкубитовый гейт CNOT.
Ключевым моментом здесь является предложенная Цираком и Цоллером процедура, реализующая двухкубитовый фазовый гейт. Получение гейта CNOT из фазового гейта потребует нескольких дополнительных однокубитовых преобразований, которые мы рассмотрим в конце раздела.
Двухкубитовый фазовый гейт
Двухкубитовый фазовый гейт представляет собой преобразование «управляемое σ3 » и определяется следующим оператором (см. раздел 2.5):
0 0 |
|
I + |
|
1 1 |
|
P(π) . |
(4.15) |
|
|
|
Напомним, что операторы, стоящие в каждом из слагаемых слева, относятся к управляющему кубиту, а те, что справа — к управляемому кубиту. Оператор I описывает тождественное преобразование, а P(π) имеет вид
P(π) = σ3 = |
|
0 |
0 |
|
− |
|
1 1 |
|
. |
(4.16) |
||
|
|
|
|
|||||||||
Тогда двухкубитовое состояние |
|
αβ |
( α, β =0,1), в котором α от- |
|||||||||
|
носится к управляющему кубиту, а β — к управляемому, в результате действия фазового гейта преобразуется следующим образом:
00, 01, 10 не меняются,
(4.17)
11→ − 11.
Базисные векторы состояний системы «два иона + фононы» будем
295
обозначать как αβ n, где αβ относится к двухкубитовой сис-
теме, а n описывает колебательную моду. Первый кубит ( α) является управляющим, а второй ( β ) — управляемым. Состояние n колебательной системы обозначается целыми числами. В дальнейшем мы ограничимся только состояниями с n = 0, 1. Во избежание недоразумений, для возможных значений α и β будем использовать обозначения g и e. Для сопоставления с (4.15)–(4.17) следует использовать идентификацию g ≡ 0 , e ≡1 .
Сначала «фононная» подсистема приводится в состояние n = 0 , т.е. охлаждается до основного колебательного уровня. Управляю-
щий кубит α подвергается воздействию импульса лазера, кото-
рый создает стоячую волну. Кубит находится вблизи узла стоячей волны, так что взаимодействие описывается гамильтонианом
(4.14). Длительность импульса выбирается равной t = π/ Ω0η, т.е.
кубит подвергается воздействию π-импульса поля. Такой импульс (см. формулу (2.107)) переводит двухуровневую систему из нижнего состояния в верхнее (либо наоборот), умножая на фазовый множитель1 (-i). В нашем случае речь идет о двух состояниях, которые соединены двойной стрелкой на рис. 4.3а. Поскольку сначала n = 0, есть только переход из верхнего состояния в нижнее.
Таким образом, в результате первой операции базисные состояния системы преобразуются следующим образом:
gβ 0 → gβ 0 ,
(4.18)
eβ 0 → (−i) gβ 1 .
Состояние второго кубита, обозначенное свободным значком β , не меняется. Что касается первого кубита, то он оказывается в основ-
1 Оператор эволюции (2.107) получен для гамильтониана, который отличается от (4.14) общим знаком. Поэтому для гамильтониана (4.14) фазовый множитель равен (-i), а не i, как в формуле (2.107)
296
ном состоянии g , но при этом может измениться состояние колебательной моды, которая в общем случае переходит из начального состояния 0 в суперпозицию состояний 0 и 1 . Действительно, если управляющий кубит α находится в состоянии α = c1 g+c2 e , то результатом взаимодействия с лазерным импульсом, как следует из (4.18), является преобразование
αβ |
|
0 → |
|
gβ (c1 |
|
0 −ic2 |
|
1 ). |
(4.19) |
|
|
|
|
С точки зрения манипулирования информацией, преобразование (4.19) означает, что квантовая информация кубита α перенесена в
колебательную моду. Два колебательных состояния 0 и 1 тоже
можно рассматривать как кубит. Другими словами, квантовая информация кубита α записана с помощью колебательного кубита.
Следующей операцией является воздействие еще одного импульса стоячей световой волны, но уже на управляемый кубит β , который тоже располагается вблизи узла этого поля. При этом мы хотим, чтобы возбужденное состояние e рассматриваемого куби-
та не затрагивалось, а основное состояние g получило бы фазовый сдвиг π. С этой целью прикладывается световое поле, которое
действует на смежном переходе |
g |
e ' между нижним со- |
стоянием кубита и каким-то возбужденным состоянием e ' , как
показано на рис. 4.3б. Во всех остальных отношениях данное взаимодействие подобно тому, что было в случае первого импульса, и описывается гамильтонианом вида (4.14), в котором надо сделать
замену e на e ' и написать параметры Ω'0 и η' .
Длительность импульса выбирается равной t ' = 2πΩ'0η'. В качестве резонансной двухуровневой системы теперь выступают состояния g1 и e ' 0 второго иона, аналогичные тем, что со-
единены двойной стрелкой на рис. 4.3а, но с заменой e на e ' .
297
Поскольку 2 π-импульс не изменяет состояние двухуровневой системы, а лишь сдвигает общую фазу на π, то начальное состо-
яние g1 → (−) g1 .
В результате второй операции состояния в правой части (4.18) преобразуются следующим образом:
|
gβ |
|
0 → |
|
gβ |
|
0 |
|
(здесь β = g, e), |
(4.20) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
−i |
|
gg |
|
1 → i |
|
gg |
|
1 , |
||||||||
|
|
|
|
−i ge1 → −i ge1.
Это означает перепутывание второго кубита с колебательной модой. Поэтому квантовая информация, содержащаяся в колебательной моде, перераспределяется между «фононным» кубитом и кубитом β . Теперь вновь прикладывается π-импульс к контролирую-
щему кубиту α. Тогда
gβ 0 → gβ 0,
i |
|
gg |
|
1 → (−i)(i) |
|
eg |
|
0 = |
|
eg |
|
0 , |
(4.21) |
|
|
|
|
|
|
−i ge1 → (−i)(−i) ee 0 = − ee 0.
В результате трех операций (4.18), (4.20), (4.21) «фотонная» подсистема вернулась в исходное состояние 0 , которое теперь мож-
но просто опустить.
Что же касается базисных векторов двухкубитовой системы αβ , то их преобразование имеет следующий вид:
|
gg , |
ge , |
eg |
не меняются, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
||||
|
ee → − |
|
ee . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С учетом идентификации |
|
g ≡ |
|
0 , |
|
|
e ≡ |
|
1 легко видеть, что |
||||
|
|
|
|
преобразование (4.22) совпадает с фазовым гейтом (4.17).
298
Гейт CNOT
Теперь заметим, что фазовый гейт (4.22) представляет собой CNOT-гейт, если управляемый кубит β записан в базисе поверну-
тых состояний ± = 12 ( g± e). Действительно, переходя к этому базису состояний управляемого кубита, из (4.22) получаем
g ± → g ± , т.е. 0 ± → 0 ± ,
(4.23)
e ±→ e , т.е 1± → 1 .
Следовательно, управляемый кубит проходит через операцию NOT, + → − и −→ + , если управляющий кубит находится в со-
стоянии 1 . А это и есть, как мы знаем, CNOT-гейт. Справедливо и обратное утверждение. Так, пусть управляемый кубит β запи-
сан в базисе повернутых состояний ± . Тогда двухкубитовый фазовый гейт «управляемоеσ3 » эквивалентен CNOT-гейту в базисе исходных состояний g и e управляемого кубита (см. задачу 5б
в конце раздела 2.5)
Поэтому протокол CNOT-гейта в исходном базисе сводится к следующим операциям. Сначала совершается поворот базиса управляемого кубита β . Потом осуществляется двухкубитовый
фазовый гейт, подробно описанный выше, и, наконец, управляемый кубит возвращается к исходному базису.
Поворот базиса представляет собой однокубитовый гейт типа преобразования Адамара. Его, как и другие однокубитовые гейты, можно реализовать с помощью импульса стоячей волны, расположенной так, что ион находится вблизи пучности поля. Из-за однородности поля вблизи пучности локальная частота Раби (4.9) в режиме Лэмба–Дике не содержит операторов колебательной моды, т.е. внутренние и поступательная степени свободы не перепутываются.
299
Тогда гамильтониан можно представить в форме
ˆ |
Ω0 |
|
|
|
|
|
−iϕ |
|
|
|
|
iϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
H ' = |
2 |
|
|
e |
g |
e |
|
+ |
g |
e |
e |
. |
(4.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы ввели фазу ϕ стоячей волны. Поскольку оператор эво-
ˆ ′ |
), то варьируя ϕ и t , можно реали- |
люции имеет вид exp (−iH t |
зовать различные однокубитовые гейты. В качестве простого упражнения читателю предлагается проверить, что интересующее нас преобразование поворота базиса
|
g → |
1 |
( |
|
g − |
|
e ), |
|
e |
→ |
1 |
( |
|
g + |
|
e ) |
(4.25) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
можно реализовать, если ϕ = π 2 , |
а длительность |
импульса |
t = π2Ω0 . Возвращение же к исходному базису осуществляется с помощью импульса длительностью 3π2Ω0 .
Изложенная принципиальная схема применима и к регистру с большим числом кубитов, а управляющий и управляемый кубиты могут достаточно далеко отстоять друг от друга. Передача квантовой информации между ними осуществляется с помощью общей для всей цепочки ионов колебательной моды, которая, тем самым, является квантовым регистром данных.
В заключение отметим, что квантовый логический элемент CNOT был впервые продемонстрирован экспериментально в 1995 г. в Национальном институте стандартов и технологий (NIST)
в Боулдере с помощью одного иона 9 Be+ в ловушке. Управляющим кубитом были два колебательных состояния 0 и 1 , а
управляемым кубитом являлись внутренние состояния иона g и e . Тем самым было показано, что возможно чтение из квантового регистра данных колебательного движения.
300