Кулик Введение в теорию квантовых вычислений Книга 2 2008

определяющую роль.

Для того чтобы уяснить и более глубоко понять саму суть вычислений некоторых «простых» вероятностей в квантовой механике, обратимся к наглядным и очень поучительным примерам, а именно к специальным исследованиям и экспериментам. Эти характерные примеры показывают, как надо вычислять вероятность в данном конкретном случае с точки зрения квантовой механики.

Будем обозначать вероятность перехода из состояния s в со-

стояние f (см. [6, с.236]) как w(s → f), а амплитуду вероятности

этого перехода как Ψ(s → f), причем w(s → f)=|Ψ(s → f)|2. Пусть есть несколько вариантов перехода микрообъекта из s в f (т.е. есть несколько альтернатив), которым соответствуют следующие амплитуды вероятностей [6, с.237]:

Ψ1(s → f), Ψ2(s → f), Ψ3(s → f) , …, Ψi(s → f) , … . (5.8)

В случае если альтернативы различимы, то справедливо следующее соотношение [6, с.237]:

В случае если альтернативы неразличимы, то справедливо следующие соотношения [6, с.237]:

ОТМЕТИМ. Специалисты полагают [6, с.241], что «…Теорема сложения вероятностей работает, когда альтернативы полностью различимы. Она не работает в случае частичной различимости и тем более полной неразличимости. Во всех этих случаях наблюдается интерференция амплитуд вероятностей».

ОТМЕТИМ [6, с.235, 236]. В эксперименте с электронами и щелями возникает интерференция, если опыт поставлен таким образом, что неизвестно, где именно пролетел электрон. Был сделан вывод, что [6, с.235]: «Как только начинается контролирование процесса прохождения электронов через экран с щелями, интер-

ференция исчезает. Можно сказать, что наблюдение за поведением электронов в интерферометре разрушает интерференцию».

341

Пример 5.2. Применение Правил 5.1; 5.1; 5.3 [6, с.233-244].

Пусть в некотором эксперименте с 2-мя отверстиями (щелями A и B), электронами и фотонами в интерферометре исследователя интересует вероятность перехода электрона из начального состояния s в конечное состояние f. Около щелей A и B находятся источник света Ω и фотоприемники a и b (рис. 5.4). Назначение этих 2-х фотоприемников состоит в том, чтобы регистрировать свет, который рассеется около щели.

Введем следующие обозначения [6, с.238-239]:

ΨA(s → f) — амплитуда вероятности перехода из s в f с прохо-

ждением электрона через щель A;

ΨB(s → f) — амплитуда вероятности перехода из s в f с прохо-

ждением электрона через щель B;

φ(Ω→ A → a) — амплитуда вероятности перехода, соответст-

вующая тому, что фотон, испущенный источником света Ω рассеялся на электроне, который прошел через щель A, а затем этот фотон попал в фотоприемник a;

φ(Ω→ A → b) — амплитуда вероятности перехода, соответст-

вующая тому, что фотон, испущенный источником света Ω рассеялся на электроне, который прошел через щель A, а затем этот фотон попал в фотоприемник b;

φ(Ω→ B → a) — амплитуда вероятности перехода, соответст-

вующая тому, что фотон, испущенный источником света Ω рассеялся на электроне, который прошел через щель B, а затем этот фотон попал в фотоприемник a;

φ(Ω→ B → b) — амплитуда вероятности перехода, соответст-

вующая тому, что фотон, испущенный источником света Ω рассеялся на электроне, который прошел через щель B, а затем этот фотон попал в фотоприемник b;

φ1 — амплитуда вероятности фотону рассеяться в ближний к

соответствующей щели фотоприемник;

φ2 — амплитуда вероятности фотону рассеяться в дальний от соответствующей щели фотоприемник.

Может случиться так, что фотон, если рассеяние на электроне происходит, ни в один из приемников не попадет. Так вот такие электроны исследователя не интересуют. Экран – детектор D разделен по оси x (рис. 5.4) на небольшие отрезки.

342

S

Рис. 5.4. [6, с.234]

Тогда конечное состояние электрона — это состояние f, соответствующее регистрации электрона в пределах какого-то из этих отрезков.

Из соображений симметрии можно полагать, что справедливы следующие соотношения [6, с.239]:

Случай А (присутствие альтернатив).

Электрон совершает переход из s в f и одновременно фотон рассеивается в фотоприемнике a. В этом случае имеются следующие 2 альтернативы (будем выделять две траектории):

1)электрон пролетел через щель A, фотон рассеивается в ближний к ней фотоприемник (т.е. это будет a);

2)электрон пролетел через щель B, фотон рассеивается в дальний от нее фотоприемник (т.е. это будет a).

Переходы в траекториях независимы. Зная ΨA(s → f) и φ1 и применяя к ним Правило 5.1, получим, что

Далее, поскольку неизвестна щель, через которую пролетит электрон, то альтернативы с амплитудами Д1 и Д2 — неразличимы.

343

Поэтому, зная Д1 и Д2 и применяя к ним Правило 5.2, получим, что

Ψ= Д1 + Д2= ΨA(s → f) · φ1 + ΨB(s → f) · φ2, (5.16)

где Ψ — амплитуда вероятности того, что электрон попадет из s в состояние f, а фотон — в фотоприемник a.

Случай Б (присутствие альтернатив).

Электрон совершает переход из s в f, и одновременно фотон рассеивается в фотоприемнике b. В этом случае имеются следующие 2 альтернативы (т.е. две траектории):

1)электрон пролетел через щель A, фотон рассеивается в дальний от нее фотоприемник (т.е. это будет b);

2)электрон пролетел через щель B, фотон рассеивается в ближний от нее фотоприемник (т.е. это будет b).

Переходы в траекториях независимы. Зная ΨA(s → f) и φ2 и применяя к ним Правило 5.1, получим, что

Аналогично получаем, что

Далее, поскольку неизвестна щель, через которую пролетит электрон, то альтернативы с амплитудами Ё1 и Ё2 — неразличимы. Поэтому, зная Ё1 и Ё2 и применяя к ним Правило 5.2, получим, что

Ф= Ё1 + Ё2= ΨA(s → f) · φ2 + ΨB(s → f) · φ1, (5.19)

где Ф — амплитуда вероятности того, что электрон попадет из s в состояние f, а фотон — в фотоприемник b.

Случай В (применение Правила 5.3).

Получим w(s → f) — вероятность перехода s → f независимо от того, где зарегистрируют рассеянный электроном фотон (в фотоприемнике a или b). В данном варианте имеется уже различимость того, куда попадет фотон (в a или b). Поэтому применяем

Правило 5.3 и Теорему сложения вероятностей несовместных событий и получаем следующее соотношение для искомой веро-

ятности [6, с.240]:

344

Подставим (5.16) и (5.19) в (5.20) и получим следующее соот-

Случай Г (полная НЕразличимость альтернатив).

Контроль прохождения электронов через щели отсутствует. Для этого допустим, что фотоны рассеиваются как в ближний, так и в дальний от щели фотоприемник с равной вероятностью 1/2. Тогда справедливы следующие соотношения [6, с.240]:

Из (5.22) и (5.21) получим следующее соотношение [6, с.240]:

Случай Д (полная различимость альтернатив).

Контроль прохождения электронов через щели имеется. Для этого допустим, что фотоны рассеиваются только в ближний от щели фотоприемник, а в дальний — не могут. Тогда в этом случае справедливы следующие соотношения [6, с.240]:

Из (5.24), (5.20), (5.21) следует такое соотношение [6, с.241]:

Случай Е (частичная различимость альтернатив).

В эксперименте допускается и то, что [6, с.241]: «…возможен непрерывный набор ситуаций, когда вероятность фотону рассеяться в дальний фотоприемник отлична от нуля, но при этом меньше вероятности рассеяться в ближний фотоприемник». Эти все ситуации отражены в (5.21).

Управляя условием выполнения эксперимента, можно изменять отношение |φ2|2 |φ1|2. Если это отношение увеличивается, при-

ближаясь к 1, то различимость альтернатив становится меньше, а если уменьшается, приближаясь к 0, то различимость альтернатив становится больше.

На этом закончим рассмотрение данного примера ▄

345

Пример 5.3. Соединение 2-х элементов (см. и ср. [1, с.40-41; 7]). Вернемся к Примеру 1.39 (в книге 1) и к двум (рис. 5.5в,г) по-

следовательно соединенным квантовым элементам not и двум элементам Адамара, обозначаемые на квантовых схемах как H.

Эти элементы H и not (рис. 5.5а,б) преобразуют входной сигнал A (т.е. | 0 или |1 ) в выходной сигнал B (т.е. | 0 или |1 ) в

соответствии со следующими амплитудами вероятности aAB: a00 — амплитуда вероятности перехода из | 0 в | 0 ;

a10 — амплитуда вероятности перехода из | 0 в |1 ; a01 — амплитуда вероятности перехода из |1 в | 0 ; a11 — амплитуда вероятности перехода из |1 в |1 .

Отметим, что эти амплитуды вероятности в общем случае есть

комплексные числа aAB= bAB + idAB, а i = −1 .

Требуется построить диаграмму переходов и найти вероятность того, что на выходе квантовой схемы (рис. 5.5в,г) будет |1 , если

на вход этой схемы подан | 0 .

Решение

1). Введем состояния системы Sj, где j — число 0 для | 0 или 1 для |1 , причем начальное состояние (точка O) есть S0, а

конечное — S1 (т.е. точка C).

2). Построим диаграмму, укажем амплитуды вероятности переходов (процессов) и выясним, какие траектории могут иметь место в данном случае (рис. 5.6).

Все амплитуды вероятности переходов известны, так как известны все квантовые элементы (т.е. это элементы Адамара или

элементы not ).

3). Требуется определить вероятность P01 — вероятность перехода системы ( O → C , см. рис. 5.6) из состояния S0 в S1 (точка C).

4). Вычислим P01. Согласно диаграмме (см. рис. 5.6) из т. O в т. C можно перейти только по 2-м следующим траекториям:

траектория 1: { S0, S1, S1 }; траектория 2: { S0, S0, S1 }.

Применяем Правило 5.1 для вычисления Aтраектории1 и Aтраектории2, т.е. амплитуд вероятности перехода квантовой системы по каждой

траектории.

346

в)

H H

г)

Рис. 5.5

Диаграмма переходов для 2-х элементов

S

Рис. 5.6

347

В данном случае эти амплитуды вероятности есть

Aтраектории1 = a10a11; Aтраектории2 = a00a10.

Применяем Правило 5.2 для вычисления A01 — амплитуды вероятности перехода системы из состояния S0 в состояние S1. В данном случае эта амплитуда вероятности есть

A01 =P (O → C) = Aтраектории1 + Aтраектории2 = a10a11 + a00a10 или

A01 = a10a11 + a00a10 = a10(a11 + a00).

Применяем Правило 5.3 для вычисления вероятности P01 перехода системы из состояния S0 в состояние S1. В данном случае эта веро-

ятность есть

P01 =| A01 |2 = | a10a11 + a00a10 |2.

5). Аналогично можно вычислить, что

P00 =| A00 |2 = | a00a00 + a10a01 |2 =

Обсудим кратко рассмотренный выше Пример 5.3.

В квантовых схемах полагают [1, с.238-239], что измерение можно представлять в них (выполнять или производить) только в конце всех вычислений. В данном случае имеет место полная НЕразличимость альтернатив, а значит применимы квантово-механические

Правила5.1, 5.2, 5.3 дляквантовыхсхем (рис. 5.5в,г).

Иногда на практике для удобства рассмотрения можно изображать квантовые схемы и диаграмму переходов на одном рисунке

рис. 5.8 в соответствии с известной работой [7]. На рис. 5.7, 5.8 символами 0 и 1 обозначены возможные состояния, поступающие на вход и выход элемента not . Отметим, что возможны и другие

обозначения, например, | 0 и |1 соответственно.

Рис. 5.7

not not

Рис. 5.8

350