Жданов Тайны разделения изотопов 2011

v

Рис. 7.2. К расчету средней длины свободного пробега молекул

Величину σ называют эффективным поперечным сечением столкновений молекул. Число молекул в объеме цилиндра равно

nvσ. Таким же будет число столкновений, т.е. Z = nvσ .

Используя (7.12), находим

λ = 1 nσ .

На самом деле, конечно, в газе одновременно находятся в движении все молекулы, поэтому в выражение для Z должна входить средняя скорость относительного движения молекул, так что Z = nv отн σ Более точный расчет показывает, что

vотн = 2v . В результате приходим к известной в элементарной кинетической теории формуле

Характерный радиус молекул для различных газов можно оценить из экспериментальных данных по вязкости (внутреннему

для ряда газов при нормальных условиях (p = 1атм, T = 273K).Для оценки средней длины свободного пробега при других давлениях и температурах можно воспользоваться соотношением

где давление p измеряется в атмосферах.

Таблица 7.1 Средняя длина свободного пробега молекул при нормальных условиях для различных газов

6 10−3 мкм для N 2 или меньше чем 2 10−3 мкм для UF6 . Если

диаметр канала превышает эти значения, другой способ, обеспечивающий свободно-молекулярный режим течения, состоит в том, чтобы понизить давление перед входом в канал по сравнению с атмосферным.

Поток газа в капилляре и пористой среде

Представим себе два объема V и V ′ , разделенные “ситом” −-

тонкой перегородкой с множеством отверстий малого диаметра (рис. 7.3). Объемы заполнены газом при разных давлениях по обе

стороны перегородки ( p0 > p ′ ).

162

Рис. 7.3. К расчету потока частиц газа через сито с отверстиями

Если выполнены условия, обеспечивающие свободномолекулярный режим течения газа через отверстия, то число частиц, проникающих из объема V в объем V ′ в единицу времени (поток частиц) через каждое из отверстий, равно числу частиц v ,

падающих за то же время на единицу поверхности, умноженному на площадь отверстия S , или

Поскольку при этих условиях частицы, проникающие в объем

Если определять поток в [моль с-1] , то полный расход газа через перегородку, содержащую K отверстий, равен

163

Тонкая перегородка с отверстиями может рассматриваться лишь как самая простая модель пористого фильтра. Более реальными оказываются модели, в которых пористая среда представляет собой набор узких прямолинейных капилляров круглого сечения или блок плотно упакованных шаров малого диаметра. Для простоты мы ограничимся обсуждением первой из этих моделей. В этом случае нас будет интересовать выражение для кнудсеновского потока газа GK через протяженный цилиндрический капилляр

длиной ℓ и диаметром d = 2r ( d << ℓ). Для того чтобы получить это выражение, мы воспользуемся способом, который носит название метод баланса импульса..

Рассмотрим небольшой объем капиллярной трубки длиной x

и площадью поперечного сечения πr 2 , где r −- радиус капилляра (рис. 7.4). При движении газа в капилляре возникает падение

закону Ньютона передается газу за счет взаимодействия молекул со стенкой. Будем предполагать (это находит подтверждение на опыте), что молекулы, падающие на стенку, испытывают в основном так называемое “диффузное” отражение. Это означает, что молекула сначала адсорбируется (поглощается) поверхностью стенки, а затем испускается в произвольном направлении. При этом происходит полная потеря направленной скорости молекулы вдоль стенки u . Средняя величина импульса передаваемого единице поверхности стенки равна произведению импульса направленного движения молекул mu на число столкновений молекул со стенкой

164

Выражая отсюда u , для потока частиц GK = nuS [C-1] через сечение капилляра получаем

x

Рис. 7.4. К записи уравнения баланса импульса

Более точное выражение, отличающееся только численным коэффициентом, было получено впервые еще в начале XX века в работах Смолуховского и Кнудсена и имеет вид

Для полного расхода газа QK [моль C-1] через перегородку,

образующую набор из K капилляров, имеем

По сравнению с потоком газа (7.16) через тонкую перегородку с отверстиями расход газа существенно уменьшается благодаря множителю (4d 3ℓ) , поскольку d << ℓ. Это связано с тем, что молекулы, входя в протяженный канал (трубку), испытывают многочисленные столкновения со стенками канала, что создает заметное сопротивление потоку газа.

165

Метод баланса импульса можно применить и для расчета кнудсеновского потока в однородной и изотропной пористой среде. Геометрические характеристики такой среды одинаковы в каждом малом объеме и во всех направлениях. Их принято характеризовать пористостью δ и удельной поверхностью S0 . Пористостью называют безразмерное отношение, равное объему пор в единице объема среды, а удельной поверхностью S0 [м-1] − отношение полной внутренней поверхности пор к объему среды. Пористость δ имеет также смысл отношения открытой для потока площади пор, приходящейся на единицу площади перегородки.

Если записать теперь уравнение баланса импульса для

среднего гидравлического радиуса пор. В выражение для потока будут также входить эмпирические коэффициенты, учитывающие в среднем форму пор и извилистость каналов пористой среды.

Рост давления или увеличение поперечного размера каналов (уменьшение числа Кнудсена) приводит к изменению характера течения газа. В случае с отверстиями наблюдается переход к течению по типу газодинамической струи, при расчете скорости которой должна существенно приниматься во внимание сжимаемость газа. В случае течения в капилляре наряду со свободно - молекулярным возникает коллективное вязкое течение газа, которое, в предположении несжимаемости жидкости,

166

В области течения, переходной от свободно - молекулярного к вязкому, для полного потока приближенно справедлива формула, соответствующая предположению об аддитивности свободномолекулярного и вязкого потоков

где a = 3r / 16ηv .

Коэффициент вязкости в кинетической теории для модели молекул, взаимодействующих между собой как твердые упругие шары, с хорошей точностью определяется выражением [42]

Диффузия в газовой смеси

Для того чтобы определить пространственное изменение относительной концентрации компонентов газовой смеси в процессах разделения необходимо знать выражения для потоков каждого из компонентов, возникающих в среде в результате неоднородности ее параметров (парциальной плотности компонента, давления, температуры), которые могут меняться от точки к точке. При свободно - молекулярном течении газовой смеси молекулы компонентов смеси взаимодействуют с поверхностью каналов независимо друг от друга, поэтому применение метода баланса импульса для каждого из компонентов приводит к тем же выражениям для потоков компонентов смеси в капилляре, что и в случае простого газа, с учетом различия в молекулярных массах компонентов. Далее мы будем использовать

величины потоков J1 = n1u1 и J 2 = n2 u 2 , отнесенных к единице

площади поперечного сечения капилляра. Тогда, используя выражение (7.19), имеем

167

Выражения (7.25) имеют форму так называемого закона Фика, который связывает диффузионный поток компонента смеси с изменением парциальной плотности этого компонента nk вдоль определенного направления (ось x ). Под явлением, называемом диффузией, подразумевают направленный перенос частиц (или массы) какого-либо вещества в среде другого вещества под действием разности концентраций молекул в разных точках пространства или под действием внешних сил, действующих на молекулы. Закон Фика, описывающий обычную диффузию в газовой смеси в условиях, когда наиболее существенными являются лишь столкновения молекул между собой, а не со стенками сосуда (т.е. при KN << 1 ), имеет вид

Здесь − диффузионный поток компонента 1, а D12

называется коэффициентом взаимной (или бинарной) диффузии.

В отличие от кнудсеновского коэффициента диффузии, который определяется взаимодействием молекул со стенкой, коэффициент взаимной диффузии связан с взаимодействием молекул различных

168

сортов друг с другом при их столкновениях. На вычислении этого коэффициента мы остановимся чуть позже.

Отметим теперь одно немаловажное обстоятельство. На самом деле, запись потоков в форме (7.25) и (7.27) через конечную разность парциальных плотностей компонент справедлива лишь при условии постоянства этих потоков. В молекулярной физике принято записывать закон Фика, как и другие подобные законы (например, закон Фурье для потока тепла), используя понятие градиента соответствующей скалярной величины (парциальной плотности, концентрации, температуры и т.д.). Градиентом некоторой скалярной величины называется вектор, характеризующий скорость изменения этой величины в пространстве и направленный в сторону наиболее быстрого ее возрастания. В нашем случае существенно лишь одно направление, соответствующее координате x (вдоль оси капилляра или перпендикулярно плоскости пористой перегородки). Выражения

для ( J K )1 и (J D )1 можно тогда представить как

математике величины − производной некоторой функции (в данном случае производной от парциальной плотности компонента), знак минус означает, что диффузионный поток компонента направлен в сторону падения парциальной плотности.

Укажем также, что если в среде существует отличный от нуля общий поток смеси J = J1 + J 2 , то диффузионный поток определяется в этом случае как разность полного потока легкого

компонента 1 в смеси, при этом n = n1 + n2 .

169

т.е. диффузионный поток оказывается пропорциональным разности макроскопических скоростей компонентов смеси.

Рассмотрим теперь вопрос о получении выражения для диффузионного потока, справедливого в гидродинамической

S

dp1

Рис.7.5. К записи уравнения баланса импульса

Если предположить, что плотность или парциальное давление компонента 1 в смеси меняются вдоль направления x , то сила, действующая на выделенный элемент за счет градиента парциального давления , равна

При установившейся взаимной диффузии в смеси на молекулы компонента 1 при его направленном движении со скоростью u1 действует некоторая сила со стороны молекул другого компонента как результат обмена импульсом при столкновениях молекул.. Эта сила R12 , которую называют “силой диффузионного трения”, как

170