![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Lektsii_predely_i_differentsirovanie
.pdfпроисходит изменение знака с минуса на плюс, то точка х -
точка минимума функции).
Теорема (достаточное условие экстремума с помощью первой и второй производной)
Если в точке х первая производная функции y=f(x) равна нулю (f´(x )=0), а вторая производная в точке х существует и отлична от нуля, то при f´´( х )<0 в точке х функция имеет максимум (а при f´´( х )>0 0 в точке х функция имеет
минимум).
Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Для исследования функции на экстремум, необходимо:
1.Найти критические точки функции y=f(x)
2.Исследовать знак производной f´(x) слева и справа от критических точек ( или исследовать знак второй производной в этих точках)
3.С помощью теорем о достаточном условии экстремума определить характер экстремума и вычислить его значение.
9.4. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq62x1.jpg)
Определение: График функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале; выпуклым вверх (выпуклым) на интервале (a;b), если он расположен
ниже любой ее касательной на этом интервале.
Точка, где меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.
Теорема:
Если функция y = f(x) во всех точках интервала (a;b) имеет
отрицательную производную, т. е. |
f (x) 0 , то график функции в этом |
|
интервале выпуклый вверх. Если |
же f (x) 0 x (a;b) |
- график |
выпуклый вниз. |
|
|
Доказательство. Пусть f (x) 0 |
x (a;b) . Возьмём на |
графике |
функции произвольную точку M с абсциссой x0 (a;b) и проведём через
M касательную .
Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке x (a;b) y кривой y = f(x) с ординатой yкас её
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq63x1.jpg)
касательной. |
Уравнение |
касательной, |
как |
|
известно, |
есть |
||
yкас f (x0 ) f |
|
т.е. |
yкас f (x0 ) f |
|
|
Тогда |
||
(x0 )(x x0 ) , |
|
(x0 )(x x0 ) . |
||||||
|
|
|
По |
теореме |
Лагранжа, |
|||
y yкас f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) . |
||||||||
|
|
где с |
лежит между |
|
x0 и |
x. Поэтому |
||
f (x) f (x0 ) f (c)(x x0 ) , |
|
|||||||
y yкас f (c)(x x0 ) f (x0 )(x x0 ) |
, т. е. y yкас |
f |
|
|
|
|||
(c) f |
(x0 ) (x x0 ) . |
Разность f (c) f (x0 ) снова преобразуем по формуле Лагранжа:
f (с) f (x0 ) f (c1)(c x0 ) , где с1 лежит между x0 и с. Таким образом,
получаем y yкас |
f (c1)(c x0 )(x x0 ) . |
|
|
|
||||
Исследуем это равенство: |
|
|
|
|
|
|||
если |
x x0 , |
то |
x x0 0, |
c x0 |
0 |
и |
f (c1) 0 . |
Следовательно, |
y yкас |
0, т. е. y yкас : |
|
|
|
|
|
||
если |
x x0 , |
то |
x x0 0, |
c x0 |
0 |
и |
f (c1) 0 . |
Следовательно, |
y yкас |
0, т. е. y yкас : |
|
|
|
|
|
Итак, доказано, что во всех точках интервала (a;b) ордината
касательной больше ординаты графика, т. е. график функций выпуклый
вверх. Аналогично доказывается, что при f (x) 0 график выпуклый
вниз. Ч. т. д.
Теорема 9.6. (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f′ ′ (x) при переходе через точку х0 , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то эта точка есть точка перегиба.
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq64x1.jpg)
9.5. Асимптоты графика функции.
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
1. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции
y=f(x), если |
lim |
f (x) . |
||
|
x a 0 |
|
||
2. Уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, |
||||
где k lim |
f (x) |
|
, b lim ( f (x) kx) конечные пределы. |
|
x |
||||
x |
x |
Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y=f(x) наклонной асимптоты не имеет.
Если k=0, то кривая имеет горизонтальную асимптоту y=b.
у
Например, на рисунке кривая |
у |
2 |
|
||
х 1 |
имеет вертикальную асимптоту х = - 1.
0
-1 |
x |
|
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq65x1.jpg)
9.6. Общая схема исследования функции и построения графика.
1.Найти область определения функции.
2.Определить тип функции (четность, нечетность, периодичность ).
3.Найти точки пересечения с осями координат и интервалы, на которых функция сохраняет знак.
4.Найти асимптоты графика функции:
а) вертикальные; б) наклонные.
5.Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
6.Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.
7.Построить график функции, учитывая проведенные исследования.
Пример № 1:
Построить график функции
ух 2 1
х1
1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме х=1 ( в этом случае знаменатель
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq66x1.jpg)
функции равен нулю).
2. Для определения типа функции найдем значение
у(х) |
(x)2 |
1 |
|
х2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
x 1 |
|
х 1 |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
, следовательно функция |
не является ни четной, ни нечетной (общего вида).
3. Так как уравнение х2+1=0 не имеет действительных корней то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).
Определим интервалы знакопостоянства функции:
_ |
+ |
|
|
| |
|
y(x) ниже оси Ох |
выше оси Ох |
х |
4. Найдем асимптоты графика функции.
а). Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва х=1:
lim |
x2 |
1 |
, lim |
x2 |
1 |
. |
|||
x |
1 |
|
x |
1 |
|
||||
x 1 |
x 1 |
|
Следовательно прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
б). Определим существование наклонной асимптоты: |
1 |
|
|||||||
|
f (x) |
|
x |
2 |
1 |
1 |
|
||
k lim |
lim |
|
lim |
|
x2 |
1; |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
x |
x |
x x(x 1) |
x 1 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
1 x |
|
|
|
b lim ( f (x) kx) lim |
|
x |
lim |
|
1. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
x |
x |
x 1 |
|
x x 1 |
|
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq67x1.jpg)
Из этого вытекает, что график функции имеет наклонную асимптоту
у=х+1.
5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную
функции: |
2х(x 1) (х2 1) |
|
2х2 |
2х х2 1 |
|
х2 2х 1 |
|
||
у (х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(x 1)2 |
|
(х 1)2 |
(х 1)2 |
y'(x)=0 в точках х1 1 2; х2 1
2.
Исследуем знак производной: |
y' + |
+ |
|
|
х |
|
1 2 |
1 2 |
у |
|
1 |
Получаем, что функция
возрастает на промежутках: ( ;1 2 и 1
2 ; )
убывает на промежутках: 1 2 ;1 и 1;1
2
|
|
|
|
|
|
|
Точки экстремума: хmax 1 |
2; y(1 |
2) |
2 2 2 |
xmin 1 2; y(1
2) 2 2
2
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq68x1.jpg)
6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:
|
(2x 2)(x 1)2 2(x 1)(x2 2x 1) |
|
4 |
(x 1)4 |
|
(x 1)3 |
|
y (x) |
|
Так как у’’(х) в нуль не обращается, то критических точек нет.
Исследуем знак второй производной:
у" |
|
+ |
+ |
1 2 |
1 |
1 2 |
х |
Следовательно
на интервале (-∞; 1) график направлен выпуклостью вверх (выпуклый),
ана интервале (1; +∞) – выпуклостью вниз (вогнутый).
ух 2 1
х1
y
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq69x1.jpg)
х
Пример № 2: Исследовать функцию и построить ее график: y |
2x 1 |
. |
||
|
||||
|
|
|
x2 x 1 |
|
1) x2 x 1 0 при х R , так как D=1-4=-3<0. |
|
|
||
D( y) : ( ; ) ; |
|
|
||
2) найдем точки пересечения графика с осями координат: |
|
|
||
x=0, y=1; |
|
|
||
y=0, x=- 0,5; |
|
|
||
3) y( x) |
2x 1 |
- функция общего вида; |
|
|
|
|
|
||
|
x2 x 1 |
|
|
4)функция непрерывна на ( , ) , точек разрыва нет;
5)вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты:
k lim |
f (x) |
lim |
2x 1 |
0 , |
||
|
|
|
||||
x |
x |
x x(x2 x 1) |
|
|
||
b lim( f (x) kx) |
lim |
2x 1 |
|
0 . |
||
|
|
|||||
x |
|
|
x x2 x 1 |
Следовательно, y=0 – горизонтальная асимптота; 6) исследуем функцию на возрастание и убывание.
![](/html/2706/64/html_NlMca61Ee8.XDPi/htmlconvd-Q1OlEq70x1.jpg)
|
|
|
|
2 |
x |
1) (x |
2 |
|
|
|
|
2(x |
2 |
x 1) |
(2x 1)(2x 1) |
|
||
y |
(2x 1) (x |
|
|
|
x 1) (2x 1) |
|
|
|
||||||||||
|
|
(x2 x 1)2 |
|
|
|
|
|
(x2 x 1)2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2x2 |
2x 2 4x2 |
2x 1 |
|
2x2 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(x2 x 1)2 |
|
|
(x2 x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
2x |
2 |
2x 1 |
0; |
2x |
2 |
2x 1 |
0 ; |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
4 4 2 1 |
2 12 2 2 3 1 3 |
|||||
1,2 |
|
4 |
4 |
4 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
1 3 |
, |
x2 |
|
1 3 |
-- критические точки. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( 1,37) 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 1,37 -- точка минимума; |
ymin≈ |
|
1,15 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
( 1,37)2 1,37 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0,37 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
3 |
0,37 |
-- точка максимума; |
|
ymax |
|
|
|
1,15 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
(0,37)2 0,37 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
2x |
2x 1 |
|
( 4x |
2)(x |
x 1) |
2(x |
x 1)(2x 1)( 2x |
2x 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(x |
2 |
x 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
x |
1) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2(2x 1)(x2 x 1)(x2 x 1 2x2 2x 1) |
|
2(2x 1)( x2 x 2) |
|
2(2x 1)(x2 x 2) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 x 1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 x 1)3 |
|
|
|
(x2 x 1)3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Критические |
|
точки |
|
второго |
|
|
рода |
|
найдем |
|
|
из |
уравнения: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x 1 |
0 |
или x |
2 |
x 2 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x1 |
1 |
, |
|
x2,3 |
1 |
|
1 4 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2, x3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2; |
x 12 ; |
x 1 -- абсциссы точек перегиба графика функции. |