Lektsii_predely_i_differentsirovanie
.pdf2.2.Примеры
1. Вычислить пять первых членов последовательности x |
|
= |
n 1 |
|
|
n |
n 1 |
||||
|
|
||||
|
|
|
|
Решение. Подставив вместо n последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим
x1 0, |
x2 1 3, |
x3 1/ 2, |
x4 3 5, |
x5 2 3 . |
2. Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.
Решение. Для того чтобы число при делении на-3 давало остаток 1, оно должно иметь вид 3n+1; следовательно, общий член последовательности xn =3n+1.
3. |
Последовательность задана рекуррентным соотношением |
xn 3xn 1 |
1. Найти первые члены последовательности. |
Решение. Зададим первый член последовательности: пусть x1 2 . Полагая
в |
рекуррентном |
соотношении |
n=2, |
получим |
|
x2 |
3x2 1 1 3x1 |
1 3 2 1 7. При n =3, 4, 5 соответственно находим |
|||
x3 3x2 1 3 7 1 22, |
x4 3x3 |
1 3 22 1 67, x5 3x4 1 3 67 1 202. |
. В результате |
получаем последовательность 2, 7, 22, 67, 202, ... .
1
4. Доказать, что последовательность с общим членом xn = n 2 1
монотонно убывает.
Решение. Для убывающей последовательности |
выполняется |
|
неравенство xn 1 xn , или |
xn 1 / xn 1.Запишем |
( n 1)-й член |
последовательности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
xn 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
n 1 2 1 |
n 2 2n 1 1 |
n 2 2n |
|
|
|||||||||||
Тогда |
x |
n 1 |
/ x |
n |
n2 |
1 / n2 |
2n 1, так как n 2 |
1< n2 |
2n при любом |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
натуральном п. Следовательно, данная последовательность является убывающей.
5. Доказать, что последовательность xn |
|
n 1 |
|
ограничена снизу и |
||||||||
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сверху. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Очевидно, xn |
|
n 1 |
> 1, т. е. последовательность ограничена |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
снизу. С другой стороны имеем |
n 1 |
1 |
1 |
, где |
1 |
– правильная дробь, и, |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
n |
n |
следовательно, 1+ n1 <2, т. е. последовательность ограничена сверху.
2.3. Предел числовой последовательности
Определение 1: Число a называется пределом последовательности
, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число N, зависящее от , что при всех п > N
|
|
|
|
a |
|
. |
|
|||||
выполняется неравенство |
xn |
|
|
|||||||||
Неравенство |
|
xn a |
|
|
равносильно двойному |
неравенству а- |
||||||
|
|
|||||||||||
< xn <а+ . Интервал (а- ,а+ ) |
называют – окрестностью точки а. Тот |
|||||||||||
факт, что |
число |
|
а есть |
предел |
|
|
последовательности |
, геометрически |
||||
означает, |
что в |
|
любой |
– |
окрестности точки а находятся все члены |
|||||||
последовательности |
, начиная с некоторого номера, а вне её может |
находиться лишь конечное число членов. Последовательность может иметь только один предел.
Определение 2: Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.
Если последовательность имеет пределом число а, то пишут
lim xn a . В этом случае говорят, что последовательность сходится к
n
числу а.
2.4. Теоремы о пределах
Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Другими словами ограниченность последовательности является
необходимым условием сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема I. Если последовательности |
|
|
и |
|
сходятся, то |
|||||||
lim |
xn |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
yn |
lim xn |
lim yn . |
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема II. Если последовательности |
|
|
и |
|
сходятся, то |
|||||||
lim |
x |
n |
y |
n |
|
lim x |
n |
|
lim y |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim k xn |
k lim xn . |
n |
n |
Теорема III. Если последовательности и сходятся и предел последовательности отличен от нуля, то
|
xn |
|
lim x |
n |
|
lim |
n |
. |
|||
|
|
|
|||
n yn |
|
lim yn |
|||
|
|
|
n |
|
|
2.5. Предельный переход в неравенствах
Рассмотрим последовательности
Теорема IV. Если |
lim xn |
a, lim yn |
b и, начиная с некоторого номера n, |
|
n |
n |
|
выполняется неравенство , то .
Теорема V. . Если |
lim xn |
a, lim yn |
a |
и, начиная с некоторого номера n, |
|
n |
n |
|
|
справедливо неравенство |
|
|
, то lim zn a . |
|
|
|
|
|
n |
2.6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Иными словами, последовательность называется
бесконечно малой, если для любого 0 |
найдётся такое натуральное |
|||||||||||
число N, что при всех n>N выполняется неравенство |
|
n 0 |
|
|
|
n |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|||||||||
Теорема I. Сумма двух бесконечно малых последовательностей |
||||||||||||
является бесконечно малой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема II. Произведение ограниченной последовательности на |
||||||||||||
бесконечно малую является бесконечно малой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие. Произведение двух бесконечно малых |
является бесконечно |
|||||||||||
малой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема III. Для того чтобы |
выполнялось |
равенство |
lim xn a, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
необходимо и достаточно, чтобы xn |
a n |
, где lim n 0. |
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого М >0 найдётся такое натуральное число N, что при п N выполняется
неравенство an M , В этом случае пишут lim an
n
Если |
lim an |
и все числа an , |
начиная с некоторого |
номера N, |
|
n |
|
|
|
положительны, то последовательность |
стремится к + : |
lim an . |
||
|
|
|
|
n |
Если все числа an , начиная с некоторого номера N, отрицательны, то
последовательность стремится к – : lim an .
n
Если |
– |
бесконечно |
большая |
последовательность, |
то |
|||
последовательность |
бесконечно малая. |
Наоборот, если |
– |
|||||
малая последовательность, то |
бесконечно большая. |
|
||||||
Пример 6: Доказать, что последовательность xn |
|
5n |
|
сходится к числу 5. |
||||
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
Решение. Согласно определению, число 5 является пределом последовательности , если для любого 0 можно указать такой
номер N, что для всех членов последовательности с номерами п>N будет выполнено неравенство
5n |
|
5 |
. |
n |
|
||
1 |
|
Пусть задано произвольное положительное число ; тогда из
последнего неравенства получим
5n 5n 5 |
|
, или |
5 |
|
. |
||
|
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
n 1 |
||||
n 1 |
|||||||
|
|
|
Решив это неравенство относительно n, находим n 5 1.
Итак, если в качестве N взять любое натуральное число, не меньшее
5 1, то при всех п>N для любого 0 будет выполнено неравенство
5n |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда по определению предела следует, что lim |
5n |
|
5. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
1 |
||
Пусть, например, |
0,01; тогда |
|
5 |
1 |
5 |
1 499. Возьмем любой |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.01 |
|
|
|
||
член последовательности ( xn ) с номером, большим 499, например |
|||||||||||||||||||||||||||
n=500; тогда x500 |
5 500 |
|
|
|
2500 |
. Находим величину |
|||||||||||||||||||||
500 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
501 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
500 |
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
0,01, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
501 |
|
|
|
501 |
|
501 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. x500 5 0,01. Таким образом, все члены последовательности,
начиная с 500-го, находятся в – окрестности числа 5, т. е., в интервале (4,99; 5,01). Аналогичным образом для любого заданного числа 0
можно найти номер N, начиная с которого все члены последовательности попадут в – окрестность числа 5.
Пример 7: Доказать, что последовательность xn n является
расходящейся.
|
Решение. Допустим противное: предположим, что последовательность |
|
xn |
n сходится и ее предел равен числу а, т. е. |
lim xn a . Пусть |
|
|
n |
натуральное число N превосходит а: N > а. При любом п > N имеем
xn a n a n a n N 1,
что противоречит определению предела, так как при всех 1 должно выполняться неравенство xn a .
Вычислите пределы следующих последовательностей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) lim |
3n 1 |
; 2) lim |
5 |
n 1 |
; 3) lim |
2n2 |
3n 4 |
; 4) lim |
|
1 n |
; 5) lim |
|
n2 |
3n 1 n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4n 1 |
|
n 1 |
|
|
2n 3 |
||||||||
n 7n 1 |
n |
|
n |
n 3n2 |
n n2 |
n |
|
Решение. 1) Числитель и знаменатель не имеют предела, так как это неограниченные последовательности; следовательно, теорему о пределе частного непосредственно применить нельзя. Разделив числитель и знаменатель на n и применив затем теорему о пределе частного, получим
|
3n 1 |
|
lim |
|
n 3 1/ n |
|
lim |
3 1/ n |
|
3 lim 1/ n |
|
|
3 0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 1/ n |
|
|
lim 1/ n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n 7n 1 |
|
|
n n 7 1/ n |
|
lim |
|
7 |
|
|
7 0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остальные пределы вычисляются аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
1 |
5 1 |
0 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) lim 5 |
|
|
|
|
|
5 lim |
|
|
|
|
|
5 lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 / n 4 / n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2n2 |
3n 4 |
|
lim |
n2 2 3 / n 4 / n2 |
|
lim n2 |
|
2 0 0 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
3n2 |
4n 1 |
|
|
|
2 3 4 / n |
1/ n2 |
lim n2 |
3 4 / n 1/ n2 |
3 0 |
0 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1/ n2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) lim |
|
|
1 n |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1/ n 1/ n2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n n2 n 1 |
n n2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 3 / n 1/ n2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
n2 |
3n 1 n |
|
lim |
lim |
1 3 / n 1/ n2 |
|
1 1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
n 2 3 / n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
3 / n |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры:
1.Написать первые четыре члена последовательности , если
2.Какая из следующих последовательностей ограничена?
a.2,4,6,8,….
b.-1,-4,-9,-16,…
c.1/3, 1/9, 1/27, 1/81,…
d.-2, 4, -8, 16,…
3.Вычислить предел последовательности:
4. Вычислить предел последовательности: |
) |
5. Вычислить предел последовательности:
Ответы:
1.
2. 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,…
3.
4. |
) = 0 |
5. =
Лекция № 3
Предел функции
3.1.Определение предела функции
Определение 1 |
( «на языке |
», или по Коши): |
|
|||||||||
Число А называется пределом функции |
f x при |
x a , если для любого |
||||||||||
числа |
|
0 |
можно |
указать |
такое |
|
|
0 , |
что для любого х, |
|||
удовлетворяющего неравенству |
0 |
|
x a |
|
, выполняется неравенство |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
f x A |
|
. В этом случае пишут |
|
|
lim f x A |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x a |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Определение 2 |
( «на языке последовательностей», или по Гейне ): |
Число А называется пределом функции f(x) в точке a (или при x a ), если
для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к a, (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А(т.е. ).
Заметим, что для существования предела функции в точке a вовсе не требуется, чтобы функция f x была непременно определена в точке a. Для того чтобы функция f x стремилась к пределу при x a ,
необходимо лишь, чтобы в области её определения были точки, как угодно близкие к a и отличные от a.
|
Пример: Используя определение, доказать что |
f x 3x 2 в точке x 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет предел, равный единице, т.е. |
lim 3x 2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. В данном примере f x 3x 2 , А=1, и a=1. Возьмём любое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 . Задача состоит в том, чтобы по этому |
найти такое 0 , при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
котором |
из |
|
неравенства |
|
0 |
|
x 1 |
|
|
|
следовало бы неравенство, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
f x 1 |
|
|
|
|
3x 2 1 |
|
|
|
. Преобразуя последнее неравенство, |
получаем |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 1 |
|
, |
или |
|
x |
1 |
|
3 . |
Отсюда видно, что если взять |
3 , то для |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
всех x, удовлетворяющих неравенству |
|
|
x 1 |
|
, выполняется требуемое |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3x 2 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
неравенство |
|
|
Это означает, что x 1 |
. В частности, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
если 1, то |
3 |
|
|
|
|
|
2 , то |
6 и т.д. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что вычислить предел функции, используя только определение, довольно сложно. На практике обычно пользуются теоремами о пределах, которые приведены ниже.
Интервал a , a называется – окрестностью точки а. Пользуясь этим названием, дадим определение предел функции f x при х стремящемся к а (или в точке в а): Если для любого числа 0 существует
– окрестность точки а, такая, что для любого |
x a из этой окрестности |
|||||
|
f x A |
|
|
|
A f x A ), или |
|
выполняется неравенство |
|
|
( |
|||
значение функции попадает в |
- окрестность точки А. (см. рис.) |
На рис. видно, что при приближении точки x к значению а, значения функции приближаются к числу А. Естественно считать, что число А – предел функции f x
при x, стремящемся к а.
3.2. Односторонние пределы:
Если число A1 есть предел функции y f x при х стремящемся к а так,
что х принимает только значения, меньшие а, то A1 называется левым |
||
пределом функции f x в точке а: |
lim f |
x A , |
|
x a 0 |
1 |
|
|
Если число A2 есть предел функции y f x при х стремящемся к а так,
что х принимает только значения, |
большие а, A2 |
называется правым |
пределом функции f x |
в точке а: lim |
f x A . |
|
x a 0 |
2 |
|
|
3.3. Бесконечно малые функции
Функция f x называется бесконечно малой при x a , если
lim f x 0 .
x a
Определение. Функция f(x) |
называется бесконечно малой при x a , |
если |
. |
3.4. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
1.Произведение ограниченной при x a функции на б.м. при x a , есть функция б.м. при x a .
2. Произведение конечного числа б.м. при x a функции есть б.м. при x a функция.
3.Произведение постоянной на б.м. при x a функцию есть б.м. при x a
функция.
Определение: Функция f x называется бесконечно большой при x a ,
если lim f x |
т.е lim f x , или lim f x . |
|
x a |
x a |
x a |
4. |
Если функции f x и x - бесконечно малые при x a , то их сумма |
||||||||
|
f x x при x a также является бесконечно малой. |
|
|||||||
5. |
Если функция f x – бесконечно малая при x a , а F x - ограниченная |
||||||||
|
функция, то их произведение |
f x F x есть |
функция бесконечно |
||||||
|
малая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть |
||||||||
|
величина бесконечно малая. |
|
lim f x A |
|
|||||
7. |
Если при |
x a функция |
f x |
|
,а |
||||
имеет конечный предел x a |
|||||||||
|
функция x - бесконечно большая, то |
|
|
||||||
|
lim f x x , |
lim |
|
f x |
0. |
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
||||
|
x a |
|
|
|
|
||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Если функция f x – бесконечно малая при x a , то функция |
|
|||||||
|
- бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности |
|
|||||||
|
точки а функция f(x) не обращается в нуль. Наоборот, если при x a |
|
|||||||
|
функция |
- бесконечно большая, то функция |
- бесконечно |
|
|||||
|
малая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Теорема о единственности предела
Теорема: Если функция f x имеет предел при , то этот предел
единственный.
Доказательство:
Пусть lim f x A . Допустим B A : lim f x B . Т.к. |
A lim f x , то 0 |
|||||||||||||||||
X a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
x a |
||||||
|
|
|
|
f x A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 0 : x : |
x a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||
Т.к. B lim f x , то 2 0 : x : |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
f x B |
|
|
. |
|
|||||
|
x a |
|
2 |
|
|
|
|
(2) |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Выберем min 1; 2 . Тогда при всех х, удовлетворяющих условию: x a , выполняется (1) и (2).