Декартово произведение множества X само на себя n раз называется декартовой степенью:

X n=X × X ×…×X .

Упорядоченную совокупность (x1 , x2 ,…, xn ) называют кортежом длины n. Элементы x1 , x2 , …, xn называют компонентами кортежа.

Другие названия кортежа и его компонент: вектор и координаты вектора,

последовательность и элементы последовательности. Рассмотрим пример, пусть X ={1,2} и Y ={a ,b ,c} , тогда

X ×Y ={(1, a),(1,b),(1, c),(2,a ),(2, b),(2, c)} .

Следует обратить внимание, что множества в декартовом произведении могут быть любой природы, не обязательно из одного и того же универсума.

Круги Эйлера

Круги Эйлера – способ наглядного представления отношений двух и более множеств. Множества представляются с помощью кругов или других фигур. Названы так в честь Леонгарда Эйлера (1707 – 1783), так как он использовал их при решении некоторых задач. Однако такой способ наглядного представления множеств использовался и до него, например, Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 – 1716).

Мультимножества

Иногда полезно рассматривать совокупность объектов с общими свойствами, среди которых есть совпадения. Такую совокупность называют мультимножеством. В мультимножестве каждому его элементу приписаны так называемые кратности, то есть количества совпадений. Понятие множества можно считать частным случаем мультимножества, если назначить каждому элементу множества кратность равную единице. Можем также считать, что кратность равная нулю означает отсутствие данного элемента в данном мультимножестве.

Говорят, что мультимножество X является подмножеством мультимножества Y, если кратность каждого элемента X не больше кратности соответствующего элемента в Y.

Пусть X ={x1 k1 , x2 k 2 ,…, xn k n} , тогда X =k1+ k 2+ …+ k n .

Бинарные отношения

Бинарным отношением R между множествами X и Y называется подмножество произведения X ×Y и обозначается X RY . Если X =Y , то бинарное отношение называется отношением на множестве X.

Бинарное отношение может быть задано с помощью матрицы бинарного отношения, в которой 1 обозначает наличие пары (x , y) в бинарном отношении, и 0 – её отсутствие.

Бинарное отношение R называется:

рефлексивным, если x X :(x , x) R ; антирефлексивным, если x X :(x , x) R ;

полным (или универсальным), если x , y X , x≠ y :(x , y)Rили ( y , x)R ;

нулевым, если x , y X :(x , y)R .

Если множество X конечно, то матрицы вышеперечисленных отношений R на множестве X обладают определёнными свойствами, но мы их здесь рассматривать не будем.

Упорядоченные множества

Говорят, что множество X упорядочено, если для любой пары его элементов x и y определено понятие неравенства x< y , обладающее следующими свойствами:

1)если x< y , то x≠ y ;

2)если x< y и y<z , то x <z .

Легко упорядочить известные числовые множества , , , и даже . Во множествах слов (словарях) также вводится порядок, обычно лексикографический.

Говорят, что два упорядоченных множества X и Y имеют один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов этих множеств.

Множества в информатике и программировании

Множества в информатике и программировании применяются в тех задачах, где не важно количество каких-то объектов, а только сам факт их наличия или отсутствия. Традиционно рассмотрение множеств как структуры данных происходит в дисциплинах «Программирование» или «Алгоритмы и структуры данных». Существует несколько способов эффективного построения множеств и реализации операций над ними. Подробности в соответствующей литературе.

Библиография

Об элементах теории множеств можно прочитать в [Хаггарти]. Элементарное изложение теории множеств, плавно перетекающее в комбинаторику, в учебниках [Кузьмин: комбинаторика] и [Кузьмин: комбинаторные методы]. Увлекательное популярное введение в

теорию множеств в [Виленкин: множества]. Более подробное изложение теории множеств с акцентом на программирование в [Новиков]. Основательное изложение теории множеств в [Хаусдорф] и [Френкель, Бар-Хиллел]. Труды Кантора по теории множеств в [Кантор]. Вопросам реализации множеств как структуры данных посвящены главы в [Скиена] и [Кормен, Лейзерсон и др.].