Обработка эксперим данных Роганов
.pdfпри n → ∞ ( в силу попарной независимости Xi
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
∑(Xi − MXi )= ∑D(Xi − MXi ) |
= ∑DXi ) |
|||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
Отсюда на основании леммы 1 следует утверждение теоремы. |
|||||||||
Теорему Чебышева можно записать и в виде |
|
||||||||
|
|
|
1 |
n |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∑X i − |
∑MX i |
|
|
|
||
lim P |
|
|
|
|
≤ε =1, ε > 0 — любое. |
||||
n→∞ |
|
|
n i=1 |
n i=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
Следствие. Пусть в условиях теоремы Чебышева случайные
величины |
Xi |
имеют |
одинаковые |
математические |
ожидания: |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
MX1 = MX2 =...= μ . |
Тогда |
последовательность |
Yn = |
∑Xi |
при |
||||
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ сходится по вероятности к математическому ожиданию μ :
|
1 |
n |
|
|
|
Yn = |
∑Xi →μ, n→∞. |
||||
n |
|||||
|
i=1 |
р |
p |
||
|
|
|
|
Это следствие теоремы Чебышева служит обоснованием правила среднего арифметического, применяемого в теории измерений, которое сводится к тому, что, повторив n раз измерение величины μ и получив в качестве результатов случайные величины X1, X2 , ...,Xn , за приближенное значение μ принимают среднее арифметическое из наблюденных значений
μ) = 1n (X1 + X 2 +... + X n ). Если при измерениях отсутствует систематическая ошибка (т.е. все MXi = μ , i = 1, 2, …, n), то согласно закону больших чисел при достаточно больших n с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, будет получен результат μ$ , произвольно мало отличающийся от истинного значения μ .
Важнейшим следствием закона больших чисел Чебышева является
81
Теорема 3 (Бернулли) [9]. Пусть Yn — число успехов в серии из n
испытаний Бернулли и р – вероятность успеха при каждом испытании. Тогда последовательность частот {Yn / n} при n → ∞ cходится по вероятности к р.
Доказательство. Введем случайные величины |
Xk , равные числу |
||||||||||||||
успехов при k-м испытании, k = 1, 2, … . Тогда |
Yn = X1+...+Xn , MXk = p , |
||||||||||||||
DXk = pq . Поэтому согласно теореме Чебышева при любом ε > 0 |
|||||||||||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim P |
|
n |
− p |
|
> ε = lim P |
|
∑ |
X |
k |
− |
∑ |
MX |
k |
> ε = 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n→∞ |
|
n |
|
|
|
n→∞ |
|
n k=1 |
|
|
|
n k=1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В определенном смысле эта теорема может служить “аксиомой измерения”, доставляя непротиворечивый способ практического определения тех вероятностей, о которых идет речь в аксиоматической теории вероятностей. Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для фиксированного достаточно большого n очень правдоподобно, что частота
Yn / n будет уклоняться от вероятности р меньше, чем на ε . Отсюда, однако,
не следует, что разность Yn / n − p останется малой для всех достаточно больших n. Может оказаться, что она принимает значения, близкие к единице. Теорема 3 гарантирует лишь, что эти большие отклонения могут появляться весьма редко. Для полного обоснования частотной интерпретации вероятности желательно иметь теорему, обеспечивающую сходимость последовательности частот к вероятности. Введем сейчас некоторые новые понятия и дадим усиленный вариант теоремы Бернулли, удовлетворяющий этому требованию.
Определение 2. Последовательность случайных величин {X n }
сходится к случайной величине Х с вероятностью 1 ( или почти наверное), если
P(ω Ω: lim X n (ω)= X (ω))=1
n→∞
82
т.е. X n (ω)→ X (ω) при n → ∞ для всех ω Ω, за исключением, быть может,
множества С Ω нулевой вероятности, P(C) = 0. Эта сходимость обозначается так: Xn → X п.н.
Согласно этому определению для каждого ω Ω\ C и любого ε > 0
X n (ω)− X (ω) ≤ ε для всех достаточно больших n. Поэтому если обозначить через An,ε событие An,ε = (ω Ω : X n (ω)− X (ω) > ε), n = 1, 2, …, то для
любого ε > 0 с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий
An,ε . Оказывается, что это условие является и достаточным для сходимости с вероятностью 1. Действительно, возьмем ε =1/ k и обозначим через Bk
событие, состоящее в том, что происходит лишь конечное число событий из
= (ω Ω : X n (ω)− X (ω) >1/ k ), n = 1, 2, … . По условию P(Bk )=1, k = 1, 2, … Очевидно, что события Bk , k = 1, 2, …, образуют монотонно убывающую
последовательность: B1 B2 B3 ... . Обозначим |
через |
В |
событие |
||
∞ |
P(B) |
= lim P(B )=1 |
|
||
B = IBk . В силу непрерывности вероятности |
, так как |
||||
|
k→∞ |
k |
|||
k=1 |
|
|
|
|
все P(Bk )=1. Из определения события В следует, что В состоит из всех таких
ω Ω, для которых X n (ω)→ X (ω) при n → ∞ . Итак, Р(В) = 1, и высказанное выше утверждение доказано. Таким образом, Xn → X п.н. тогда только тогда,
когда для любого ε > 0 вероятность того, что осуществляется лишь конечное число событий Xn − X > ε, n = 1, 2, ..., равна 1.
Лемма 2 (Бореля-Кантелли) [9]. Если для последовательности {An }
произвольных событий An , n = 1, 2, ..., выполнено условие
∞
∑P(An )< ∞
n=1
то с вероятностью 1 происходит лишь конечное число этих событий.
83
Доказательство. Пусть событие Bn состоит в том, что происходит
∞
хотя бы одно из событий Ak с k ≥ n , т.е. Bn = UAk . Очевидно, что
k=n
B1 B2 ... Пусть, далее, событие В означает, что происходит бесконечное число событий из An , n = 1, 2, .... Событие В наступает тогда и только тогда,
∞
когда происходят все Bn , т.е. B = IBn . Отсюда в силу того, что B1 B2 ..
n=1
и непрерывности |
вероятности, получим: |
P(B)= lim P(Bn ) |
Поскольку |
|
|
n→∞ |
|
∞ |
∞ |
|
|
Bn = UAk , то P(Bn )≤ ∑P(Ak ). |
|
|
|
k=n |
k =n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
Так как ряд |
∑P(An ) сходится, то его |
остаток ∑P(An )→ 0 при |
|
|
n=1 |
n=1 |
|
n → ∞ и в силу последнего неравенства P(Bn )→ 0 при n → ∞ . Отсюда и из
равенства |
P(B)= lim P(Bn ) |
находим, что Р(В) = 0. |
Поэтому противоположное |
|||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
событие |
|
, состоящее |
в том, что наступает |
конечное число событий |
||
В |
||||||
An , n = 1, 2, ..., имеет вероятность, равную 1, |
P( |
|
)=1, что и требовалось |
|||
B |
доказать.
Используя лемму Бореля-Кантелли, установим следующий усиленный вариант закона больших чисел.
Теорема 4 (усиленный закон больших чисел) [9]. Пусть Х1, Х2 ,... —
последовательность попарно независимых случайных величин, для которых MXi = μ, DXi = σ2 . Тогда при n → ∞
1 ∑n Xi → μ
n i=1
с вероятностью 1.
84
Доказательство. Вводя в случае необходимости новые случайные
величины |
X' |
= X |
i |
− μ , |
можем |
считать, |
что |
|
μ = 0. |
Обозначим через Y |
||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
случайную |
величину |
|
k |
|
|
. Нам |
надо |
доказать, что при |
|
|||||||||||||
Yk = ∑Xi |
n → ∞ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1/ n)Yn → 0 |
|
Для каждого натурального n возьмем натуральное число m так, |
||||||||||||||||||||
п.н. |
||||||||||||||||||||||
m2 ≤ n ≤ (m +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чтобы |
|
|
|
. Так как MYk = 0 , то неравенство Чебышева дает |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y |
2 |
|
|
DY |
2 |
|
|
σ 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
m |
|
> ε ≤ |
|
|
m |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
2 |
m |
4 |
ε |
2 |
m |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем
|
|
|
|
|
|
|
|
Y) 2 = |
|
|
|
max |
|
|
X |
|
|
2 |
|
+... + X k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m2 +1<k<(m+1)2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Снова применяя неравенство Чебышева, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
|
(m+1)2 |
|
|
|
X |
|
2 +... + X |
k |
|
|
|
|
(m+1)2 |
(k − |
|
2 |
)σ |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
Ym2 |
|
|
> ε |
≤ |
∑ P |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
> |
ε |
≤ |
∑ |
m |
|
|
≤ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
ε |
2 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
m |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =m |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 2m |
(2m +1)σ 2 |
≤ |
5σ 2 |
|
ε 2m4 |
ε 2 m2 |
|||
|
|
(здесь в сумме 2m слагаемых и (k −m2 )≤ 2m +1 ). В силу полученных оценок получаем, что числовые ряды
∞ |
|
|
|
Y |
2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
Y) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
∑P |
|
|
m |
|
|
> ε , ∑P |
|
|
m |
|
|
> ε |
|||||
2 |
2 |
||||||||||||||||
m=1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходятся, а тогда на основании леммы Бореля-Кантелли заключаем, что с |
||||||||
|
|
|
|
Y |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
>ε |
|
|
|
|||||||
вероятностью 1 может произойти только конечное число событий |
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ym2 |
|
|
> ε |
|
|
m2 |
, т.е. согласно критерию сходимости п.н. с вероятностью 1 |
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
|
Ym2 |
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 0 и |
|
Ym2 |
|
→ 0 при n → ∞. |
|||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку для любого n из сегмента |
|
m2 ≤ n ≤ (m +1)2 |
|||||||||||||||
|
|
|
Yn |
|
|
|
Ym2 |
|
|
|
|
$ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
+ |
|
Ym2 |
|
, |
|||||
|
|
|
n |
|
m2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то Yn / n → 0 при n → ∞ с вероятностью 1.
Простым следствием доказанной теоремы является усиленный закон больших чисел Бернулли.
Теорема 5 (Борель) [9]. ПустьYn — число успехов в серии из n
независимых испытаний Бернулли, р – вероятность успеха при каждом
испытании. Тогда последовательность частот {Yn / n} при n → ∞ сходится с вероятностью 1 к вероятности р.
Доказательство. Достаточно ввести случайные величины Xi , равные
n
числу успехов в i-м испытании, Xi =1,0 , MXi = p , DXi = pq ; Yn = ∑Xi и
i=1
применить теорему 4 к Yn .
Рассмотрим теперь один важный вариант закона больших чисел, принадлежащий Хинчину. В этом варианте не требуется существования дисперсий случайных величин.
Теорема 6 (Хинчин) [9]. Пусть одинаково распределенные случайные
величины |
Х1, Х2 ,... попарно независимы и имеют конечное математическое |
||||
|
|
|
1 |
n |
|
ожидание |
MXi = μ . Тогда при n → ∞ |
Yn = |
∑Xk сходится по вероятности |
||
n |
|||||
|
|
|
k=1 |
||
|
|
|
|
к μ, Yn →p μ .
Докажем теперь следующую теорему, в которой отсутствует предположение о попарной независимости случайных величин.
86
Теорема 7 (Марков) [9]. Если последовательность случайных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ... такова, что MX |
|
= μ и |
|
|
|
|
|
D |
∑X i |
→ 0 |
при n |
→ ∞ , то |
||||
величин |
Х , Х |
|
|
|
n |
2 |
|
|||||||||||||||||
2 |
i |
|
|
|
i=1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n → ∞ Yn |
= |
∑Xi → μ по вероятности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Доказательство. Положим |
|
ξn = |
∑Xi − μ . |
Тогда |
Mξn = 0 , |
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dξn = |
|
|
|
D |
∑Xi |
→ 0 |
при n |
→ ∞ и согласно лемме 1 получаем утверждение |
||||||||||||||||
n |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример. |
Рассмотрим |
схему |
независимых |
испытаний: при |
каждом |
испытании полная группа событий состоит из A1, A2 , ..., Ar , и вероятность
наступления |
при |
каждом |
испытании |
события |
Ai |
равна |
||||||||
pi , pi ≥ 0 , p1+...+pr =1. |
Пусть |
Y |
(i), i =1, 2, ..., r |
случайная величина, |
равная |
|||||||||
n |
|
|
||||||||||||
числу наступлений события Ai |
|
|
|
|
|
|
|
Y (i ) / n |
||||||
в серии из n испытаний, тогда частота |
n |
|
||||||||||||
появлений |
события |
Ai |
при |
n → ∞ |
сходится по |
вероятности |
к |
|||||||
pi , i = 1, 2, ..., r . Действительно, пусть Xk |
— число наступлений Ai |
в k-м |
||||||||||||
испытании, |
Xk = 0 или 1 |
с |
вероятностями |
соответственно 1− pi |
и |
|
pi . |
|||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
MX k = pi , DX k = MX k2 −(MX k )2 = pi − pi2 = pi (1− pi ), а Yn(i ) = ∑X k |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
Применяя теорему Чебышева, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Y (i ) |
→ p |
, n → ∞, i =1, 2, ..., r |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
p |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
Глава 5 Центральные предельные теоремы
Утверждения, полученные в форме законов больших чисел, представляют собой заключения о сходимости последовательности случайных величин {X n }, n =1, 2, ..., к некоторой случайной (или неслучайной) величине Х[9]. Эти утверждения не дают нам никакой информации о том, как аппроксимировать распределение случайных величин Xn при больших n.
Ответ на этот вопрос дают так называемые центральные предельные теоремы, в которых речь идет о новом виде сходимости последовательности случайных величин – сходимости по распределению. Основным аппаратом, используемым при изучении центральных предельных теорем, является аппарат характеристических функций, играющий важную роль и в других разделах теории вероятностей.
§ 1. Характеристические функции
Определение 1. Характеристической функцией случайной величины Х называется функция f X (t) вещественной переменной t, определенная равенством [9]
f X (t)= MeitX = ∞∫eitX dFX (x), −∞ < t < ∞. |
(1) |
−∞ |
|
Вообще, если ξ — комплексная случайная величина ξ = X +iY , где Х и
Y – действительные случайные величины, то по определению
Mξ = MX +iMY.
В определении (1) интеграл понимается либо как сумма абсолютно сходящегося ряда
∞ |
|
fX (t)= ∑ eitX pk , |
(2) |
k=1 |
88
если Х – дискретная случайная величина, xk — ее значения, а pk —
соответствующие вероятности, k = 1, 2, …, либо как абсолютно сходящийся интеграл
fX (t)= ∞∫eitX p(x)dx, |
(3) |
−∞ |
если Х – непрерывная случайная величина с плотностью р(х). Хотя интеграл
(1) представляет собой интеграл Стильтьеса, мы не будем опираться на его специфические свойства и будем рассматривать (1) как краткую запись для выражений (2) и (3). Все дальнейшие рассуждения проводятся таким образом, что они одинаково применимы для случаев (2) и (3), ввиду чего будем использовать лишь обозначение (1).
Характеристическая функция существует для любой случайной величины, поскольку ввиду равенства eitx =1 ряд (2) и интеграл (3) сходятся
абсолютно. Очевидно, fX (0)=1, и f X (t) ≤1.
Теорема 1. [9] Пусть X1, X2 , ...,Xn — независимые в совокупности случайные величины. Тогда
fX1+..+Xn (t)= fX1 (t)... fX1 (t) |
(4) |
Доказательство. |
|
fX1 +..+ X n (t)= Meit(X1 +...+ X n ) = M (eitX1 ...eitX n )= MeitX1 ...MeitX n |
= fX1 (t)... fX1 (t) |
Здесь мы воспользовались теоремой о математическом ожидании
произведения |
независимых |
случайных |
величин. |
Независимость |
eitX1 , ..., eitXn |
следует из независимости X1, X2 , ...,Xn . |
|
В доказанной теореме сформулировано основное свойство характеристических функций, которое используется при доказательстве центральных предельных теорем [9].
Теорема 2.
fσX +μ (t)= eitμ f X (σt), σ, μ − const
Доказательство.
89
fσX +μ (t)= Meit (σX +μ) = eitμ MeitσX = eitμ fX (σt)
Теорема 3. Если существует момент MXk , то k-я производная f X(k )(t)
характеристическая функция f X (t) существует, равномерно непрерывна и f X(k )(0)= ik MX k .
Рассмотрим несколько примеров х.ф.
1. Нормальное распределение N ( 0, 1) имеет характеристическую функцию
∞ |
1 |
e− |
x2 |
1 |
e− |
t2 ∞ (it−x)2 |
dx = e− |
t2 |
||
f X (t)= ∫eitx |
|
dx = |
|
∫e 2 |
|
|||||
2 |
2 |
2 |
||||||||
−∞ |
2π |
|
|
|
2π |
|
|
−∞ |
|
|
Если X N (0, 1), то (σX +α) N (α,σ 2 ) и согласно теореме 2
fσX +α (t)= eitα −σ 2t 2 / 2 .
2.Характеристическая функция распределения Пуассона
∞ |
|
k |
−λ |
∞ |
1 |
|
|
fX (t)= ∑eitk λ e |
|
= e−λ ∑(λeit )k |
|
= e−λeλeit |
|||
|
k! |
||||||
k = |
0 |
k! |
k =0 |
|
3.Характеристическая функция биномиального распределения
n |
n |
|
fX (t)= ∑eitkCnk pk qn−k = ∑Cnk (neit )k qn−k = (neit + q)n |
. |
|
k =0 |
k =0 |
§ 2. Центральные предельные теоремы
Предварительное понимание содержания центральных предельных теорем может быть получено следующим образом [9]. Рассмотрим суммы
|
|
|
Yn = X1+...+Xn , n = 1, 2, ..., |
|
|
независимых |
случайных |
величин, которые принимают целочисленные |
|||
значения |
и |
все |
имеют |
одинаковые |
распределения |
90