Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf7.4. теыеойс |
161 |
фБВМ. 7.1. œЛМБД ФЕРМПŒЩИ Й ЛŒБОФПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК Œ ЛПТТЕМСГЙПООХА ЖХОЛГЙА
D |
C0(r) |
´CÔ(r) |
3 |
1=r2 |
T =r |
21=r T ln(L=r)
1 ln(L=r) |
T L |
œ. D = 1: |
T |
∞ |
dk |
T L |
|
|
|
|
|
|
|||||
´CÔ(1)(r) = |
ıjc2 |
|
1 |
cos(kr) k2 |
= ¸ jc2 |
: |
(7.110) |
|
|
≈L− |
|
|
|
|
|
œ ЬФПН УМХЮБЕ ЙОФЕЗТБМ РТЙ НБМЩИ k ТБУИПДЙФУС ОЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ, Б УФЕРЕООЩН ПВТБЪПН. рПЬФПНХ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ ¸ Œ ЬФПН УППФОПЫЕОЙЙ Œ ПВЭЕН ŒЙДЕ ОЕŒПЪНПЦОП: Œ ЮБУФОПУФЙ, ŒЕМЙЮЙОБ ¸ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЗТБОЙЮОЩИ ХУМПŒЙК, Б ФБЛЦЕ ПФ ТБУРПМПЦЕОЙС ФПЮЕЛ, Œ ЛПФПТЩИ ЙЪНЕТСАФУС УНЕЭЕОЙС, РП ПФОПЫЕОЙА Л ЗТБОЙГЕ УЙУФЕНЩ.
рПМХЮЕООЩЕ ТЕЪХМШФБФЩ РПЪŒПМСАФ ЙУУМЕДПŒБФШ ŒПРТПУ П ТБЪТХЫЕОЙЙ ДБМШОЕЗП РПТСДЛБ ЛŒБОФПŒЩНЙ Й ФЕРМПŒЩНЙ ЖМХЛФХБГЙСНЙ. дМС ЬФПЗП ОЕПВИПДЙНП ЙЪХЮЙФШ РПŒЕДЕОЙЕ CÔ(r) ÐÒÉ r → ∞. åÓÌÉ ÐÒÉ ÜÔÏÍ CÔ(r) → 0, ФП ДБМШОЙК РПТСДПЛ ЖМХЛФХБГЙСНЙ ОЕ ТБЪТХЫБЕФУС | ДБЦЕ ЪОБЮЙФЕМШОПЕ ПФЛМПОЕОЙЕ u(r) ПФ УТЕДОЕЗП ЪОБЮЕОЙС ОЕ ПЛБЪЩŒБЕФ УХЭХУФŒЕООПЗП ŒМЙСОЙС ОБ u(r ) Œ ДБМЕЛЙИ ФПЮЛБИ r . б ŒПФ ЕУМЙ CÔ(r) → ∞, ФП ЬФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ДБМШОЙК РПТСДПЛ ЙУЮЕЪБЕФ. лБЛ ŒЙДОП ЙЪ РТПДЕМБООЩИ ŒЩЮЙУМЕОЙК, ФБЛБС УЙФХБГЙС ЙНЕЕФ НЕУФП ДМС ЛŒБОФПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК РТЙ D = 1, Б ДМС ФЕРМПŒЩИ | РТЙ D = 1; 2.
йЪХЮБС ТЕЪХМШФБФЩ, УŒЕДЕООЩЕ Œ ФБВМ. 7.1, НПЦОП ФБЛЦЕ УДЕМБФШ ОБВМАДЕОЙЕ, ЮФП У РПОЙЦЕОЙЕН ТБЪНЕТОПУФЙ УЙУФЕНЩ D УНЕЭЕОЙС u Œ ДБМЕЛЙИ ФПЮЛБИ УФБОПŒСФУС ВПМЕЕ УЛПТТЕМЙТПŒБООЩНЙ. пВ СУОЙФШ ЬФП НПЦОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. рТЕДУФБŒЙН УЕВЕ ПДОПНЕТОЩК ЛТЙУФБММ, Œ ЛПФПТПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ МЙЫШ ВМЙЦБКЫЙЕ УПУЕДЙ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЪБ УЮЕФ ЖМХЛФХБГЙК ПДЙО ЙЪ БФПНПŒ УМЕЗЛБ УНЕУФЙМУС. фПЗДБ УПУЕДОЙЕ У ОЙН БФПНЩ ОБЮОХФ РПДУФТБЙŒБФШУС РПД ЬФП ОПŒПЕ ĂОЕРТБŒЙМШОПЕĄ РПМПЦЕОЙЕ. ъБФЕН РЕТЕУФТПСФУС БФПНЩ, УПУЕДОЙЕ У ХЦЕ УНЕУФЙŒЫЙНЙУС, Й ФБЛ ДБМЕЕ. фБЛЙН ПВТБЪПН, УНЕЭЕОЙЕ ПДОПЗП БФПНБ ŒЩЪЩŒБЕФ РЕТЕУФТПКЛХ ŒУЕК ГЕРПЮЛЙ. рПЬФПНХ ОЕУЛПМШЛЙИ МПЛБМШОЩИ ЖМХЛФХБГЙК ПЛБЪЩŒБЕФУС ДПУФБФПЮОП, ЮФПВЩ ДБМШОЙК РПТСДПЛ ĂЪБВЩМУСĄ. пДОБЛП, У РПŒЩЫЕОЙЕН ТБЪНЕТОПУФЙ ТПМШ ЖМХЛФХБГЙК ХНЕОШЫБЕФУС, РПФПНХ ЮФП ЛБЦДЩК БФПН ĂУМЩЫЙФ РПДУЛБЪЛХĄ П ФПН, ЛБЛПЕ РПМПЦЕОЙС ПО ДПМЦЕО ВЩМ ВЩ ЪБОСФШ Œ ЙДЕБМШОПК ТЕЫЕФЛЕ, ПФ ŒУЕ ВПМШЫЕЗП ЮЙУМБ УПУЕДЕК Й ВПМЕЕ ДБМЕЛЙИ БФПНПŒ. рПЬФПНХ ЮЕН ŒЩЫЕ ТБЪНЕТОПУФШ, ФЕН ФТХДОЕЕ РЕТЕУФТПЙФШ УЙУФЕНХ, УНЕЭБС ПДЙО БФПН.
тЕЫЕОЙЕ 39 a. ъБРЙЫЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС НБГХВБТПŒУЛПЗП РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕ-
162змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
ТБФПТБ |
|
2T |
|
|
|
|
− |
dp |
− |
|
|
˝(i!n; k) = |
|
|
|
(7.111) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
2ı !m |
(i!m + i!n |
|
‰p+k) (i!m |
|
‰p) |
||||||
Й ОБКДЕН УХННХ РП !m У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ (7.85), РПМХЮЕООПЗП Œ ЪБДБЮЕ 37 В: |
|||||||||||
|
n |
|
ı |
|
i!n − ‰p+k + ‰p |
|
|
|
|||
˝(i! |
|
; k) = |
1 |
|
nF (‰p+k ) |
− nF (‰p) dp : |
|
|
(7.112) |
||
оБУ ЙОФЕТЕУХАФ ЪОБЮЕОЙС k ŒВМЙЪЙ ±2p0. рПМШЪХСУШ ЮЕФОПУФША ˝(i!n; k) РП k, ТБУУНПФТЙН k ≈ 2p0 Й ŒŒЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙС:
|
k ≡ 2p0 + q ; |
|
p ≡ −p0 + x − q=2 ; |
p + k ≡ p0 + x + q=2 : |
(7.113) |
||||||||||
рТЙ НБМЩИ |x|; |q| p0 НПЦОП МЙОЕБТЙЪПŒБФШ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ. рТЙ ЬФПН |
|
||||||||||||||
˝(i! |
; k = 2p |
|
+ q) = |
1 |
∞ nF (vF (x + q=2)) |
nF (−vF (x − q=2)) dx : |
(7.114) |
||||||||
n |
|
0 |
|
|
|
ı |
|
|
|
|
i!n |
− 2vF x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
хДПВОП РЕТЕРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: |
|
|
|
||||||||||||
|
1D |
∞ |
|
˛‰ |
|
1 |
|
|
1 |
|
2‰ d‰ ; |
|
|||
|
2 |
|
|
th |
2 |
i!n |
− |
vF q |
− |
2‰ + i!n + vF q |
− |
(7.115) |
|||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ÇÄÅ ‰ = vF x, 1D = 1=(ıvF ). йОФЕЗТБМ РП ‰ Œ (7.115) ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ЙЪŒЕУФОЩН РТЕДУФБŒМЕОЙЕН
|
|
|
|
∞ |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
th z = |
|
z |
ıi(m + 1=2) |
; |
z = ˛‰=2 : |
|
|
(7.116) |
|||||
|
|
|
|
m=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рПМХЮБЕН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1D |
m |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
; |
w |
|
= |
!n |
± ivF q |
: |
(7.117) |
|
|
|
± |
|||||||||||||
2 m=0 |
m + 1=2 + w+ |
m + 1=2 + w |
|
|
| |
|4ıT |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
мПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ УХННЩ РП m ДПМЦОБ ВЩФШ ПВТЕЪБОБ ФБЛ, ЮФПВЩ НБЛУЙНБМШОБС ЬОЕТЗЙС E0 = 2ıT (2m + 1) ВЩМБ РПТСДЛБ EF . (рТЙ ЬОЕТЗЙСИ E > E0 МЙОЕБТЙЪПŒБООЩК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РЕТЕУФБЕФ ВЩФШ УРТБŒЕДМЙŒЩН.) рТЕПВТБЪХЕН УХННХ
(7.117), РТЙВБŒМСС Й ŒЩЮЙФБС ЪОБЮЕОЙЕ ŒЩТБЦЕОЙС (7.117) РТЙ w± = 0: |
|
; (7.118) |
||||||
− 1D m=0 m + 1=2 − |
2 |
m=0 |
m + 1=2 + w+ |
+ m + 1=2 + w |
− m + 1=2 |
|||
m |
1 |
1D |
m |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
хДПВУФŒП ДБООПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС Œ ФПН, ЮФП РЕТŒБС УХННБ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ w±, Б ŒФПТБС | УИПДЙФУС, Й РПЬФПНХ Œ ОЕК НПЦОП ТБУРТПУФТБОЙФШ УХННЙТПŒБОЙЕ ОБ РТПЙЪŒПМШОП ВПМШЫЙЕ m. œЩЮЙУМСС РЕТŒХА УХННХ У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША, РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ
˝(i!n; k) = − 1D ln 4ıT + |
2 |
|
|
2 |
+ w+ + |
|
2 |
+ w− − 2 |
|
2 |
|
; (7.119) |
E0 |
1D |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
7.4. теыеойс |
|
|
|
|
|
ÇÄÅ |
|
= −‚ − k=0 |
k + z |
− k + 1 |
; |
(z) = `(z) |
|||||
` |
(z) |
∞ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
‚ = 0; 5772157::: | РПУФПСООБС ьКМЕТБ.
фЕРЕТШ ОБКДЕН НБГХВБТПŒУЛХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ. ъБРЙЫЕН
ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−1 |
−1 |
2 |
|
|
!2 |
+ !2(k) |
2 |
|
|
˝(i!n; k) = − |
n |
0 |
|
|||||
D |
|
(i!n; k) = D0 |
(i!n; k) − g |
|
!02(k) |
− g |
˝(i!n; k) : |
||
рПМХЮБЕН |
|
|
1 + !n2=!02(k) + g2˝(i!n; k) : |
||||||
|
|
D(i!n; k) = −1= |
|||||||
163
(7.120)
ДМС ЬФПЗП
(7.121)
(7.122)
йОФЕТЕУХАЭБС ОБУ ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС УНЕЭЕОЙК uk (t)u−k (t) Ô ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË
|
|
|
|
1 |
|
|
|
uk (t)u−k (t) Ô = −T |
n j!02(k) D(i!; k) = |
|
|||||
|
|
|
|
n |
T |
|
(7.123) |
= |
j!2 |
(k) (1 + !2=!2(k) + g2 |
˝(i! |
||||
n |
; k)) |
||||||
0 |
|
|
|
0 |
n |
|
|
(УН. ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ 38). рТЙ ДПУФБФПЮОП ŒЩУПЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ T Œ УХННЕ (7.123) РТЙ ŒУЕИ n ЪОБНЕОБФЕМШ ДТПВЙ ОЕ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. пДОБЛП, РПУЛПМШЛХ РТЙ ХНЕОШЫЕОЙЙ T РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(i!n; k) УФБОПŒЙФУС ŒУЕ ВПМЕЕ Й ВПМЕЕ ПФТЙГБФЕМШОЩН, РТЙ ДПУФЙЦЕОЙЙ ОЕЛПФПТПЗП ЪОБЮЕОЙС T = Tc ПДЙО ЙЪ ЮМЕОПŒ Œ УХННЕ РП n НПЦЕФ ОБЮБФШ ТБУИПДЙФШУС. тБУИПДЙНПУФШ ЖМХЛФХБГЙК uk(t)u−k (t) Ô УŒЙДЕФЕМШУФŒХЕФ П ОЕХУФПКЮЙŒПУФЙ УЙУФЕНЩ РП ПФОПЫЕОЙА Л ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙА НПДХМСГЙЙ У ДБООЩН k.
оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ЮЕН НЕОШЫЕ |!n|, ФЕН ŒЩЫЕ ФЕНРЕТБФХТБ, РТЙ ЛПФПТПК ЪОБНЕОБФЕМШ ŒЩТБЦЕОЙС (7.123) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. бОБМПЗЙЮОП, НБЛУЙНБМШОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ФЕНРЕТБФХТЩ, РТЙ ЛПФПТПК ТБУИПДСФУС ЖМХЛФХБГЙЙ, ДПУФЙЗБЕФУС РТЙ k = 2p0. рПЬФПНХ ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ НПДХМСГЙЙ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК ŒУМЕДУФŒЙЕ ОЕХУФПКЮЙŒПУФЙ, ЕУФШ k = 2p0.
йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ФЕНРЕТБФХТБ ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ ХУМПŒЙС ПВТБЭЕОЙС Œ ОХМШ ЮБУФПФЩ ЖПОПОПŒ У k = 2p0. рПДУФБŒМСС !n = 0 Œ (7.122), РПМХЮБЕН ХУМПŒЙЕ ОБ ФЕНРЕТБФХТХ РЕТЕИПДБ: g2˝0 + 1 = 0, ÇÄÅ ˝0 = ˝(!n = 0; k = 2p0). тЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ g2 1D ln(E0=Tc) = 1, ОБИПДЙН
Tc ≈ E0e−1=g2 1D : |
(7.124) |
ъБНЕФЙН, ЮФП ФЕНРЕТБФХТБ РЕТЕИПДБ Tc РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ УПŒРБДБЕФ У ŒЩТБЦЕОЙЕН (6.81) ДМС ЭЕМЙ ´0 ÐÒÉ T = 0.
тЕЫЕОЙЕ 39 В. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ПЛТЕУФОПУФШ ФЕНРЕТБФХТЩ РЕТЕИПДБ Tc, РТЙ ЛПФПТПК Œ УХННЕ (7.123) ТБУИПДЙФУС ЮМЕО У n = 0. рТЙ ЬФПН УХЭЕУФŒЕООП ФП, ЮФП РПУЛПМШЛХ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ЮБУФПФ !n = 2ıT n ДЙУЛТЕФОБ, УМБЗБЕНЩЕ У n = 0 ЙНЕАФ
164змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
ТЕЗХМСТОПЕ РПŒЕДЕОЙЕ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k = ±2p0. рПЬФПНХ ЙНЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ РП УТБŒОЕОЙА У ПУПВЩН ŒЛМБДПН У n = 0.
рПЬФПНХ ТБУУНПФТЙН РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(i!n; k) ÐÒÉ !n = 0 Й k Œ ПЛТЕУФОПУФЙ 2p0. тБЪМБЗБС ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.119) РТЙ НБМПН q = k − 2p0, РПМХЮБЕН
˝(q) ≡ ˝(!n = 0; k = 2p0 + q) = − 1D |
ln 4ıT − aq2 |
|
; |
a = − (4ıT )22 ; |
(7.125) |
||||
|
|
|
|
E |
|
|
v2 |
( 1 ) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
F |
|
|
РТЙЮЕН, УПЗМБУОП (7.120), ŒЕМЙЮЙОБ |
(1=2) ÅÓÔØ |
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(1=2) = −2 |
|
|
2 |
= −2(23 − 1)“ (3) = −14“ (3) : |
|
(7.126) |
|||
k=0 |
(k + 1 )3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рПДУФБŒЙН ТБЪМПЦЕОЙЕ ˝(q) Œ ЛПТТЕМСФПТ УНЕЭЕОЙК (7.123), ПУФБŒМСС ФПМШЛП ЮМЕО УХННЩ У n = 0, Й РТЙНЕН ŒП ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ T = Tc ŒЩРПМОСЕФУС ТБŒЕОУФŒП 1 + g2˝(q = 0) = 0. рПМХЮБЕФУС УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:
uk (t)u−k (t) Ô = |
T |
(7.127) |
g2 1D j!02(2p0) (ln(T =Tc) + aq2) : |
рТЙ T ŒВМЙЪЙ Tc ТБЪМБЗБЕН fi ≡ ln(T =Tc) = (T − Tc)=Tc. рПМХЮБЕН ЙУЛПНЩК МПТЕОГЕŒ УРЕЛФТ (7.36) ЖМХЛФХБГЙК (7.33) РПМС Q(r; t):
Qq (t)Q−q (t) Ô = |
A |
; |
A = |
Tc |
: |
(7.128) |
fi + aq2 |
g2 1D j!02(2p0) |
юФПВЩ РПМХЮЙФШ ЛПТТЕМСФПТ РПМС УНЕЭЕОЙК u(x; t), ЪБНЕФЙН, ЮФП ЪБŒЙУЙНПУФШ (7.128) ЙНЕЕФ НЕУФП ЛБЛ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k ≈ 2p0, ФБЛ Й Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k ≈ −2p0. рПЬФПНХ
CÔ(r) = |
A |
ei(q+2p0)r + ei(q−2p0)r |
dq |
|
A |
|
fi + aq2 |
2ı |
= |
fi bÔ e−|r|=bÔ cos(2p0r) ; |
(7.129) |
ÇÄÅ bÔ = (a=fi )1=2 | ФБЛ ОБЪЩŒБЕНБС ЛПТТЕМСГЙПООБС ДМЙОБ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ДМЙОБ bÔ ПВТБЭБЕФУС Œ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ РТЙ РТЙВМЙЦЕОЙЙ Л Tc Й ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС CÔ(r) РЕТЕУФБЕФ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП ХВЩŒБФШ. ьФП ФЙРЙЮОПЕ ДМС ЖБЪПŒЩИ РЕТЕИПДПŒ ŒФПТПЗП ТПДБ РТПСŒМЕОЙЕ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙС ДБМШОЕЗП РПТСДЛБ Œ УЙУФЕНЕ.
тБУУНПФТЕООБС ЪБДБЮБ ЙММАУФТЙТХЕФ ПВЭЙК НЕФПД ЙУУМЕДПŒБОЙС ЖБЪПŒЩИ РЕТЕИПДПŒ ŒФПТПЗП ТПДБ У РПНПЭША ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. œОБЮБМЕ ОХЦОП ЙУУМЕДПŒБФШ ЖМХЛФХБГЙЙ РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ Œ ЛŒБДТБФЙЮОПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ. (œ ДБООПН УМХЮБЕ РБТБНЕФТПН РПТСДЛБ СŒМСЕФУС ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФБ УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН k = 2p0.) еУМЙ ЖБЪПŒЩК РЕТЕИПД ДЕКУФŒЙФЕМШОП ЙНЕЕФ НЕУФП, ФП ДПМЦОБ УХЭЕУФŒПŒБФШ ФЕНРЕТБФХТБ, РТЙ ЛПФПТПК УЙУФЕНБ ĂТБЪНСЗЮБЕФУСĄ ОБУФПМШЛП, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПВТБЭБЕФУС Œ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ. ьФП Й ЕУФШ ФЕНРЕТБФХТБ РЕТЕИПДБ, РПМХЮЕООБС Œ ТБНЛБИ ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС.
7.4. теыеойс |
165 |
уМЕДХАЭЙН ЫБЗПН (ЛПФПТЩК НЩ ЪДЕУШ ОЕ УДЕМБМЙ) ДПМЦОП ВЩФШ ЙЪХЮЕОЙЕ ДМЙООПŒПМОПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК РБТБНЕФТБ РПТСДЛБ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЖМХЛФХБГЙК ДТХЗ У ДТХЗПН ПРЙУЩŒБЕФУС ДЙБЗТБННПК, РПЛБЪБООПК ОБ ТЙУ. 7.4 (ЙОДЕЛУЩ ± ПВПЪОБЮБАФ ЬМЕЛФТПОЩ У ЙНРХМШУБНЙ ±p0), Б ФБЛЦЕ РПДПВОЩНЙ ЕК ВПМЕЕ УМПЦОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ. ьЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖМХЛФХБГЙК ŒБЦОЩ ДМС РТБŒЙМШОПЗП РПОЙНБОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЛЙ УЙУФЕНЩ Œ ПЛТЕУФОПУФЙ ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ.
−+
+ 
−
òÉÓ. 7.4
тЕЫЕОЙЕ 40 a. рПЛБЦЕН, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G(i!n; p) У ŒЕТИОЕК (ОЙЦОЕК) НОЙНПК РПМХПУЙ ДБЕФ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА (ПРЕТЕЦБАЭХА) ЖХОЛГЙА зТЙОБ GR(A)(!; p). вХДЕН ДЕКУФŒПŒБФШ РП ФПК ЦЕ УИЕНЕ, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 37. нЩ ТБУУНПФТЙН МЙЫШ УМХЮБК ЖЕТНЙПОПŒ, ЙВП ДМС УМХЮБС ВПЪЕ-ЮБУФЙГ ДПЛБЪБФЕМШУФŒП РПМХЮБЕФУС БОБМПЗЙЮОП.
œЩТБЪЙН ЪБРБЪДЩŒБАЭХА Й ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (7.21), (7.22) ЮЕТЕЪ НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ n| |m Œ ВБЪЙУЕ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК. œЩТБЦБС УТЕДОЙЕ Œ (7.21), (7.22) ЮЕТЕЪ УМЕД Й РТПЙЪŒПДС ФПЮОП ФБЛЙЕ ЦЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 37, РПМХЮЙН
|
e−˛En + e−˛Em |
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
± |
|
|
|
|||
GR(A)(!; r; r ) = Z−1 |
! |
|
! |
nm |
|
i0 |
n| |
|
+(r )|m m| (r)|n ; |
(7.130) |
m;n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ !nm = En − Em. œЩЮЙУМЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ |
|
|||||||||
G(i!n; r; r ) = −2 |
˛ |
ei!nfi Tfi |
M (r; fi ) M+ (r ; 0) Ô dfi |
(7.131) |
||||||
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−˛ |
|
|
|
|
|
|
||
ФБЛЦЕ УПŒЕТЫЕООП БОБМПЗЙЮОП ФПНХ, ЛПФПТПЕ ВЩМП РТПДЕМБОП Œ ЪБДБЮЕ 37. тЕЪХМШФБФ ФБЛПŒ:
G(i!n; r; r ) = Z−1 |
|
e−˛En + e−˛Em |
+(r )|m m| |
|
|
||||
|
|
− |
|
|
|
||||
m;n |
i! |
n |
|
! |
n| |
(r)|n : |
(7.132) |
||
|
|
|
|
nm |
|
|
|
||
уТБŒОЙŒБС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ У (7.130) |
Й ТБУУХЦДБС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 37, ХВЕЦДБЕНУС |
||||||||
Œ ФПН, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ G(i!n; r; r ) У ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ ДБЕФ GR(!; r; r ), Б У ОЙЦОЕК | GA(!; r; r ).
166змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 40 В. рЕТЕРЙЫЕН НБГХВБТПŒУЛХА УПВУФŒЕООП{ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ (7.37), ŒЩТБЪЙŒ РТЙ РПНПЭЙ ЙОФЕЗТБМШОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС (7.24) НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЮЕТЕЪ УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ ЖХОЛГЙЙ. рПМХЮБЕН
˚(i" ; p) = |
g2T |
|
|
Im GnR(x; p1) Im DR(!; p − p1) dxd! d3p1 |
; |
(7.133) |
|||||
n |
− |
x |
− |
i"m |
! |
− |
i"n + i"m ı2 (2ı)3 |
|
|
||
"m |
|
|
|
|
|||||||
ЗДЕ ПВБ ЙОФЕЗТБМБ РП dx d! ВЕТХФУС РП ŒУЕК ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. нБГХВБТПŒУЛХА УХННХ РП "m НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША ТБЪМПЦЕОЙС ОБ РТПУФЕКЫЙЕ ДТПВЙ:
F = T "m x |
− |
i"m |
! |
− |
i"n + i"m |
= ! + x |
− |
i"n "m x |
− |
i"m + |
! |
− |
i"n + i"m |
: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
1 |
|
|
T |
|
1 |
|
|
|
|||||
(7.134) йУИПДОБС НБГХВБТПŒУЛБС УХННБ УИПДЙФУС, ОП ЛБЦДБС ЙЪ УХНН Œ (7.134) ТБУИПДЙФУС. рПЬФПНХ ДПВБŒЙН Œ (7.134) НОПЦЙФЕМШ УИПДЙНПУФЙ exp(i"mfi ), ÇÄÅ fi → +0. фПЗДБ ŒЕМЙЮЙОХ i"n ŒП ŒФПТПН УМБЗБЕНПН НПЦОП ЙУЛМАЮЙФШ, УДŒЙОХŒ РЕТЕНЕООХА УХННЙТПŒБОЙС. рПУМЕ ЬФПЗП УДŒЙЗБ УХННЙТПŒБОЙЕ ВХДЕФ РТПЙУИПДЙФШ ХЦЕ ОЕ РП ЖЕТНЙЕŒУЛЙН, Б РП ВПЪЕŒУЛЙН ЮБУФПФБН, ФБЛ ЛБЛ ПВЕ НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЮБУФПФЩ "n É "m ОЕЮЕФОЩ. лТПНЕ ФПЗП, ЛБЦДЩК ЙЪ ЮМЕОПŒ Œ (7.134) НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ ЛБЛ ЪОБЮЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ УПŒРБДБАЭЙЕ НПНЕОФЩ ŒТЕНЕОЙ ДМС УЙУФЕНЩ У ПДОЙН ХТПŒОЕН (Œ РЕТŒПН УМБЗБЕНПН ЬОЕТЗЙС ХТПŒОС ТБŒОБ (−x), Б ŒП ŒФПТПН | !). рПЬФПНХ УХННБ (7.134) ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС:
F |
|
! + x − i"n |
2(! + x − i"n) |
2T |
2T |
|
|
= |
nF (−x) + nB (!) = |
1 |
th x |
+ cth ! |
(7.135) |
рТПДПМЦЕОЙЕ РПМХЮЕООПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ ŒЩРПМОСЕФУС У РПНПЭША ЪБНЕОЩ i"n → " + i0. фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН ФТЕВХЕНПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ЖХОЛГЙЙ
˚R("; p) = g2 |
|
Im GR(x; p ) Im DR(!; p |
− |
p ) |
th |
x |
+ cth |
! |
|
d3p1 d!dx |
: (7.136) |
|||||
n |
" |
1 |
! |
− |
x + i0 |
1 |
2T |
2T |
ı(2ı)4 |
|||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 40 В. юФПВЩ ЙУРПМШЪПŒБФШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК, РТЙНЕОЙН УФБОДБТФОЩК РТЙЕН, РПЪŒПМСАЭЙК РТЕПВТБЪПŒБФШ УХННХ (7.37) Œ ЛПОФХТОЩК ЙОФЕЗТБМ. тБУУНПФТЙН УХННХ
1 |
G("1; p1)D(" − "1; p − p1) ; |
(7.137) |
S = T |
"
ЗДЕ УХННЙТПŒБОЙЕ РТПЙУИПДЙФ РП "1 = (2n + 1) iıT . дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП " МЕЦЙФ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. пДОПŒТЕНЕООП ТБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА
f (z) = G(z; p1) D(" − z; p − p1) th |
z |
; |
(7.138) |
2T |
7.4. теыеойс |
|
167 |
ЙНЕАЭХА РПМАУЩ РТЙ z = ıT (2n + 1)i. œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ |
|
|
I = |
f (z) dz ; |
(7.139) |
C
ŒЪСФЩК РП ЛПОФХТХ C, ЙЪПВТБЦЕООПНХ ОБ ТЙУ. 7.5.
z |
Im (z−ε )=0 |
Im z=0 |
òÉÓ. 7.5
ъБНЕФЙН, ЮФП Œ ЛБЦДПК ЙЪ ФТЕИ ПВМБУФЕК Im z < 0, 0 < Im z < Im ", Im " < Im z ЖХОЛГЙС f (z) ДПРХУЛБЕФ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ У ДЙУЛТЕФОЩИ ФПЮЕЛ ОБ НОЙНПК ПУЙ ŒП ŒУА ПВМБУФШ. ьФП РПЪŒПМСЕФ ŒЩЮЙУМЙФШ ЛПОФХТОЩК ЙОФЕЗТБМ У РПНПЭША ФЕПТЙЙ ŒЩЮЕФПŒ. œЩЮЕФ f (z) Œ РПМАУЕ zn = ıT i(2n + 1) ÒÁŒÅÎ
Res f (z) = 2 T G(z ; p ) D(" |
− |
z ; p |
− |
p ) : |
(7.140) |
|
z=zn |
n 1 |
n |
1 |
|
||
рПЬФПНХ I = 4ıiS.
œ ФП ЦЕ ŒТЕНС БОБМЙФЙЮОПУФШ f (z) РПЪŒПМСЕФ ДЕЖПТНЙТПŒБФШ ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТП-
168змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
ŒБОЙС, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 7.6.
z
Im z−ε=0
Im ε =0
òÉÓ. 7.6
фБЛЙН ПВТБЪПН ЙОФЕЗТБМ РП ЛПОФХТХ C УŒПДЙФУС Л ДŒХН ЙОФЕЗТБМБН ŒРЕТЕД Й ОБЪБД РП ЗПТЙЪПОФБМШОЩН РТСНЩН z = x Й z = " + x, −∞ < x < ∞, Й НЩ РТЙИПДЙН Л ТБŒЕОУФŒХ:
∞
I = GR(x)−GA(x)
−∞
DR(" − x) th |
2T |
− GR(x + ") DR(x)−DA(x) th |
2T |
dx : |
|
|
x |
|
|
" + x |
|
|
|
|
|
||
(7.141) ъБŒЙУЙНПУФШ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ПФ ЙНРХМШУПŒ, ПРХЭЕООБС Œ (7.141) ДМС ЛТБФЛПУФЙ, ВХДЕФ ŒПУУФБОПŒМЕОБ ОЙЦЕ. ъБНЕФЙН, ЮФП РПУЛПМШЛХ " = iıT (2n + 1), Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.141) НПЦОП ЪБНЕОЙФШ th[(" + x)=2T ] ОБ − cth[x=2T ].
œЩТБЪЙН ФЕРЕТШ ŒУЕ УФПСЭЙЕ ЪДЕУШ ŒЕМЙЮЙОЩ ЮЕТЕЪ НОЙНЩЕ ЮБУФЙ ЖХОЛГЙК зТЙОБ. йЪ (7.130) ŒЙДОП, ЮФП ПРЕТЕЦБАЭБС Й ЪБРБЪДЩŒБАЭБС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПФМЙЮБАФУС МЙЫШ ЪОБЛПН РЕТЕД i0, РПЬФПНХ
GR("; p) − GA("; p) = 2i Im GR("; p) : |
(7.142) |
лТПНЕ ФПЗП, ЙЪ БОБМЙФЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ ЖХОЛГЙК зТЙОБ УМЕДХЕФ, ЮФП ПОЙ ХДПŒМЕФŒПТСАФ УППФОПЫЕОЙСН ФЙРБ лТБНЕТУБ{лТПОЙЗБ:
GR("; p) = |
1 |
∞ |
Im GR(!; p) |
GA("; p) = |
1 |
∞ |
|
Im GR(!; p) |
d! : |
(7.143) |
|||||||||||||
ı |
|
! |
− |
" |
− |
i0 |
d! ; |
ı |
|
|
! |
− |
" + i0 |
||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
рПДУФБŒМСС ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС Œ (7.141), РПМХЮБЕН |
(" ) |
|
x |
|
i0 |
cth 2T dxd! : |
|||||||||||||||||
I = ı |
|
|
|
! |
|
" + x |
|
i0 |
th 2T + |
! |
|
|
|||||||||||
2i |
∞ |
∞ |
|
Im GR(x) Im DR(!) |
x |
Im GR |
! |
Im DR(x) |
|
x |
|
||||||||||||
|
−∞ −∞ |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
||||
(7.144)
7.4. теыеойс |
169 |
œПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ УППФОПЫЕОЙЕН Im DR(−x) = − Im DR(x), УДЕМБЕН ŒП ŒФПТПН УМБЗБЕНПН ЪБНЕОХ x → −x, РПУМЕ ЮЕЗП РПНЕОСЕН НЕУФБНЙ Œ ЬФПН УМБЗБЕНПН РЕТЕНЕООЩЕ x Й !. рПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОЩК ТЕЪХМШФБФ:
I = |
2i |
∞ |
∞ |
Im GR(x) Im DR(!) |
th |
x |
+ cth |
! |
dxd! : |
(7.145) |
||||
ı |
|
|
! |
− |
" + x |
− |
i0 |
2T |
2T |
|||||
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
фЕРЕТШ, РПМШЪХСУШ УППФОПЫЕОЙЕН I = 4ıiS, ОБИПДЙН S. œПУУФБОБŒМЙŒБС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ЙНРХМШУПŒ p Й p1 Й ЙОФЕЗТЙТХС РП d3p1, РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ УПФОПЫЕОЙЕ (7.38).
лБЛ ХЦЕ ВЩМП ПФНЕЮЕОП, ТБŒЕОУФŒП (7.38) ЙНЕЕФ УПŒЕТЫЕООП ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЛПОЛТЕФОПЗП ŒЙДБ ЖХОЛГЙК зТЙОБ GR("; p) É DR(!; p). рТЙНЕОЕОЙЕ УППФОПЫЕОЙС (7.38), ПДОБЛП, ПЛБЪЩŒБЕФУС ПУПВЕООП ХДПВОЩН Œ УМХЮБЕ УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, РПУЛПМШЛХ РТЙ ЬФПН НОЙНЩЕ ЮБУФЙ ЪБФТБŒПЮОЩИ ЖХОЛГЙК GR("; p) É DR(!; p) РТПРПТГЙПОБМШОЩ ‹-ЖХОЛГЙСН | УН. ЪБДБЮХ 41 В.
тЕЫЕОЙЕ 41 Б. ъБРБЪДЩŒБАЭБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОБ ЙЪ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ (7.122) БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН У ДЙУЛТЕФОЩИ ЮБУФПФ !n 0. œЩРПМОСС ЪБНЕОХ i!n → ! Œ РПМСТЙЪБГЙПООПН ПРЕТБФПТЕ (7.119) Й ТБЪМБЗБС РП НБМЩН ! Й q = k − 2p0, РПМХЮБЕН 10
˝(i!n; k) = − 1D ln |
E0 |
− aq2 + ib! |
4ıT |
; b = |
( 1 ) |
|
|
v2 ( 1 ) |
|
|
2 |
|
a = − |
F |
|
|
|
4ıT |
; |
(4ıT )22 |
: |
(7.146) |
рПДУФБŒМСС ЬФП ТБЪМПЦЕОЙЕ Œ (7.122) Й ХЮЙФЩŒБС, ЮФП РТЙ T = Tc ЙНЕЕФ НЕУФП ТБŒЕОУФŒП 1 + g2˝0 = 0, РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ:
D(!; k = 2p0 + q) = − g2 1D ln(T =Tc) + aq2 − ib! − !2=!02(k) − |
: |
(7.147) |
|
1 |
|
ðÒÉ T → Tc ТБЪМБЗБЕН ln(T =Tc) = (T − Tc)=Tc ≡ fi . рПУЛПМШЛХ Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ИБТБЛФЕТОЩЕ ! НБМЩ, ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ ŒЩТБЦЕОЙС (7.147) ОЕУХЭЕУФŒЕООП, Й Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ
D(!; k = 2p0 |
+ q) = |
1 |
(7.148) |
; ‚(q) = (fi + aq2)=b : |
|||
|
g2 |
1D b (i! − ‚(q)) |
|
рПМАУЩ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ПРТЕДЕМСАФ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ŒВМЙЪЙ Tc. лБЛ ŒЙДОП, ЮБУФПФБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ЮЙУФП НОЙНПК: !(q) = −i‚(q). ьФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ТЕМБЛУБГЙПООПК ДЙОБНЙЛЕ: ŒПЪНХЭЕОЙЕ У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН k = 2p0 + q ЪБФХИБЕФ РП ЪБЛПОХ e−‚(q)t , тЕЫЕОЙЕ 41 В. оБКДЕН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ (7.38) ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПДОПНЕТОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ. дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ П ДŒЙЦХЭЙИУС ОБРТБŒП ЮБУФЙГБИ У МЙОЕБТЙЪПŒБООЩН ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ " = vF p. тБУУЕЙŒБСУШ ОБ НСЗЛЙИ ЖПОПОБИ У РЕТЕДБЮЕК ЙНРХМШУБ ВМЙЪЛПЗП Л −2p0, РТБŒЩЕ ĂЮБУФЙГЩĄ УФБОПŒСФУС ĂМЕŒЩНЙĄ У ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ " = −vF p. уППФŒЕФУФŒЕООП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.38) НОЙНБС
10уПЗМБУОП (7.120), (1=2) = 3“(2), (1=2) = −14“(3).
170змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби
ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ ЕУФШ −ı‹("1 + vF p1). йОФЕЗТЙТХС ‹-ЖХОЛГЙА РП "1, РПМХЮБЕН
|
− |
2ı |
2ı |
|
" + vF p1 |
|
|
! + i0 |
2T − |
2T |
|
|
|
˚R("; p) = |
|
g2 |
dp1 |
∞ |
Im DR(!; p − p1) |
cth ! |
th vF p1 |
d! : |
(7.149) |
||||
|
|
|
−∞ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
нОЙНБС ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОПŒ, УПЗМБУОП (7.148), ЕУФШ |
|
(q)) : |
|
||||||||||
Im DR(!; q) = −2bg2 1D |
! + i‚(q) + |
! − i‚(q) = −bg2 1D (!2 |
+ ‚2 |
(7.150) |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
! |
|
|
|
рПУЛПМШЛХ ‚(q = 0) = fi =b T , ПУОПŒОПК ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ (7.149) ДБЕФ ПВМБУФШ |!| T . рПЬФПНХ НПЦОП ЪБНЕОЙФШ cth !=2T ОБ 2T =!, ЮФП ЖЙЪЙЮЕУЛЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЕИПДХ ПФ ТБУУЕСОЙС ОБ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОБИ Л ТБУУЕСОЙА ОБ ЛМБУУЙЮЕУЛПН РПМЕ. рПМХЮБАЭЙКУС Œ ТЕЪХМШФБФЕ УДЕМБООПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС ЙОФЕЗТБМ РП ! ОБИПДЙФУС У РПНПЭША НЕФПДБ ŒЩЮЕФПŒ:
˚R("; p) = bg2 1D 2ı |
"~ + vF q + i‚(q) |
2ıi g2 |
1 |
2T |
|
v |
(q + p) |
|
dq |
|
|
i‚(q) |
+ th |
F |
2T |
2ı |
; |
(7.151) |
" |
" + v |
|
p, q = p |
1 − |
p. йОФЕЗТБМ РП q Œ (7.151) ПРТЕДЕМСЕФУС ПВМБУФША |
||
ÇÄÅ ~ = |
|
1=2 |
|
F |
|
|
|
|q| (fi =a) |
|
vF =T . рПЬФПНХ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ УМБЗБЕНЩН th(vF (q + p)=2T ) ÐÏ |
|||||
УТБŒОЕОЙА У ЮМЕОПН 2T =‚(q), Б ФБЛЦЕ | ЪБНЕОЙФШ i‚(q) Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ РЕТŒПЗП УП-
НОПЦЙФЕМС (7.151) ОБ i0. œ ТЕЪХМШФБФЕ |
= −a 1D –(~" + ivF –) ; |
|
|
˚R("; p) = ı 1D |
(~" + vF q + i0)(fi + aq2) |
(7.152) |
|
2T |
dq |
2T |
|
ÇÄÅ – = (fi =a)1=2.
рТЕДУФБŒМСЕФ ЙОФЕТЕУ НОЙНБС ЮБУФШ ŒЩТБЦЕОЙС (7.152), ПРЙУЩŒБАЭБС ЪБВЩŒБОЙЕ
ЬМЕЛФТПОБНЙ УŒПЕЗП ЙНРХМШУБ ЙЪ-ЪБ ТБУУЕСОЙС ОБ НСЗЛЙИ ЖПОПОБИ: |
|
||
Im ˚R("; p) = − |
2ıT |
; |
(7.153) |
(a(p + "=vF )2 + fi ) |
|||
œТЕНС ЦЙЪОЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У НБМПК ЬОЕТЗЙЕК " = vF p → 0, УПЗМБУОП (7.153), ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ ЛПТПФЛЙН, РПТСДЛБ fi =T = (T − Tc)=Tc2.
œППВЭЕ, ЛБЛ УМЕДХЕФ ЙЪ (7.153), ТБУУЕСОЙЕ ОБ НСЗЛЙИ ЖПОПОБИ УХЭЕУФŒЕООП НЕОСЕФ ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ ПВМБУФЙ |"| Tc, |p| Tc=vF , РПУЛПМШЛХ РТЙ ФБЛЙИ " Й p ŒЕМЙЮЙОБ ˚R("; p) ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМШЫЕ ИБТБЛФЕТОПК ЬОЕТЗЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. рПЬФПНХ ОБЫЙ ŒЩŒПДЩ П РПŒЕДЕОЙЙ GR("; p) É ˚R("; p) Œ ЬФПК ПВМБУФЙ, ПУОПŒБООЩЕ ОБ ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.38) ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ УŒПВПДОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, ОЕ ЙНЕАФ ЛПМЙЮЕУФŒЕООПЗП УНЩУМБ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ВПМЕЕ ОБДЕЦОЩЕ ТЕЪХМШФБФЩ, УМЕДХЕФ ЙУРПМШЪПŒБФШ РЕТЕОПТНЙТПŒБООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ, Œ ЛПФПТХА ŒЛМАЮЕОБ УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ. рТЙ ЬФПН УППФОПЫЕОЙЕ (7.38) УФБОПŒЙФУС ХТБŒОЕОЙЕН УБНПУПЗМБУПŒБОЙС ДМС ˚R("; p).