1.2. Лабораторная работа №1 Вычисления со строгим и без строгого учета погрешностей

Задания:

1)Вычислить и определить погрешности результата.

2) Вычислить и определить погрешность результата.

3) Вычислить, пользуясь правилами подсчета цифр.

Вариант № 1

1) ,,,.

2) ,

, , .

3) , , , .

Вариант № 2

1) ,,,.

2) , ,

, .

3) , , , .

Вариант № 3

1) ,,,

2) ,, ,

, .

3) , , ,

Вариант № 4

1) ,, , .

2) , , , ,

,

3) .

Вариант № 5

1) ,, , .

2) , , , ,

.

3) ,.

Вариант № 6

1) ,, , , .

2) , , , ,

, .

3) ,.

Вариант № 7

1) ,.

2) ,

, .

3) , .

Вариант № 8

1) ,.

2),

, .

3) , .

Вариант № 9

1),.

2),

, .

3) , .

Вариант № 10

1),,,

.

2) ,

, .

3) , .

Вариант № 11

1)  ,,,

.

2) ,

, .

3) , .

Вариант № 12

1) ,,,.

2) ,

, .

3) , .

Вариант № 13

1),.

2),

.

3), .

Вариант № 14

1),,,.

2), , , ,

, .

3),.

Вариант № 15

1),,,.

2), ,

, .

3) , , , .

Вариант № 16

1) ,,,.

2) ,

, .

3) , , , .

Глава 2. Методы решения нелинейных уравнений

2.1. Справочный материал по методам решения нелинейных уравнений

2.1.1. Общие сведения о методах решения нелинейных уравнений

Нелинейные уравнения делятся на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). На практике, как правило, уравнений не решаются такими простыми методами. Для их решения обычно используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка; б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Пусть задано уравнение на множестве действительных чисел.

. (2.1.)

Приближенное значение корня (начальное приближение) уравнения (2.1) может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие априорные оценки исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки aиb, в которых непрерывная функцияf(x) принимает значения разных знаков, т.е.f(a)f(b)<0. В этом случае между точкамиaи bнаходится, по крайней мере, одна точка, в которойf(x)=0. В дальнейшем будем предполагать, чтоисохраняют знак на отрезке [a; b].

2.1.2. Метод половинного деления

Метод половинного деления состоит в разделении отрезка [a; b] пополам точкой. Если (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: либоf(x) меняет знак на отрезке [a; c]; либо на отрезке [c; b].

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Рассмотренный метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе процесса получим отрезок [c; c'], содержащий корень, то, приняв приближённо, получим ошибку, не превышающую, значения.