Многоканальные системы с ограниченной очередью

Пусть в системе имеется m каналов обслуживания и n мест в очереди. Если свободных мест в очереди нет, заявка получает отказ. Граф состояний такой системы имеет вид (рис. 2.8):

Рис. 2.8. Граф многоканальной системы с очередью

Граф динамики многоканальной системы такого вида состоит из двух частей: до состояния S_m – все m каналов занято, очереди нет, и после от S_m+1 – все m заняты, одна заявка в очереди до S_m+n – все каналы заняты, n заявок в очереди. Общее количество состояний в графе конечно и равно m + n + 1, включая нулевое состояние, где n – величина, ограничивающая длину очереди (в другой терминологии – n – количество мест в накопителе очереди), m – количество каналов обслуживания.

Построим систему уравнений Эрланга для этой СМО и разрешим её. Обозначим , тогда формулы вероятностей состояний имеют вид:

Основные характеристики системы M/M/m/n:

вероятность отказа P_отк = Р_m+n = 1/m! ρ^m+n / mⁿ P₀;

вероятность обслуживания Q = Р_обс = 1– P_отк ;

абсолютная пропускная способность А = λQ;

среднее количество занятых каналов К = A/µ;

средняя длина очереди L = M[L] = 1P_m+1 + 2P_m+2 +…nP_m+n ;

среднее время ожидания Т = L/λ .

Пример. На станцию техобслуживания с двумя подъёмниками для текущего ремонта поступает простейший поток заявок с плотностью λ = 1,5 маш./час. Во дворе могут находиться, дожидаясь обслуживания не более 3-х машин. Среднее время ремонта Т_обс = 2 час. Найти основные характеристики работы станции.

Решение. Имеем марковскую СМО M/M/2/3 с параметрами: m = 2, n = 3, λ = 1,5 , µ = 1/T = 1/2, значит ρ = λ/µ = 3.

Граф состояний имеет 6 вершин: S₀ – все свободны; S₁ – один подъёмник занят; S₂ – два занято, очереди нет ; S₃ – подъёмники заняты, одна машина в очереди, S₄ – подъёмники заняты, две машина в очереди, S₅ – три в очереди.

Находим P₀:

= = 0,0246

P₁ = ρP₀ = == 0,0738

P₂ = ρ/2 Р₁ = 3/2== 0,1107

P₃ = ρ/2 P₂ = 1,5==0,16605

P₄ = ρ/2 P₃ = 1,5== 0,249075

P₅ = ρ/2 P₄ = 1,5== 0,3736125

Проверка: .

P_отк = Р₅ = 0,37 = 37%, Q = Р_обс = 1 – P_отк = 0,63 ;

абсолютная пропускная способность А = λQ = 1,50,63 = 0,945 (маш.в час);

средняя длина очереди L = M[L] = 1P₃+2P₄+3P₅ = (маш.);

среднее время ожидания Т = L/λ = 1,79/1,5 =1,19 (час).

Выводы

Итак, в этой главе был рассмотрен математический (или аналитический) подход к описанию и построению моделей систем массового обслуживания (СМО). Предложена классификация систем и построены аналитические модели для дискретных и непрерывных марковских цепей определённой структуры. Приведены условия существования финальных вероятностей в установившемся режиме и выведены формулы для нахождения основных характеристик систем. В рассмотренных примерах даже несложных по структуре СМО при расчётах основных характеристик уже требуется определённый навык и уровень математической культуры. При более сложных конфигурациях структур СМО, а тем более сетей, построение аналитических моделей является непростой задачей. Поэтому наиболее перспективным направлением в исследовании систем является построение не аналитических, а имитационных моделей СМО в каких-либо готовых средах разработки, которые позволяют получать накопленные статистические результаты моделирования, отражающие характеристики системы, автоматически в конце процесса моделирования.