Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

444 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Беря отношение этих двух уравнений, получаем формулу для sin2 θ ≡ g′2 / (g2 + g′2 ) :

В этой формуле мы положили μ равным типичной энергии процесса, использованного для измерения sin2θ, ò. å. μ d mZ. Это имеет то

преимущество, что мы можем использовать уравнения ренормгруппы (21.5.6)–(21.5.8) только в области выше mZ, где на них не сильно влияет спонтанное нарушение SU(2) × U(1). Соотношения

(21.5.13) и (21.5.14) можно также скомбинировать и получить формулу для шкалы объединения М:

где опять, чтобы избежать влияния нарушения электрослабой симметрии на уравнения ренормгруппы, мы положили μ равным mZ.

В разделе 18.2 мы видели, что значение e(μ) ïðè μ d mZ дается выражением e(mZ)2/4π = (128,87±0,12)–1. Этот заряд

определен стандартным образом (по Гелл-Манну и Лоу) через поляризацию вакуума. Имея в виду сравнение с gs, g′ и g, лучше

использовать константу, определенную (как в разделе 18.6) в схеме модифицированного минимального вычитания: e(mZ)2/4π = (127,9±0,1)–1.

Самая большая неопределенность в формулах (21.5.13) и (21.5.14) содержится в значении gs2(mZ). Как обсуждалось в разделе 18.7, извлечение gs из данных при низких энергиях дает gs2(mZ)/4π = 0,118±0,006, в то время как прямое измерение из вероятности распада Z0 в адроны дает gs2(mZ)/4π = 0,120±0,0025. Если взять gs2(mZ)/4π = 0,118 è e(mZ)2/4π = 1/128, то из уравнений (21.5.15) и (21.5.16) получаются sin2θ = 0,203 è M d 1,1 × 1015 ÃýÂ.

Как отмечалось в разделе 21.3, нет оснований ожидать, что барионное и лептонное числа должны сохраняться подавленными неперенормируемыми слагаемыми в эффективном лагранжиане, описывающем физику при обычных энергиях.

Поэтому можно ожидать наличия сохраняющего SU(3) × SU(2) × U(1) симметрию четырехфермионного (три кварка и один леп-

тон) взаимодействия с коэффициентом, который по размерным соображениям должен быть порядка 1/М2. На основании этих соображений была дана первая оценка времени жизни протона — порядка 1032 ëåò 36. Такое несохраняющее барионное и лептонное числа четырехфермионное взаимодействие возникает в моделях типа рассмотренных в работах 33–35 за счет обмена калибровочными бозонами массами порядка М. Более общее утверждение заключается в том, что если только стандартная модель объясняет, почему естественным образом подавлены процессы с несохранением барионного и лептонного чисел, то исчезают всякие разумные основания для веры в точное сохранение как барионного, так и лептонного чисел.

Мы видели, что предсказание (21.5.15) довольно близко к измеренному значению 0,23 для sin2θ, однако точность измерений

и вычислений достаточно хороша, чтобы понять, что эти числа не находятся в точном согласии. Для устранения этого расхождения в суперсимметричных теориях возникают новые частицы 36a, что дает на порядок большее значение М g 2 × 1016 ÃýÂ 36á. Очень

интересно, что это значение М не слишком отличается от энергии 1018 ГэВ, при которой сильными становятся гравитационные взаимодействия. Большое значение М влияет также на увеличе- ние времени жизни протона, пропорциональное М4.

21.6. Сверхпроводимость *

Сверхпроводимость сильно отличается от явлений в мире элементарных частиц, которые главным образом интересуют нас в этой книге, однако она вполне заслуживает рассмотрения, с одной стороны, как самый первый реалистический пример спонтанно нарушенной калибровочной симметрии, а с другой — как исключительно яркий пример мощи эффективных теорий поля и использования

âних топологических соображений.

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.

446 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Сверхпроводник — это просто вещество, в котором спонтанно нарушена электромагнитная калибровочная инвариантность *. Для объяснения того, почему и при каких температурах возникает такое нарушение симметрии, требуются детальные динами- ческие теории, но они не нужны для обоснования наиболее поразительных черт явления сверхпроводимости: выталкивания магнитных полей, квантования потока, нулевого сопротивления и появления переменных токов в щели между сверхпроводниками, находящимися под разными напряжениями. Как мы увидим ниже, эти следствия нарушенной калибровочной инвариантности могут быть выведены в духе, несколько напоминающем наше расмотрение мягких пионов, с опорой исключительно на общие свойства голдстоуновской моды 39.

Действие для любой системы должно быть инвариантным относительно калибровочных преобразований, имеющих в единицах СГС вид

ãäå Λ(x) — произвольная функция, а qn — электрический заряд, уничтожаемый полем ψn. Предполагается, что все заряды являют-

ся целыми кратными заряда электрона –е, так что эта группа компактна: фазы Λ è Λ + 2π$/e рассматриваются как тождественные.

Предполагается, что эта группа симметрии нарушена в сверхпроводнике ненулевыми средними значениями операторов, несущих заряд –2е (такими, как произведения двух полей электронов), так

* Исторически сложилось так, что большинство экспертов по сверхпроводимости рассуждали иным образом. Было известно, что в первых феноменологических теориях калибровочная инвариантность нарушается, но это обстоятельство рассматривалось скорее как мешающее, а не проливающее свет на проблему. В основополагающей работе Бардина, Купера и Шриффера 37, в которой впервые была предложена микроскопическая теория сверхпроводимости, нарушенная симметрия не упоминалась ни разу. Позднее Андерсон 38 подчеркивал важную роль нарушенной симметрии в сверхпроводниках, но даже сегодня в большинстве учебников сверхпроводимость объясняется с помощью подробных динамических моделей, а нарушенная симметрия упоминается очень редко.

что имеется ненарушенная подгруппа Z2, состоящая из калибровочных преобразований с L = 0 è L = p$/e.

Мы вводим поле голдстоуновского бозона j(x), записывая все

заряженные поля как

Ïîëå j(x) параметризует фактор-пространство U(1)/Z2, и, таким

образом, задано свойство калибровочного преобразования

Поскольку j(x) параметризует U(1)/Z2, а не U(1), мы должны отождествить j(x) è j(x) + p$/e. Все поля калибровочно инвариантны, и

после интегрирования по ним лагранжиан становится калибровоч- но инвариантным функционалом только от полей j è Aμ. Отсюда

следует, что функцию Лагранжа голдстоуновского и электромагнитного полей можно записать в виде

ãäå Ls — плохо известный функционал. Электрический ток и плотность заряда равны

Уравнения движения поля голдстоуновского бозона имеют вид

что, с учетом формул (21.6.6) и (21.6.7), эквивалентно закону сохранения электрического заряда

448 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Посмотрим теперь, как этот формализм объясняет приме- чательные свойства сверхпроводников. В отношении Ls достаточ- но предположить, что в отсутствии голдстоуновского или внешних электромагнитных полей система стабильна, так что энергия по крайней мере имеет локальный минимум при Aμ = ¶μj с неис- чезающими вторыми производными по разности Aμ – ¶μj.

Одно немедленное следствие состоит в том, что в глубине большого сверхпроводника, где граничные условия несущественны, электромагнитное поле есть чистая калибровка:

так что, в частности, магнитное поле должно обращаться в нуль. Это явление известно как эффект Мейснера. Можно более коли- чественно пояснить, что мы понимаем под словами «в глубине большого сверхпроводника». Поскольку при выполнениии соотношения (21.6.10) энергия минимальна, для малых значений |A – Ñj| она должна быть порядка |A – Ñj|2L3/l2, ãäå l — некоторая длина, зави-

сящая от природы вещества, а L3 — объем сверхпроводника. Если в сверхпроводник проникает магнитное поле порядка В, мы должны иметь |A – Ñj| порядка BL, т. е. затрата энергии на проникновение магнитного поля вглубь сверхпроводника будет порядка B2L5/l2. Ñ

другой стороны, затрата энергии на вытеснение магнитного поля В из объема L3 по порядку величины равна B2L3. Отсюда слабое магнитное поле будет вытеснено из сверхпроводника, если B2L5/l2 . B2L3 или, иными словами, если L . l. По этой причине l называют

глубиной проникновения в сверхпроводник.

На основании тех же энергетических соображений можно утверждать, что для любого сверхпроводящего вещества существует критическое магнитное поле, выше которого сверхпроводимость исчезает. Существование сверхпроводимости при нулевом магнитном поле означает, что энергия в единичном объеме вещества в нормальном состоянии больше, чем в сверхпроводящем, на некоторую величину D. Когда сверхпроводник линейными размерами, много большими l, помещается в магнитное поле В, это поле вытесняет-

ся из большей части вещества, на что тратится энергия в единице объема, равная В2/2. Отсюда следует, что веществу энергетически выгодно находиться в сверхпроводящем состоянии, если и только если магнитное поле не превышает критического значения

(Это верно для однородных сверхпроводников. Ниже мы увидим, что для сверхпроводников определенного типа возможно сохранить сверхпроводимость почти во всем образце при магнитных полях в конечном интервале значений выше Вñ за счет образования узких вихревых нитей с нормальным металлом на их концах.) Магнитное поле В < Вñ будет проникать в сверхпроводник на глубину l, не уничтожая сверхпроводимости в таком слое; действительно, как следует из уравнения поля Ñ ´ B = J, именно в этом поверхно-

стном слое сверхпроводника может течь электрический ток. Рассмотрим теперь свернутый в кольцо толстый сверхпрово-

дящий провод, толщина которого много больше l. Можно провести

глубоко внутри провода замкнутый контур C, вдоль которого |A – Ñj| должно обращаться в нуль. Это не означает, что A или j

равны нулю на этом контуре, но мы знаем, что при обходе контура j должно вернуться к эквивалентному значению и поэтому может изменяться только на величину np$/e, где n — положитель-

ное или отрицательное целое число или нуль. Тогда из теоремы Стокса следует, что магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на контур С, подчиняется правилу квантования потока

Электрический ток, создающий поток магнитного поля (21.6.12), течет в слое толщиной l под самой поверхностью сверх-

проводящей проволоки. Квантование потока показывает, что этот ток не может затухать непрерывно, а может меняться только скач- ками, при которых поток (21.6.12) уменьшается на целое кратное p$/e, так что в сверхпроводнике нет сопротивления в обычном

смысле.

Отсутствие сопротивления в сверхпроводнике можно показать и в более общем случае, чем замкнутые кольца, рассматривая зависящие от времени эффекты. Заметим, что формулу (21.6.7) можно интерпретировать как утверждение , что –J0 есть канони- чески сопряженная к j величина. Таким образом, гамильтониан Hs следует рассматривать как функционал j è J0, à íå j и , причем зависимость j от времени дается уравнением Гамильтона

450 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Далее, «напряжение» V(x) в любой точке есть просто изменение плотности энергии, приходящееся на изменение плотности заряда в этой точке, так что сооношение (21.6.13) позволяет записать временную зависимость поля голдстоуновского бозона в виде

Отсюда вытекает, что кусок сверхпроводящей проволоки, по которому идет постоянный ток, а поля не зависят от времени, должен иметь нулевое падение напряжения между концами, поскольку в противном случае поле ϕ(x) имело бы зависящий от времени гра-

диент. Но нулевое падение напряжения при конечном токе и есть то, что мы понимаем под нулевым сопротивлением.

Рассмотрим теперь щель между двумя кусками сверхпроводящего вещества. Из калибровочной инвариантности следует, что при отсутствии любых градиентов вдоль поверхности щели или любого векторного потенциала Ls зависит только от разности Δϕ

между полями голдстоуновских бозонов в двух сверхпроводниках:

где A — площадь перехода. Более того, можно сдвинуть ϕ в любом из сверхпроводников на целое кратное π$/e, не произведя никако-

го физического эффекта, и поэтому функция F должна быть периодической *:

Сквозь такую щель течет ток, который можно вычислить, рассматривая переход в присутствии векторного потенциала А. Из калиб-

* Эта функция была вычислена Джозефсоном 40, который обнаружил, что она пропорциональна cos(2eΔϕ/$), но это приближенный результат, а

свойство периодичности — точное.

ровочной инвариантности следует, что вместо Δϕ функция F дол-

жна зависеть от

DAj = z dx × (Ñj - A) ,

причем интеграл берется по линии, соединяющей два сверхпроводника. Тогда из формулы (21.6.6) следует, что плотность тока равна

J = δLконтакт = −n$ F′( Aϕ) ,

δA

ãäå n$ — единичный вектор, перпендикулярный щели. Теперь

можно избавиться от векторного потенциала и найти ток

Если мы предположим, что оба сверхпроводника поддерживаются при постоянных напряжениях, разность которых равна V, то, согласно (21.6.14), разность полей голдстоуновских бозонов будет зависеть от времени:

Подставляя это в формулу (21.6.17) и вспоминая (21.6.16), видим, что ток осциллирует с частотой

Это — эффект Джозефсона для переменного тока 40. Напряжения и частоты можно измерять с большой точностью, поэтому описанный эффект дает метод очень точного измерения константы e/$.

Как отмечено в конце раздела 19.6, описание системы с нарушенной симметрией с помощью только голдстоуновских мод становится неадекватным, когда состояние системы приближается к точ- ке, где нарушенная симметрия становится ненарушенной. При этих обстоятельствах голдстоуновская мода сопровождается другими модами, имеющими почти нулевую частоту в пределе больших длин волн, и образующими вместе с голдстоуновской модой линейное представление (обычно неприводимое) группы симметрии, известное как параметр порядка. Правдоподобно предположить, что

452 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

однородный сверхпроводник в медленно меняющихся внешних полях описывается локальным параметром порядка, поскольку всякая нелокальность должна характеризоваться микроскопическими масштабами длины (типа среднего расстояния между электронами), которые много меньше тех масштабов расстояний, на которых, как предполагается, изменяются электромагнитное и голдстоуновское поля. В случае сверхпроводимости не возникает никаких сомнений относительно природы этого параметра порядка. Единственное нетривиальное неприводимое линейное представление группы U(1) есть действительный 2-вектор yn, или, эквивалентно, голдстоуновская мода j и поле модуля r, ãäå

Коэффициент ij в показателе экспоненты должен равняться 2e/$, для того чтобы калибровочное преобразование c L = p$/e (и без меньших L) оставляло бы yn инвариантным. Для почти однородной

независящей от времени системы, находящейся близкой к нарушающему симметрию переходу, параметр порядка мал и медленно изменяется в пространстве, поэтому функцию Лагранжа во внешнем векторном потенциале А можно приближенно записать в виде (с этого момента используем естественные единицы с $ = 1)

(21.6.21)

а константу g следует взять положительной, чтобы получить ограниченный гамильтониан. Это — теория сверхпроводимости Гинзбурга–Ландау 41. Горьков 42 вывел ее из описанной ниже мик- ро-скопической теории сверхпроводимости в случае короткодействующего потенциала и температуры, близкой к критической температуре, при которой вещество теряет сверхпроводящие свойства.