Физика - ответы на экзамен 1-29 / Классификация вещества

Материалы межшкольного учебного центра информационных и  электронных технологий (школа №1006, г. Москва) И.А.Ходяков

Физический вакуум.

Свойства "пустого" пространства (вдали от взаимодействующих тел) - физического вакуума - предполагаются простейшими:

1. пространство однородно, т. е. свойства пространства не зависят от координат; другими словами - свойства не меняются при параллельном переносе;

2. пространство изотропно, т. е. свойства пространства не зависят от направления; другими словами - свойства не меняются при повороте.

Электрический заряд.

Так же, как масса частиц (тел малых размеров по сравнению с расстояниями между ними) определяет гравитационное взаимодействие и проявляется именно во взаимодействии между частицами, электрический заряд проявляется во взаимодействии между зарядами. Существуют два рода зарядов - положительный и отрицательный, так что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные - притягиваются.

Будем считать, что система неподвижных точечных зарядов частиц замкнута, электрически изолированна, тогда справедлив закон сохранения электрических зарядов: в изолированной системе зарядов их алгебраическая сумма неизменна во времени.

Электрическое поле неподвижных зарядов.

Физический вакуум обеспечивает взаимодействие зарядов, т. е. обладает электрическими свойствами: его особое электрическое состояние возникает в присутствии электрического заряда, так что другой заряд, помещенный в такое пространство, испытывает воздействие некоторой силы. Особое электрическое состояние пространства, проявляющееся в том, что на другой, "пробный" заряд в любой точке вакуума действует сила, называется электрическим полем.

Создающий поле заряд точно так же находится в поле пробного заряда и точно так же испытывает силовое воздействие. В каждой точке физического вакуума результирующее состояние - электрическое поле - есть простая векторная сумма полей двух взаимодействующих зарядов: поля зарядов просто "налагаются", "не замечая" друг на друга. Это - формулировка принципа наложения (суперпозиции) полей электрических зарядов.

Попробуем геометрически представить простейшее электрическое поле - поле уединенного точечного неподвижного электрического заряда:    а) в силу однородности пространства конфигурация поля не зависит от координат заряженной частицы;    б) в силу изотропности пространства конфигурация поля одинакова во всех направлениях: поле обладаетсферической симметрией, т. е. линии, вдоль которых направлена сила действия на пробный заряд (силовые линии), образуют сферически (центрально-) симметричную систему прямых (как иглы морского ежа), начинающихся на заряде Q и уходящих в бесконечность:

в) свяжем направленность силовых линий с направлением действия на положительный пробный заряд, а густоту, т. е. количество силовых линий через 1 м2 перпендикулярной силовым линиям плоскости - с уровнем интенсивности поля заряда Q в данной области, т. е. с величиной, численно равной силе, действующей на единичный положительный заряд или напряженностью электрического поля.

Замечание. Внесение единичного заряда может заметно исказить поле заряда Q в силу принципа суперпозиции:

Поэтому на опыте вектор напряженности поля E заряда Q находят как отношение вектора силы F, действующей на малый ("практически не искажающий" поле) заряд q, к величине этого пробного заряда:

E = F/q .

Поток вектора электрического поля Е.

Рассмотрим небольшую область электрического поля, силовые линии которого пересекают часть плоскости S под некоторым углом a к вектору n, перпендикулярному к плоскости (|n|=1):

Такой вектор n называется вектором нормали к поверхности.

Будем считать, что в рассматриваемой малой области поля силовые линии параллельны друг другу и их густота везде одинакова: Е=const (такое поле называется однородным). Проведем через основание вектора нормали плоскость, перпендикулярную Е. Спроектируем поверхность S на построеннную плоскость вдоль силовых линий. Очевидно, площадь проекции составит Scos(). Если вспомнить условие, что напряженность поля выражается густотой силовых линий, т. е. численно равна их количеству через единицу площади, перпендикулярной силовым линиям плоскости, то всего такую площадку, а значит и площадку S, пересекут  силовых линий. Это число силовых линий называется потоком ФЕ вектора Е через поверхность S:

Поток поля может быть и отрицательным при 270>>90

В случае поля произвольной конфигурации и поверхности произвольной формы нужно разбить поверхность на m малых плоских областей так, чтобы в пределах каждой такой i-той области поле Еi можно было считать однородным, и найти сумму (интеграл) всех i-тых потоков:

Для немногих симметричных полей можно выбрать поверхность аналогичной симметрии так, чтобы везде на ней модуль вектора напряженности электрического поля и угол между полем и нормалью были постоянными, а в скобках останется просто сумма площадей участков поверхности.

Теорема Гаусса для электрического поля.

Поток силовых линий через поверхность играет роль меры на образе поля. Чтобы получить некий закон с помощью такой меры, нужно выбрать общий тип поверхности, а именно - замкнутую поверхность (которая, очевидно, состоит из участков незамкнутых поверхностей и представляет собой нечто "большее", более общее). Договоримсявектор нормали направлять наружу замкнутой поверхности, - тогда "входящие" извне силовые линии образуют отрицательный поток, а "выходящие" изнутри силовые линии образуют положительный поток.

Очевидно, здесь могут быть две ситуации:

а) внутри поверхности заряды отсутствуют, тогда силовые линии полей внешних зарядов, пронизывающие насквозь замкнутую поверхность, создадут "входящий" отрицательный поток и точно такой же по модулю "выходящий"положительный поток (ведь геометрический смысл потока - просто количество силовых линий!), так что суммарный поток будет нулевым:

б) внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, тогда их поля, согласно принципу суперпозиции, просто складываются, и общее количество силовых линий, "выходящих" наружу, прямопропорционально количеству k зарядов внутри поверхности (поток иголок сквозь полиэтиленовый пакет прямопропорционален количеству ежей в пакете):

Очевидно, за интенсивность поля (густоту силовых линий) данного заряда "отвечает" и физическая среда, в которой он находятся. В вакууме коэффициент пропорциональности между потоком поля сквозь замкнутую поверхность и количеством зарядов внутри нее образован фундаментальной электрической постоянной 0:

В диэлектрике за счет противоположного поля поверхностных зарядов поле "внедренного" заряда ослабевает в  раз:

Полученное выражение носит название теорема Гаусса. В общем случае, рассматриваемом разделом высшей математики - классической теорией поля, формулировка теоремы следующая: поток вектора поля сквозь замкнутую поверхность прямопропорционален количеству источников поля внутри поверхности. Поле при этом может быть любой природы: гравитационное, магнитное и т. п.

Расчет симметричных полей.

Теорема Гаусса, в случае симметричных полей (когда Е и cos() можно вынести за скобку), применяется для нахождения закона (формулы) напряженности электрического поля неподвижных зарядов (электростатического поля) как функции суммарного заряда (назависимо от его способа распределения внутри поверхности), координат и свойств физической среды.

 1. Поле точечного заряда.

Как мы уже видели, поле такого заряда имеет сферическую (центральную) симметрию, и если выбрать такого же типа симметрии поверхность,- сферу с центром, совпадающим с зарядом, - то везде на сфере, в силу равноудаленности её поверхности от заряда, модуль напряженности поля будет постоянным, а угол между вектором напряженности и вектором нормали к поверхности равен 0, так как оба направлены по радиусу сферы:

а суммаесть просто поверхность сферы радиуса R, равная 4pR:

откуда находим формулу напряженности поля точечного заряда:

Полученая формула носит название закон Кулона для точечного заряда. Как видим, наличие множителя 4pR связано с центральной симметрией поля (вследствие изотропности физического пространства).

2. Поле равномерно заряженного шара.

Введем понятие объемной плотности заряда , численно равной заряду единицы объема:

Пусть радиус шара равен R, полный заряд шара равен Q и =const. Вне и внутри шара поле, очевидно, буде сферически симметричным, поэтому в качестве замкнутых поверхностей выбираем две концентрические сферы радиусами R1 меньше и R2 больше R с центрами в центре шара:

Внутри поверхности S2 радиуса R2 сосредоточен полный заряд шара Q, так что поле вне шара, как это следует из теоремы Гаусса, идентично полю точечного заряда Q, помещенного в центр шара:

Внутри же внутренней сферы S1 радиуса R1 сосредочен заряд, равный произведению объемной плотности заряда на объем сферы:

где

Полный заряд шара Q и заряд внутреннего объема радиуса R1 Q1 соотносятся как кубы радиусов:

Подставим выражение для Q1 в теорему Гаусса:

Для построения в MathCAD6.0PLUS графика зависимости напряженности поля от расстояния от центра шара примем Q=4p0 Кл и R=1 м

3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Введем понятие поверхностной плотности заряда >0, численно равной заряду единицы площади:

В силу однородности и изотропности пространства силовые линии поля равномерно заряженной бесконечной плоскости должны быть перпендикулярными к ней и иметь равномерную густоту, что соответствует определению однородности поля Е=const. В качестве "удобной" замкнутой поверхности выберем прямой цилиндр, боковая поверхность которого параллельна силовым линиям (везде на ней0 и, следовательно, поток сквозь нее равен 0), а торцевые поверхности площадью S - параллельны заряженной плоскости (так что везде на них1):

Поток однородного поля Е сквозь обе перпендикулярные ему торцевые поверхности S равен просто Е2S, а заряд, сосредоточенный на участке площадью S заряженной поверхности, равен S:

4. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.

Однородные поля таких плоскостей будут отличаться лишь направленностью силовых линий (модули поверхностных плотностей заряда одинаковы):

Из рисунка видно, что вне области между плоскостями их поля взаимно "погашаются", и внутри - суммируются:

Циркуляция вектора поля Е.

Плоскость, которую пронизывает поток силовых линий, служит одновременно и некоторым "индикатором" наличия поля в данной области пространства. Однако отсутствие потока не всегда означает отсутствие поля: силовые линии могут просто "лежать" в плоскости и угол между векторами E и n составит 90. Дополнительным "портретом" поля, т.е. .мерой, отражающей его интенсивность и направленность, может служить в данной точке - проекция вектора Е на некоторое направление, а в пространстве плоскости - сумма произведений перемещений на проекции вектора напряженности поля на направление этих перемещений. Ближайшая механическая аналогия - подсчет работы некоторой силы. Причем в случае вектора напряженности электрического поля физический смысл аналогии сохраняется: напряженность численно равна силе, действующей на единичный заряд, а сумма произведений проекций напряженности на перемещения численно равна работе поля при перемещении единичного заряда (+1 Кл).

Рассмотрим область поля положительного точечного заряда.

На некотором i-том участке перемещения li (столь малом, что его можно считать линейным) общего перемещения единичного точечного заряда из точки 1 в точку 2 поля E в пересчете на +1 Кл совершена элементарная работа Ui, равная Еilicos(i). При этом licos(i)=ri, равное проекции вектора элементарного перемещения li на направление поля Е. При бесконечно малом перемещении

Можно сделать вывод, что при перемещении по траектории любой формы работа полем (или над полем) совершается постольку, поскольку происходит движение по силовой линии, вдоль поля (или против поля). Какой бы сложной ни была форма траектории при перемещении заряда от точки 1 в точку 2, работа в перпендикулярных силовым линиям направлениях всегда равна нулю (cos(90)=0), а работы на "поступательно-возвратных" участках взаимно компенсируют друг друга (косинус меняет знак).

В частности при возврате в исходную точку 1 суммарная работа равна нулю: суммарная положительная работа поля компенсирована суммарной отрицательной работой внешних сил против поля. Так как замкнутая линия состоит из незамкнутых участков, то ее форма имеет более общий характер и "годится как объект для теоремы": циркуляция вектора Е вдоль замкнутой траектории тождественно равна нулю ("циркуляция" - это как разсумма произведений перемещений на проекции вектора напряженности поля на направление этих перемещений по всей замкнутой траектории):

Пример 1.Возможна ли приведенная на рисунке ниже конфигурация электростатического поля?

Нет, невозможна. На участках обхода 2 - 3 и 4 - 1, перпендикулярных вектору поля, вклад в циркуляцию равен нулю. На участке 1 - 2 вклад положителен, на участке 3 - 4 -отрицателен, но так как на этих участках напряженность поля (густота силовых линий) различна, то суммарная циркуляция поля при обходе прямоугольника не равна 0, что противоречит теореме о циркуляции.

Пример 2. Могут ли силовые линии электростатического поля быть замкнутыми?

Нет, так как при этом циркуляция вектора поля, подсчитанная, например, вдоль силовой линии (косинус угла между вектором напряженности и направлением обхода всегда равен +1), не равна нулю.

Поля, силовые линии которых замкнуты, называются вихревыми. В них, в частности, сумма произведений вектора поля на направления обхода зависит от формы траектории, как это видно из сравнения двух траекторий от точки 1 в точку 2 на рисунке:

Независимость работы от формы траектории или нулевая циркуляция вектора поля - признак консервативностиэлектрического поля неподвижного заряда. Ясно, что стационарные поля любых центральных (сферически симметричных) сил, например, гравитационной, являются консервативными.

Потенциал электростатического поля Е.

Величина, численно равная работе поля точечного заряда Q по переносу единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, или электрическое напряжение, равна:

Или, в более удобном виде:

Скалярные величины 1 и 2 численно равны работе против поля по переносу единичного положительного заряда из бесконечности (где поле точечного заряда Q отсутствует, равно 0) в точки, находящиеся на расстояниях r1и r2 от заряда Q, например:

Здесь  - угол междувекторами поля и перемещения против поля.

Величина, численно равная работе поля точечного заряда Q по переносу +1 Кл из из точки 1 в бесконечность:

Здесь 1 количественно равен убыли энергии единичного положительного заряда до 0, равной уровню потенциальной энергии +1 Кл в точке 1 или потенциалу поля на расстоянии r1 от заряда Q.

График напряженности и потенциала поля точечного заряда 

В консервативном поле работа поля (или против поля) однозначно определена потенциалами поля в начальной и конечной точках перемещения, точнее - их разностью. Поэтому начальный, нулевой уровень отсчета потенциала не обязательно связывать с областью отсутствия поля. Например, для поля бесконечной равномерно заряженной плоскости условный 0 потенциала может быть определен на самой плоскости. В технике же таким условным нулем принимают потенциал поверхности Земли.

Если объединить в поверхность все точки равного потенциала, т. е. образовать эквипотенциальную поверхность, то, очевидно, при перемещении зарядов по ней работа будет нулевой. Геометрически это означает перпендикулярность силовых линий к поверхности. Можно сказать, что для расчета симметричных полей с помощью теоремы Гаусса мы выбирали именно эквипотенциальные поверхности. Итак, поле перпендикулярно эквипотенциальной поверхности. С другой стороны, ясно, что потенциал поля меняется быстрее всего вдоль силовой линии (изменение потенциальной энергии +1 Кл в результате работы в направлении действия силы):

Если условиться проводить эквипотенциальные поверхности через одинаковое изменение потенциала (например, 1 В), то, как это видно из приведенной выше формулы, интенсивность поля также будет определяться на графике густотой эквипотенциальных поверхностей (на 1 м силовой линии).

Поверхностный график напряженности и линии уровня потенциала поля равномерно заряженного шара:

Электроемкость уединенного проводника.

Электроемкость уединенного проводника - это физическая величина, численно равная заряду, необходимoму для повышения потенциала проводника на 1 В:

Найдем емкость проводника формой шара радиуса R:

Найдем размер шара емкостью 1Ф:

При этом емкость шара размером в земной равна:

Избыточный заряд величиной 1 Кл поднял бы потенциал такого шара на

Как видим, емкость проводника определена его "габаритами". Совершенно аналогично, "энергетическая емкость" бочки, т. е. величина, численно равная массе воды, необходимой для повышения ее потенциала в поле тяжести на единицу (в однородном поле тяжести на высоте h потенциал численно равен потенциальной энергии 1 кг: gh), прямопропорциональна площади дна бочки.

Диэлектрик в e раз ослабляет поле и, следовательно, в  раз увеличивает емкость.