2. Проблема полноты в теории

2.1 Проблема полноты в узком смысле

Относительно исчисления предикатов также возникает вопрос о полноте в широком и узком смысле. Вопрос о полноте в широком смысле мы будем рассматривать в дальнейшем. Вопрос же о полноте в узком смысле легко решается отрицательно. Мы сейчас рассмотрим. Напомним определение полноты в узком смысле. Логическая система называется полной в узком смысле, если нельзя без противоречия присоединить к ее аксиомам в качестве новой аксиомы никакую не выводимую в ней формулу так, чтобы полученная при этом система, была непротиворечива. В отличие от исчисления высказываний, исчисление предикатов оказывается неполным в узком смысле. К его аксиомам можно присоединить без противоречия недоказуемую в нем формулу:

(1)

Доказательство этого осуществляется на основании того же соответствия, в силу которого мы каждой формуле 51 исчисления предикатов отнесли формулу исчисления высказываний. Из рассуждений § 5 вытекает, что каждая формула, которой соответствует выводимая формула исчисления высказываний, может быть присоединена без противоречия к аксиомам исчисления предикатов. Формуле (1) соответствует в исчислении высказываний формула

которая является выводимой формулой исчисления высказываний.

Итак, формула (1) может быть присоединена к аксиомам исчисления предикатов. Может показаться странным, что такую формулу, явно неверную, можно без противоречия присоединить к аксиомам исчисления предикатов. Для выяснения этого вопроса обратимся к содержательному смыслу формул исчисления предикатов. Дело в том, что из общих логических аксиом ничего не вытекает относительно того, какие предметы и сколько их существует в той области к которой относятся наши высказывания и предикаты. Из общелогических положений нельзя, например, заключить, что область содержит более одного элемента. Если же область содержит только один элемент, то формула (1) для нее истинна. Вместе с тем наш прием доказательства непротиворечивости тех или других аксиом в том и состоял, что мы интерпретировали все наши формулы на области, состоящей из одного элемента.

Чтобы доказать, что исчисление предикатов неполное в узком смысле, нам еще нужно показать, что формула (1) не выводима из аксиом исчисления предикатов С содержательной точки зрения этот вопрос представляется совершенно ясным. Ведь из всеобщей истинности формулы (1) вытекала бы невозможность существования в области более одного элемента. И если из общелогических положений нельзя доказать существование более чем одного предмета, то существование только одного предмета тоже доказать нельзя.

Однако можно дать и вполне строгое доказательство того, что формула (1) не может быть формально выведена из аксиом исчисления предикатов. Мы не будем приводить этого доказательства подробно, а ограничимся тем, что изложим основную идею. Идея эта состоит в том, что используется интерпретация формул исчисления предикатов на области, состоящей из двух элементов, в качестве которых можно взять числа 1 и 2. Поставим в соответствие каждой формуле исчисления предикатов такую формулу, в которой операции связывания квантором заменены следующим образом:

заменяется U(1) & U(2)

заменяется U(1) ˅ U(2)

Назовем не содержащую кванторов формулу исчисления предикатов правильной, если при любых заменах свободных переменных числами 1 и 2 она является выводимой формулой исчисления высказываний. Докажем, что для каждой выводимой формулы 91 исчисления предикатов поставленная ей в соответствие формула U является выводимой формулой исчисления высказываний.

Для аксиом это можно непосредственно проверить. Аксиомы групп I—IV не содержат ни переменных, ни кванторов; поэтому соответствующими им формулами являются они сами, т. е. выводимые формулы исчисления высказываний.

Рассмотрим аксиому V. 1

Заменив в ней посылку конъюнкцией, получим

F(1) & F(2) → F(y)

Эта формула правильная, так как она становится выводимой формулой исчисления высказываний при замене переменной y числами 1 и 2.

Аналогичным образом можно убедиться, что и аксиоме V. 2 поставлена в соответствие правильная формула.

Дальше можно показать, что правила получения выводимых формул исчисления предикатов для соответствующих формул без кванторов переходят в правила в силу которых из правильных формул получаются снова правильные формулы исчисления предикатов. Рассмотрим, например, первое правило связывания квантором. Предположим, что формула

U → B(x)

где U не содержит переменной х, выводима, а соответствующая ей формула является правильной формулой исчисления предикатов. Эта формула имеет вид

U** → B**(x)

Где U** и B** — формулы, соответствующие U и B. Так

как формула по предположению правильная, то формулы

U** → B** (1) и U** → B**(2) также правильные.

Проведя доказательство для всех правил исчисления предикатов, мы тем самым покажем, что каждой выводимой формуле исчисления предикатов соответствует правильная формула.

Рассмотрим теперь формулу, соответствующую исследуемой формуле. Это, очевидно, формула.

F(1) ˅ F(2) → F(1) & F(2)

Так как формула (1) свободных переменных не содержит, то формула (3), если она правильная, должна быть выводимой формулой исчисления высказывании. Однако легко видеть, что формула (3) не является выводимой. В самом деле, для предиката F, для которого F(1) имеет значение Я, a F(2) —значение Л, формула (3) перейдет в

И ˅ Л → И & Л

т. е. примет значение Л. Отсюда следует, что формула (1) не является выводимой в исчислении предикатов, что и требовалось доказать.