Garbage / Информатика / 3.3.5 - Алгорифм Маркова

Алгорифм Маркова

Операционные правила обработки дискретных сообщений являются алгоритмами над последовательностями знаков. Приступим теперь к уточнению понимавшегося до сих пор интуитивно понятия алгоритма. В частности, нам предстоит выяснить, что можно считать „элементарными тактами обработки".

Без сомнения, элементарной операцией над последовательностями знаков может считаться замена подслова на некоторое слово (текстовая замена). Будем исходить из множеств M и M’ слов над общим набором знаков V (это можно делать без ограничения общности). Отдельную операцию замены (продукцию) будем записывать в виде а -> b и понимать её так:

если а является подсловом заданного слова х, то заменить это подслово на b. В случае если подслово а встречается в х несколько раз, словом b заменяется то из них, которое стоит в самой левой позиции.

Далее, если дано (конечное) множество таких продукций, перечисленных в определённом порядке, то текстовая замена должна производиться посредством применения самой первой (относительно этого порядка) из применимых продукций. Всё это повторяется до тех пор, покуда возможно, или же до применения особым образом отмеченной продукции („останавливающей").

Такого рода алгоритмы называют алгорифмами Маркова по имени советского математика А. А. Маркова, который впервые описал их (в 1951 г.); сам Марков называл их „нормальными алгорифмами" Алгоритмы Маркова можно считать уточнением понятия алгоритма, достигаемым за счёт использования специальной формы описания.

В качестве примера приведем алгоритм Маркова, который по заданному двоичному слову строит производное двоичное слово. Этот алгоритм использует вспомогательные знаки α, β („челноки") и содержит следующие продукции:

Останавливающие продукции отмечены точкой. На рис. 2 показано применение алгоритма к слову OOLLOLLLOLOL

OOLLOLLLOLOL αOOLLOLLLOLOL OαOLLOLLLOLOL OOαLLOLLLOLOL OOL β LOLLLOLOL

OOLO β OLLLOLOL

OOLOLαLLLOLOL

OOLOLL β LLOLOL

OOLOLLO β LOLOL

OOLOLLOO β OLOL

OOLOLLOOLαLOL

OOLOLLOOLL β OL

OOLOLLOOLLLαL

OOLOLLOOLLLL β

OOLOLLOOLLLL

Рис 2. “Челнок”.

Благодаря компактным правилам замены алгоритмы Маркова представляют собой мощное средство описания: на сегодня нет таких алгоритмов над последовательностями знаков, для которых не существовало бы алгоритма Маркова, выполняющего ту же самую обработку сообщений. Описания, сформулированные в виде алгоритмов Маркова, часто оказываются весьма короткими по сравнению с другими, менее „рафинированными" формами описания. Заметим, что элементарную для алгоритмов Маркова операцию замены можно также рассматривать как сложную, рекурсивно определяемую операцию над последовательностями знаков. Поэтому понятие элементарности всегда относительно.

В зависимости от информации, содержащейся в обрабатываемых сообщениях, часто, наоборот, рассматривают как элементарные такие такты обработки, которые, собственно говоря, являются сложными. Основанием для этого может служить, например, тот факт, что такие макротакты фактически состоят из конечного числа описанных выше текстовых замен, причём их внутренняя структура несущественна для предпринимаемой обработки. Так обстоит дело, скажем, для сложения, вычитания, умножения и деления с остатком, в случае, когда сообщения представлены целыми числами в некоторой цифровой форме записи. В остальном же несущественно, представлена последовательность инструкций в виде диаграммы или как-нибудь более схематично, равно как несущественно и то, описаны отдельные такты обработки словесно или заданы посредством формул.

Собственно действия с числами в цифровой записи относятся, таким образом, к классу алгоритмов над цепочками знаков. Здесь в арифметике мы обнаруживаем исторические корни слова algorismo; еще Лейбниц говорил об „алгоритме умножения".

А.А. Марковым был сформулирован принцип нормализации: всякая вычислимая в интуитивном смысле функция вычислима с помощью некоторого

нормального алгорифма.

Из эквивалентности трех приведенных выше уточнений алгоритма (машина Тьюринга, частично-рекурсивная функция и нормальный алгорифм Маркова) следует эквивалентность соответствующих тезисов о вычислимой функции.

Каждый из приведенных тезисов является основанием для вывода о неразрешимости алгоритмической проблемы после того, как доказано, что эта проблема не может быть решена в рамках того или иного уточнения понятия алгоритма.

Ввиду инвариантности основных результатов общей теории алгоритмов прикладное значение ее результатов никак не связано с тем, насколько близки к практике используемые в ней теоретические модели алгоритмов. Машины Тьюринга весьма далеки от современных ЭВМ, а рекурсивные функции — от языков программирования прежде всего из-за предельной скромности используемых средств. Однако именно скромность средств, во-первых, делает эти модели чрезвычайно удобным языком доказательств, а во-вторых, позволяет понять, без чего обойтись нельзя, а без чего можно и какой ценой, т. е. отличать удобства от принципиальных возможностей. Иначе говоря, прикладное значение рассматриваемых здесь моделей заключается в том, что с их помощью удобно строить теорию, верную для любых алгоритмических моделей, в том числе и для сколь угодно близких к практике.

Поскольку несмотря на их универсальность, эти способы описания алгоритмов оказались практически неприемлемыми для описания алгоритмов решения задач при их реализации на ЭВМ, возникла необходимость создания языков программирования (алгоритмических языков), в которых находят свое отражение такие важные особенности решения задач на современных ЭВМ, как наличие различных запоминающих сред, внешние среды, с которым связаны ввод и вывод данных и др.

Вообще говоря, теорию алгоритмов можно разделить на дескриптивную (качественную) и метрическую (количественную). Первая исследует алгоритмы с точки зрения устанавливаемого между исходными данными и результатами; к ней относятся, в частности, проблемы построения алгоритма, обладающего теми или иными свойствами, - алгоритмические проблемы. Вторая исследует алгоритмы с точки зрения сложности как самих алгоритмов, так и задаваемых ими вычислений, т.е. процессов последовательного преобразования конструктивных объектов.