Программа экзамена по математическому анализу
специальность – математика (компьютерные науки) 1 курс ФКН, июнь – 2006.
1.Первообразная и неопределенный интеграл.
2.Таблица неопределенных интегралов.
3.Замена переменной в неопределенном интеграле.
4.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
5.Интегрирование дробно-рациональных функций.
6.Интегрирование иррациональных функций.
7.Интегрирование тригонометрических функций.
8.Определенный интеграл. Интегральная сумма.
9.Свойства определенного интеграла.
10.Теорема об ограниченности интегрируемой функции.
11.Верхняя и нижняя сумма Дарбу.
12.Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
13.Теорема об интегрируемости непрерывной функции.
14.Теорема об интегрируемости монотонной функции.
15.Теорема о среднем.
16.Существование первообразной. Формула Ньютона–Лейбница.
17.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
18.Вычисление площади криволинейной трапеции.
19.Вычисление длины кривой.
20.Вычисление объема тела и площади поверхности вращения.
21.Евклидово пространство. Неравенство Коши-Шварца. Неравенство треугольника.
22.Последовательности в евклидовом пространстве. Предел последовательности в евклидовом пространстве.
23.Ограниченные множества в евклидовом пространстве. Лемма о сходящейся подпоследовательности ограниченной последовательности.
24.Окрестность. Открытые и замкнутые множества в евклидовом пространстве.
25.Необходимые и достаточные условия компактности множеств.
1
26.Отображения. Функции многих переменных. Область определения функции многих переменных. Линии и поверхности уровня.
27.Предел функции многих переменных.
28.Непрерывность по каждой переменной и непрерывность по совокупности переменных.
29.Частные производные.
30.Полный дифференциал.
31.Понятие сложной функции. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
32.Касательная плоскость, нормаль.
33.Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.
34.Дифференциалы высших порядков.
35.Формула Тейлора.
36.Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
37.Неявные функции, задаваемые одним уравнением. Производная неявной функции.
38.Неявные функции, задаваемые системой уравнений. Теорема о неявной функции.
39.Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
40.Равномерная сходимость последовательности функций. Свойства равномерной сходимости. Теорема Дини. Теорема Стоуна–Вейерштрасса (без доказательств).
41.Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру, интегрирование и дифференцирование интеграла по параметру.
42.Несобственный интеграл по неограниченному промежутку.
43.Несобственный интеграл от неограниченной функции.
44.Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
45.Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных интегралов.
46.Эйлеровы интегралы. Бета-функция, гамма-функция.
2