Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Garbage / МатАн / exam_matan_kn07

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
21.05.2015
Размер:
129.47 Кб
Скачать

Программа экзамена по математическому анализу на первом курсе ФКН (математика – компьютерные науки)

Июнь 2007

1.Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы.

2.Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование с помощью замены переменной. Интегрирование методом подстановки. Интегрирование по частям.

3.Интегрирование рациональных выражений.

4.Интегрирование иррациональностей. Интегрирование тригонометрических выражений.

5.Интеграл Римана. Определенный интеграл. Простейшие свойства. Интегрируемость монотонной ограниченной функции. Существование интеграла Римана у непрерывной функции, имеющей первообразную. Формула Ньютона–Лейбница.

6.Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Признак интегрируемости в терминах сумм Дарбу.

7.Признак интегрируемости в терминах колебания функции на отрезках разбиения. Интегрируемость непрерывной функции на отрезке.

8.Независимость интеграла от значения функции в конечном множестве точек. Интегрируемость кусочно непрерывной функции.

9.Определенный интеграл Rb f(x)dx при b < a. Равенство Rc f(x)dx + Rb f(x)dx = Rb f(x)dx.

a

a

c

a

10.Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом.

11.Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом для непрерывной функции. Существование первообразной у непрерывной функции. Дифференцирование по нижнему пределу интегрирования.

12.Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

13.Понятие площади фигуры на плоскости. Суммы Дарбу и площадь криволинейной трапеции.

14.Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

15.Длина кривой. Вычисление длины кривой.

16.Площадь поверхности вращения кривой. Объем тела вращения.

17.Норма в пространстве Rn. "- окрестность точки в Rn. Открытые и замкнутые множества в Rn. Свойства открытых и замкнутых множеств в Rn.

18.Сходимость последовательности в Rn. Свойства сходящихся последовательностей. Компактные множества. Описание замкнутых и компактных множеств в терминах сходящихся последовательностей.

19.Предельная точка множества. Предел функции нескольких переменных в предельной точке. Свойства предела функции в предельной точке.

20.Непрерывная функция нескольких переменных. Свойства непрерывных функций (включая суперпозицию). Теорема Вейерштрасса об ограниченности и точках максимума и минимума непрерывной функции нескольких переменных.

21.Частные производные функции нескольких переменных. Необходимое условие локального максимума и минимума в терминах частных производных. Стационарные точки.

22.Дифференцируемые функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных в терминах частных производных. Определение дифференциала функции нескольких переменных

23.Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных.

24.Дифференцирование по направлению. Градиент функции. Геометрический смысл градиента функции двух и трех переменных.

25.Определение касательной плоскости к поверхности. Уравнение касательной плоскости к поверхности графика функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.

26.Производные высших порядков. Смешанные производные. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.

27.Дифференцирование вдоль вектора. Дифференциалы высших порядков. Связь дифференциалов высших порядков и производных высших порядков вдоль вектора.

28.Формула Тейлора для функции одной переменной. Остаточный член в формуле Тейлора в форме Пеано и форме Лагранжа.

29.Формула Тейлора для функций нескольких переменных с остаточным членом в форме Пеано.

30.Необходимое условие локального экстремума в терминах второго дифференциала.

31.Достаточное условие локального экстремума в терминах второго дифференциала.

32.Неявные функции, задаваемые одним уравнением. Производная неявной функции.

33.Уравнение касательной плоскости к поверхности в пространстве.

34.Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

35.Равномерная сходимость последовательности. Свойства равномерной сходимости последовательности непрерывных функций.

36.Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций.

37.Теорема Дини о пределе монотонной последовательности непрерывных функций

38.Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру

39.Интегрирование интеграла по параметру. Независимость повторных интегралов от порядка интегрирования.

40.Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.(Доказательство.)

41.Дифференцирование интеграла по параметру.

Литература.

1.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: в 2 т. / Л.Д.Кудрявцев - 3-е изд., перераб. - М.: Физматлит, 2002. - Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Ряды. - 400 с.

2.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: в 2 т. / Л.Д.Кудрявцев - 3-е изд., перераб. - М.: Физматлит, 2002. - Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных. Гармонический анализ. - 424 с.

2

Соседние файлы в папке МатАн