Программа экзамена по математическому анализу
специальность – информационные технологии 1 курс ФКН, июнь – 2006.
1.Функции двух переменных.
2.Предел функции 2-х переменных.
3.Частные производные.
4.Дифференцируемая функция 2-х переменных.
5.Дифференциал функции двух переменных.
6.Производная сложной функции.
7.Частные производные сложной функции.
8.Свойства дифференцируемой функции.
9.Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.
10.Неявные функции.
11.Уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных.
12.Касательная плоскость к поверхности (общий случай).
13.Производная по направлению. Градиент. Длина вектора-градиента.
14.Частные производные второго и высших порядков.
15.Дифференциал второго и высших порядков.
16.Формула Тейлора для функций двух переменных.
17.Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
18.Достаточное условие экстремума.
19.Условный экстремум.
20.Метод множителей Лагранжа.
21.Понятие функции комплексного переменного.
22.Показательная функция комплексного переменного.
23.Тригонометрические функции.
24.Дифференцируемость функции в смысле комплексного анализа.
25.Уравнения Коши–Римана. Примеры дифференцируемых и недифференцируемых функций.
26.Голоморфные функции. Теорема Меньшова.
27.Криволинейные интегралы второго рода. Свойства криволинейных интегралов. Формула для вычисления криволинейного интеграла. Физический смысл криволинейного интеграла.
28.Криволинейные интегралы, независящие от пути интегрирования. Потенциальные векторные поля. Признак потенциальности векторного поля.
29.Определение интеграла по комплексной переменной.
30.Независимость комплексного интеграла от пути интегрирования для голоморфных функций.
31.Первообразная функции комплексного переменного. Формула Ньютона–Лейбница для функций комплексного переменного.
1
32.Комплексный логарифм как голоморфная функция.
33.Степенные функции комплексного переменного.
34.Двойной интеграл. Определение и простейшие свойства.
35.Вычисление двойного интеграла с помощью повторного.
36.Замена переменных в двойном интеграле.
37.Полярные координаты. Двойной интеграл в полярных координатах.
38.Площадь поверхности графика функции двух переменных.
39.Формула Грина.
40.Тройные интегралы. Простейшие свойства. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу.
41.Поверхностные интегралы первого рода. Формула для вычисления поверхностного интеграла.
42.Ориентируемые поверхности. Поверхностные интегралы второго рода по ориентируемой поверхности. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода.
43.Формула Стокса. Ротор векторного поля.
44.Формула Остроградского–Гаусса. Дивергенция векторного поля.
45.Числовые ряды. Ряды с положительными членами.
46.Признаки сходимости положительных рядов.
47.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
48.Знакопеременные ряды, абсолютно сходящиеся ряды. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
49.Комплексные ряды.
50.Степенные функциональные ряды. Круг сходимости, радиус сходимости степенного ряда.
51.Представление голоморфных функции степенными рядами. Ряды Тейлора.
52.Ряды Тейлора для элементарных функций.
53.Первая теорема единственности голоморфных функций.
54.Нуль, порядок (кратность) нуля голоморфных функций.
55.Изолированность нулей голоморфной функции.
56.Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
57.Ряды Фурье. Признак Дирихле сходимости ряда Фурье.
58.Ряды Фурье четных и нечетных функций, разложение в ряд Фурье непериодических функций, ряд Фурье в комплексной форме.
59.Среднее квадратичное отклонение и ряды Фурье. Равенство Парсеваля.
Литература.
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учеб. для втузов. В. 2-ч т. Т.II. М.: Интеграл–Пресс, 2002. – 544 с.
2.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 19**.
2