jan04075
.pdfМ И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И
В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
М атем ати ч еск о ем о д ели ро вани е случ айны х вели ч и н
Практич еское пособие к курсу“Пакеты прикладныхпрограм м ” Специальности“М атем атич еское м оделирование систем
автом атич ескогорегулирования ” (010202.1), “М атем атич еское ипрограм м ное обеспеч ение защ иты инф орм ации” (010213)
ВО РО Н Е Ж
2003
2
У тверж дено науч но-м етодич еским советом ф акультета прикладной м атем а- тики, инф орм атикиим еханики 1 декабря 2003 г., протокол№ 2.
Составители:
ГолубВ .А . Ж уковаТ .М .
СоколоваМ .А
Практич еское пособие подготовлено накаф едре технич еской кибернетики и автом атич ескогорегулирования В оронеж скогогосударственногоуниверситета.
Реком ендуется для студентов 4 курса дневного отделения специальностей “М атем атич еское м оделирование систем автом атич еского регулирования ” (010202.1) и “М атем атич еское и програм м ное обеспеч ение защ иты инф орм а-
ции” (010213)
3
|
|
|
|
С о д ерж ани е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. М |
о д ели ро вани епо след о вательно сти случ айны х и спы тани й… |
… |
… |
… |
......4 |
|||||||||||||||||||
2.М |
о д ели ро вани ед и ск ретны х случ айны х вели ч и н… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
......… |
.5 |
||||||||||||
2.1.О бщ ий алгоритм м оделирования… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
..… |
|
… |
|
… |
… |
.… |
|
.5 |
||||||
2.2.М |
оделирование случ айной велич ины сбином иальным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
распределением … … … … … … … |
… |
… |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
.… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
...… |
...… |
6 |
||||
|
2.3.М |
оделирование случ айной велич ины, распределенной позакону |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пуассона… … … … … … … … … … |
… |
… |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
...6 |
|||
|
2.4.М |
оделирование случ айной велич ины, распределенной по |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
геом етрич еском узакону… … … |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… .… |
… |
7 |
|||||
3.М |
о д ели ро вани енепреры вны х случ айны х вели ч и н … |
… |
… |
… |
..… |
… |
… |
...… |
|
..8 |
||||||||||||||
3.1.М |
оделирование непрерывной случ айной велич ины м етодом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
обратной ф ункции… … … … … … |
… |
… |
… |
… … |
… |
.… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
|
..8 |
||
3.2.М |
оделирование случ айной велич ины сзаданной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
гистограм м ой… … … .… … … … … … … |
… |
...… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
...9 |
|||||
3.3.М |
оделирование непрерывной случ айной велич ины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
стандартным м етодом исклю ч ения… |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
.10 |
|||||
3.4.М |
оделирование непрерывной случ айной велич ины м етодом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
суперпозиции… … … … … … … … |
… |
… |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
.11 |
|||
3.5.М |
оделирование гауссовской случ айной велич ины м етодам и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
обратной ф ункцииисум м ирования… |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
...… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
.12 |
||||||||
3.6.М |
оделирование гауссовской случ айной велич ины м етодам и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ф ункциональногопреобразования, исклю ч ения исуперпозиции… |
… |
|
… |
|
… |
..… ..13 |
||||||||||||||||||
3.7.М |
оделирование случ айной велич ины сэкспоненциальным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
распределением … … … … … … … |
… |
… |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
|
.16 |
||
3.8.М |
оделирование случ айной велич ины с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
гам м а- распределением … … … .… … … |
… |
… … … … … … … … … … … … |
… |
… |
… |
....16 |
||||||||||||||||||
3.9.М |
оделирование случ айныхвелич инсраспределениям и χ 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сть ю дента, Ф ишера… … … … … |
… |
… … … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
.… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
..19 |
|||||
Задание навыполнение лабораторныхработпоком пью терном у |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
м оделированию случ айныхвелич ин… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
...… |
… |
...20 |
|||||||
При м ер. М оделирование случ айной выборки, распределенной |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
поэкспоненциальном узакону… |
… |
… |
… … … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
..… |
… |
...21 |
||||||
Ли тература… … … … … … … |
… |
… … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
.… |
… |
… |
..26 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. М |
|
о д ели ро вани епо след о вательно сти случ айны х и спы тани й [1] |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
По след о вательно сть незави си м ы х и спы тани й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть проводится последовательность |
k независим ых испытаний, |
|
в резуль - |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
тате каж дого из которых м ож етпроизойти одно из двухпротивополож ныхсо- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
бытий |
и B = |
|
|
свероятностью |
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
)..−A P= |
g |
p 1 B P |
||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
== (= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
М |
|
оделирование |
последовательности испытаний осущ ествляется следую щ им |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
образом . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
,базовой..., rr, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Получ аю т последовательность |
знач ений |
|
|
|
|
случ айной вели- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч ины |
|
(БСВ ) – |
велич ины, равном ерно распределенной |
на интервале |
(0,1): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ξ~ R ( |
|
|
01,). Е сли i |
< |
= |
k , то,...,сч итаем2, 1r i,, чpто в i-том испытании наступило |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
событие , |
если ri |
|
> p , |
то сч итаем , |
ч то в i-том |
испытании наступило событие |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
B = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если ξ |
|
R ~( |
1,)0, то |
(0 < ξ < P) = p, |
т.pе. |
|
||||||||||||||||||
|
|
Э ти допущ ения правом ерны, |
т.к. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
(ξ < |
) = |
(AP)P. Т акжp е справедливо: |
( |
< ξ <1) =1− p , т.е. |
( |
P) =p ξ( |
|
)P. |
p |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
A>P |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Т еперь предполож им , |
ч торезультатом |
каж дого из k независим ыхиспытаний |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
м ож етбыть появление одногоиз n несовм естныхсобытий |
1 |
2 K,, An , обраA A- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
зую щ их полную |
группу. |
В ероятность появления каж дого из событий известна |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
i ) = |
|
, = |
|
, инеi |
м еняетсяp P Aприпереходе отодногок другом у(т.к. все А i |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
,n1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несовм естны иобразую тполную |
группу, то å pi = 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
М |
|
оделирование |
|
такой |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
об- |
|
|||||||||
|
|
|
|
последователь ности осущ ествляется следую щ им |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
разом . |
|
отрезок [ 01,] наn уч астков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Разделим |
|
1 |
|
2 |
K,, |
n,, длины которыхсоответ- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
ственноравны |
1 |
|
2 K,, pn,. p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
K,,rn случ, r |
rайной |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Получ аем |
последователь ность знач ений |
|
1 |
2 |
|
велич ины |
|
|||||||||||||||||||||||||||
ξ |
|
R ~( |
1,).0 Е сли ri |
m , то сч итаем , |
ч то в i-том |
|
испытании наступило собы- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
тие |
|
|
|
А m. |
|
Э то |
|
допущ ение |
|
правом ерно, |
|
т.к. |
|
(ξ P m ) = |
(AmP), |
|
||||||||||||||||||||
P(ξ |
|
|
|
|
) |
|
|
|
от резка |
|
m |
|
= pд(лAина=P). |
|
|
m |
m |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
При м ер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пусть |
|
проводится последовательность |
независим ых испытаний, в |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
каж дом |
из которых м ож етпроизойти одно из трех несовм естных событий A1, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
А |
2 |
, А |
3 |
, образую щ ихполную группу, |
( |
) = |
|
|
|
|
( |
) = |
|
( |
|
|
)= . |
A2 P, 25 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A31P 4, 0 |
||||||||||
|
|
При м оделировании отрезок [ 01,] делятнатри уч астка. Генерирую тдвухраз- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
рядные ч исла ri |
.Н априм ер, r1 |
= |
150,– это ч исло попало на первый уч асток, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
знач итв первом |
испытании произойдетА |
1 |
, |
2 |
= |
|
, |
следовательно, во втором |
|
|||||||||||||||||||||||||||
испытании тож е произойдетА 1; |
|
3 = |
|
|
|
|
|
34r , 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
, значr71, итв0 |
треть ем |
испытании произой- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
детА 3 ит.д.
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
По след о вательно сть зави си м ы х и спы тани й |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть проводится последовательность |
зависим ых испытаний, в каж дом |
из |
||||||||||||||
которыхм ож етпроизойтисобытие |
илине произойти (B = |
|
). |
|
|
|||||||||||
A |
|
|
||||||||||||||
М |
оделирование осущ ествляется следую щ им |
образом : |
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Получ аем |
знач ение r1 случ айной |
велич ины ξ |
R ~( |
1,)0. Е сли 1 < 1r(A),P |
|||||||||||
где P1 (A)– вероятность наступления события |
в первом испытании, то сч ита- |
|||||||||||||||
ем , ч тов 1-ом испытаниипроизошло событие |
. Е сли 1 ³ |
1r(A),Pтоф иксирует- |
||||||||||||||
ся непоявление события |
А (т.е. событие В ). Д опустим , ч тов первом испытании |
|||||||||||||||
появилось событие A. |
|
|
|
|
2 < |
2 ( |
\ A)r, AгдеPP2 (A \ A) – ус- |
|||||||||
2. |
Получ аем |
следую щ ее знач ение r2. Е сли |
||||||||||||||
ловная вероятность появления во втором |
испытании события |
при условии, |
||||||||||||||
ч то в 1-вом |
испытании произошло событие , то ф иксируем появление во вто- |
|||||||||||||||
ром |
испытаниисобытия |
, если 2 ³ |
2 ( |
A\)r,A тосчP |
итаем , ч тововтором испыта- |
|||||||||||
ниипроизошло B = |
|
. Д опустим произошлоВ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
3 < 3 ( |
\ AB)–rвероятностьA P |
|
|||||||||||||
3. |
Получ аем |
следую щ ее знач ение r3. Е сли |
на- |
|||||||||||||
ступления в треть ем испытании события |
, при условии наступления в первом |
|||||||||||||||
– события |
ивовтором |
– события В , тосч итаем , ч тов третьем |
испытаниипоя- |
|||||||||||||
вилось событие |
, в противном случ ае В ит.д. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Э тоталгоритм легком ож етбыть обобщ еннаслуч ай не двух, а k событий.
2.М о д ели ро вани ед и ск ретны х случ айны х вели ч и н [1]
2.1. Общ и й алго ри тм м о д ели ро вани я
Е сли случ айная велич ина дискретная, то её м оделирование (получ ение последовательности её знач ений) м ож но свести к м оделированию независим ых испытаний. Д ействительно, пусть им еется рядраспределения
|
ξ |
|
x1 |
|
x2 |
… |
xn |
|
|
|
P |
|
p1 |
|
p2 |
… |
pn |
|
|
О бознач им Ai событие, |
состоящ ее в том , ч то случ айная велич ина ξ прим ет |
||||||||
знач ение хi. |
знач ения, принятого случ айной велич иной |
в результате |
|||||||
Т огда нахож дение |
|||||||||
испытания, сводится к определению |
того, какое из событий 1 |
2 K,, An,пояA - A |
|||||||
вится. Т .к. эти события несовм естны, |
образую т полную группу и вероятность |
||||||||
появления каж дого из них не м еняется от испытания к испытанию , то для м о- делирования знач ений ξ м ож но исполь зовать процедуру м оделирования последователь ности независим ых испытаний. Сущ ествую ти другие специаль ные алгоритм ы.
6
2.2. М о д ели ро вани еслуч айно й вели ч и ны с би но м и альны м распред елени ем
Бином иальное распределение определяется соотношением
n ( ) = |
m m |
(1 − p) |
n−m |
, p Cm=0,1,2,P m … n, |
(2.2.1) |
n |
|
где Pn (m)– вероятность того, ч то в n испытаниях случ айное событие появится
m раз, p - вероятность появления события в одном испытании.
В ведем случ айную велич ину ξ– ч исло появлений событий в i-том испытании. О ч евидно, ч то этавелич инам ож етприним ать толькодвазнач ения: 1 с вероятность ю p и 0 с вероятность ю (1− p). О пределение знач ения случ айной ве-
лич ины m - ч ислапоявлений события в n испытаниях, возм ож но последую щ ей процедуре.
1. |
Получ аю т последовательность знач ений 1 2 K,,rn ,случr rайной велич ины |
R ( 01,). |
|
2. |
Д ля каж догоч исла ri, i = 1, 2, K, n , проверяю твыполняется линеравенст- |
во ri |
< p. Е сли неравенство выполняется, то полагаю тξi = 1, в противном слу- |
чае сч итаю тξi = 0 ;
3.Н аходят сум м у знач ений n случ айных велич ин ξi (это и будет знач ение
случ айной велич ины m). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Повторяя |
эту |
процедуру, |
получ аю т |
|
последовательность |
знач ений |
|||||||||
m1, m2 , Kслуч айной велич ины сбином иаль ным |
законом распределения. |
||||||||||||||
При м ер. Н айдем |
последовательность знач ений случ айной велич ины m с би- |
||||||||||||||
ном иальным |
законом |
распределения, если n = 7, |
p = 3. |
|
|
|
|||||||||
И з таблицы |
случ айных |
ч исел |
R ( 01,) |
берутся |
7 |
знач ений, |
наприм ер |
||||||||
r1 = |
150, r2 |
= |
340,, |
r3 = |
|
710,, |
r4 = |
060,, r5 |
= |
280,, |
r6 |
= |
360,, r7 = |
780., Т ри |
|
ч ислане превосходят p = 0,3. Следователь но, |
m = 3. Потом |
берутся ещ ё 7 слу- |
|||||||||||||
ч айных ч исел R ( |
01,) и вновь |
определяется, |
сколько из |
них не |
превосхо- |
||||||||||
дитp = 0,3 ; этодаетследую щ ее знач ение m ит.д. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2.3. М о д ели ро вани еслуч айно й вели ч и ны , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
распред еленно й по зак о ну Пуассо на |
|
|
|||||||||
Распределение Пуассона |
λm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
P = |
e−λ , |
m=0,1,2,… n, |
|
|
|
(2.3.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m |
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
λ = np – среднее ч исло появления события в n испытаниях, использую т в |
||||||||||||||
том |
случ ае, когдач исло n независим ых испытаний велико, и вероятность p по- |
||||||||||||||
явления события в каж дом испытаниим ала.
7
О быч но распределение Пуассонавм есто бином иального прим еняю т, если n порядка нескольких десятков-сотен, а np < 10. Практич ески обыч но за-
даноλ, ане n иp. А лгоритм |
м оделирования следую щ ий: |
|
||||
1. В ыбираю тn такое, ч тобы вероятность p = |
λ |
былам ала(p < 010),. |
||||
2. Получ аю т последовательность знач ений |
n |
|
K,,rn случ, r |
rайной велич ины |
||
1 |
2 |
|||||
R ( 01,). |
|
|
|
|
|
|
3. Д ля каж дого ч исла i |
= |
K, ,n ,,проверяю2, 1r i |
т, выполняется ли неравен- |
|||
ство ri < p , еслиэтонеравенство выполняется, |
то полагаю тξi |
=1, в противном |
||||
случ ае сч итаю тξi = 0 . |
|
|
|
|
|
|
n
4. В ыч исляю т åξi – это и есть знач ение случ айной велич ины, распределен-
i=1
ной позаконуПуассона.
2.4. М о д ели ро вани еслуч айно й вели ч и ны , распред еленно й по гео м етри ч еск о м у зак о ну [2]
Рассм отрим алгоритм м оделирования дискретной |
случ айной |
велич ины ξ , |
||||||
распределенной погеом етрич еском узакону: |
|
|
|
|
|
|||
ì |
- p) |
x |
есл и xÎ{ |
....} |
|
, 2,1, 0 |
1 |
, |
ïp( |
|
, |
||||||
P{ξ = x}= í |
|
|
|
|
|
|
(2.4.1) |
|
ï |
|
|
сл уча е. |
|
|
впрот0ивном, |
||
î |
|
|
|
|
||||
где p ( 01,) - заданный парам етрраспределения. |
|
Распределение (2.4.1) ч асто встреч ается в прилож ениях: ξ |
описываетч исло |
безуспешных попыток, предшествую щ их первой успешной |
попытке в схем е |
независим ых испытаний, при условии, ч то вероятность успехав отдельном ис- |
|
пытанииравна p . |
|
Рассм отрим дваосновныхм етодам оделирования случ айной велич ины ξ. Первый м етодзаклю ч ается в м оделировании полной сч етной систем ы слу-
ч айныхсобытий: {ξ = 0} {ξ =1} K {ξ = |
} K. , x , , |
, |
|
В торой м етодоснованнаследую щ ем утверж дении. |
|
||
Е слиα |
( ,1),0т~.еR. α – БСВ , тослуч айная велич ина |
|
|
|
ξ = [ α ( − p)], 1 ln |
ln |
(2.4.2) |
где [z]– целая ч асть z им еетраспределение (2.4.1). |
|
||
Ф орм ула(2.4.2) определяетм оделирую щ ий алгоритм |
второгом етода. |
||
8
3.М о д ели ро вани енепреры вны х случ айны х вели ч и н [2]
3.1.М о д ели ро вани енепреры вно й случ айно й вели ч и ны
мето д о м о братно й ф унк ци и
Для м оделирования непрерывной случ айной велич ины ξ с ф иксированной
плотность ю |
распределения f0 (x) м етодом обратной ф ункции определим |
ф унк- |
||||||
цию распределения непрерывной случ айной велич ины ξ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 ( |
) |
= ò 0 ( )dy , y f |
F |
x |
(3.1.1) |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
F −1(y) |
которую будем |
предполагать |
|
строго м онотонно возрастаю щ ей. Ч ерез |
|||||
обознач им |
обратную |
ф ункцию ; онанаходится прирешенииуравнения |
0 |
|||||
|
||||||||
|
|
|
0 ( |
) = yF x |
|
|
(3.1.2) |
|
относительноx: |
= |
0−1 (yx). F |
|
|
|
|
|
|
Е слиα - БСВ , тослуч айная велич ина |
|
|
|
|||||
|
|
|
ξ = F |
−1(α ) |
|
|
(3.1.3) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
им еетф ункцию |
распределения |
ξ ( ) ≡ 0 ( ). x |
FF |
x |
|
|||
Ф орм ула (3.1.3) |
определяетм оделирую щ ий алгоритм . Н едостатком описан- |
|||||||
ного м етода являю тся аналитич еские трудности при выч ислениях |
(3.1.1), |
(3.1.2). О тм етим , ч то в «ч истом виде» м етодобратной ф ункции редко |
исполь - |
зуется напрактике, так как для м ногихраспределений (наприм ер, норм ального) даж е F0 (x) (не говоря уж е о F0−1(y)) не выраж ается ч ерез элем ентарные ф унк-
ции, а табулирование F0−1(y) сущ ественно услож няетм оделирование. Н апрактике м етодобратной ф ункции дополняю таппроксим ацией F0 (y) илисоч етаю т
сдругим им етодам и.
При м ер. Рассм отрим прим енение м етода обратной ф ункции для м оделиро-
вания случ айной велич ины сравном ерным |
распределением наотрезке [ |
ab,]. |
||||
Д ля такой случ айной велич ины ф ункция распределения: |
|
|||||
|
ì |
|
< |
, a |
x0 , |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
F (x)= |
ï x - a |
|
Î[ |
b,],a, x |
(3.1.4) |
|
í |
|
|
||||
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
ïb - a |
> |
. b |
x1 , |
|
|
|
ï |
|
|
|||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − a |
|
9 |
|
|
Полагая |
ξ ( |
) = rF, |
имx еем |
|
= r . О тсю да |
= + ( |
− a). b xr a |
|||||
|
b - a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 r2 ,K случ айной |
велич ины R ( 01,) |
||
Последовательности |
знач ений |
|
||||||||||
соответствует |
|
|
|
|
|
последовательность |
знач ений |
|||||
= + |
( − |
), |
= |
+ |
2 |
( |
− a),Kb |
rвеличa инxы ξa, |
равнbxr ом aерно распределенной |
|||
наотрезке [a,b]. |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.2. М |
о д ели ро вани еслуч айно й вели ч и ны с зад анно й ги сто грам м о й |
|||||||||||
В прилож ениях ч асто возникаетзадач ам оделирования непрерывной случ айной велич ины ξ в условиях априорной неопределенности: плотность распределения неизвестна. В такой ситуации проводится серия наблю дений (экспери- м ентов) надξ, по результатам которых выч исляется гистограм м а – оценканеизвестной плотности.
О бщ ий видгистограм м ы сК яч ейкам и
|
K |
|
) (z,x),z [ i I c f x |
|
|
( ) = å |
0 |
(3.2.1) |
|
|
i=1 |
− |
i i 1 |
|
где |
− i )i -1z,i-я[ячz ейка, ci - знач ение гистограм м ы в i-й яч ейке. |
|
||
Д ля м оделирования случ айной велич ины ξ, плотность распределения которой полагается совпадаю щ ей с гистограм м ой f0 (x), прим еним м етод обратной
ф ункции. О бознач им
{ξ |
|
} |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
å i |
= |
|
. |
K, 1= j , |
p= |
|
b,(3=0.2.2)b, ) z, z [ p |
|||
j |
1 i |
||||||||||
|
|
|
|
i 0 |
i |
|
i=1
Из (3.2.1) иусловия норм ировкиследует, ч то
|
|
|
( |
|
−1) |
|
|
|
|
|
|
b,K K,=1. i, |
z=i=piz i ci− |
(3.2.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
Согласно(3.1.1), (3.2.1) – (3.2.3) выч ислим ф ункцию |
распределения |
||||||||||||||||||
|
ì0, |
есл и |
|
£ x , |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ï |
|
|
( |
|
0 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еслzbи x−− c |
|
j |
−= |
1,j <K, 1£ jz, z1 j x + j j -1 |
||||||||
F0 (x) = í |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||
|
ï |
|
есл и |
|
³ |
Kx, |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
прич ем [ − |
) |
|
( ) [ |
1−1 b,j ). bj |
0 x |
F |
j |
z,xj |
z |
|
|
|
|
||||||
Т огдаполуч аем |
м оделирую щ ий алгоритм : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ξ = |
− |
+ (α − z |
− |
) c |
j |
, еслbи |
j−1 |
≤α < |
1≤ |
≤ Kb |
j , b (3.2.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 j |
j 1 |
j |
|
|
|
|
|
||||||
И ногда гистограм м а строится так, ч то i = i −
выч исления по (3.2.4) упрощ аю тся, так как для j j = [Kα ]+1.
i−1 |
= |
=1 K . При этоconstм |
pb |
им |
еется явное выраж ение |
|
|
10
3.3. М о д ели ро вани енепреры вно й случ айно й вели ч и ны станд артны м м ето д о м и ск люч ени я
Рассм отрим алгоритм м оделирования непрерывной случ айной велич ины ξ с ф иксированной плотностью распределения f0 (x).
М етодисклю ч ения (м етодреж екции, м етодД ж . Н ейм ана) основан на трех следую щ ихтеорем ах.
1. Е сли (ξ,η)- двум ерный случ айный вектор, равном ерно распределенный в
области |
0 = {( |
|
,) |
0:£ |
|
|
£ |
0 (x)}f |
y |
F |
|
|
y |
x |
|
|
|||
2. |
|
|
ξ ,η ( |
|
) = |
|
F0 ( y,)x, |
I |
p y, x |
|
|
(3.3.1), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
током понентаξ этоговектораим еетплотность распределения f0 (x). |
|||||||||||||||||||
О пределим теперь м аж орирую щ ую ф ункцию |
|
= |
y(x):g |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
( ) ³ |
0 (x)³f 0g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3.2) |
||||||
иобласть = {( |
|
) |
0 £ |
|
£ |
( |
)}É F0 . |
x |
g |
y |
|
G: y, x |
|
|
|||||
2. Е сли ( ′ |
′ )( |
′ η |
′ )ξ,Kξ |
–,η, независим, |
ые |
случ айные |
векторы, равном ерно |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределенные в G, тослуч айный вектор (ξ ,η): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ξ = ξ |
′ , η =η |
′ , где |
|
= |
{ |
(ξ |
′ |
η |
N |
′ ) F , |
, |
: Nk min(3.3.3) |
|||||||
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
0 |
|
|
||
распределенравном ернов F0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В екторы ( ′ |
|
′ ) |
( |
− |
′ ,η |
|
,′ )ξ, |
не,...ξ ,попавшиеη |
в |
F , называю тся исклю ч енны- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
k |
1 k |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||
м и, а процедуранахож дения (ξk′ ,ηk′ ) - исклю ч ением . О тсю даи название м етода.
3. |
Пусть |
случ айная велич ина ξ ′ им еет плотность ( ) |
(G), аmesслуч айная/g x |
||||||
велич |
ина |
η′ при |
условии ξ ′ = x |
им еет плотность |
распределения |
||||
η′ |
|
ξ ′ ( |
|
|
)= |
[ (x)0]g,( ) |
(x).g/Т огдаy случIp айныйx y вектор (ξ ¢,η¢) распределен равно- |
||
|
|
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м ернов G.
М |
оделирую щ ий алгоритм заклю ч ается в последовательностишагов. |
|
1. Подбирается м аж орирую щ ая ф ункция g(x) (3.3.2). |
||
2. |
При пом ощ и п.3 каким -либо м етодом |
м оделируется случ айный вектор |
(ξ′,η′) G ; реализация (ξ′,η′)обознач ается ( |
xy,). |
|
3. |
Е сли > 0y(x),fто ( xy,) исклю ч ается и вновь повторяется шаг 2; если ж е |
|
≤0y(x),fтознач ение x приним ается в кач естве реализацииξ.
Повторяя алгоритм |
n-кратно, м ож но получ ить n реализаций ξ, м оделирую - |
щ ихрезультаты наблю |
дений надξ в n эксперим ентах. |