jan04075

21

При м ер

М

о д ели ро вани еслуч айно й вы бо рк и ,

распред еленно й по эк спо ненци ально м у зак о ну

Плотность распределения вероятностей

f (x)

иф ункция распределения F (x)

непрерывной случ айной велич ины, распределенной поэкспоненциальном уза-

кону, определяю тся как

= λ −λ

x ³ , 0e f x,

( )

−λ

x ³ , 0e = F-, x

1( )

где λ>0 - парам етрраспределения.

Граф ики ф ункций

f (x)

и F (x) , построенные при различ ных знач ениях пара-

м етраλ , приведены нарис.1 ирис.2 соответственно.

f1 z( :=)

(

- l1×z

)

f2 z( :=)

(

- l 2×z

,

)

f3 z( :=)

(

- l3×z

)

if z³ 0 , l1×e

, 0

if z³ 0 , l2

×e

0

if z³ 0, l3×e

, 0

F1 z( :=)

(

- l1×z

,

)

F2 z( :=)

(

- e

- l2×z

)

F3 z(

:=)

(

1 - e

- l3×z

)

if z³ 0, 1 - e

0

if z³ 0, 1

, 0

if z³ 0,

, 0

4

1

f1 z(

)

F1 z(

)

f2 z(

) 2

F2 z(

) 0.5

f3 z(

)

F3 z(

)

0 0

2

4

0 0

2

4

z, z, z

z, z, z

Рис.1

Рис.2

пл отн ость ве роятн ости

Э кспон е н ци а л ьн а я ф ун кци я ра спре де л е н и я

l1 = 1

l2 = 0.5

l3 = 4

l1 = 1

l2 = 0.5

l3 = 4

случ айную велич ину y, им ею щ ую экспоненциальное распределение

с парам ет-

ром λ, м ож но м оделировать , используя м етодобратных ф ункций,

следую щ им

образом .

Задается объем выборки, N:=100 и задается знач ение парам етрараспределе-

ния, наприм ер, λ:=1

И з соотношения для ф ункциираспределения

( )

−λx x ³ 1,e0= -,yx=F

22

−ln(xi)

i 0 N − 1 .. := xi := rnd(1)

yi :=

λ

k

0 .. 9

:=

j

0 .. 9

:=

Ak , j := yk×10+j

0

1

2

3

4

5

6

0

1.269·10 -3

0.215

0.879

0.431

1.731

0.191

1.24

1

4.466

0.127

8.963·10 -3

0.759

0.921

0.182

0.599

2

2.087

3.121

0.775

0.62

1.982

1.513

5.743

A =

3

0.471

1.131

8.856·10 -3

0.323

0.887

1.818

0.663

4

0.914

1.328

0.85

0.164

0.554

0.728

1.392

5

0.16

0.153

1.181

0.556

3.399

0.166

1.724

6

1.317

0.328

1.146

1.28

0.131

1.8

0.728

7

0.638

1.877

0.609

4.072

1.344

0.218

1.829

8

0.758

1.852

1.072

1.846

0.116

0.377

0.337

9

0.291

1.621·10 -3

1.641

0.236

0.806

0.121

1.395

5.743

6

4

yi

2

1.269×10− 3

0 0

20

40

60

80

100

0

i

99

Рис. 3. Граф ич еское изображ ение знач ений см оделированной выборки.

Осно вны еч и сло вы ехарак тери сти к и вы бо рк и

max(y)=5.743

м аксим альное знач ение;

min(y)=1.269x10 −3

м иним аль ное знач ение;

mean(y)=0.992

выбороч ное среднее;

var(y)=0.947

выбороч ная дисперсия;

stdev(y)=0.973

выбороч ное среднеквадратич еское отклонение.

Знач ения выборки м ож но располож ить

в

порядке

возрастания, используя

ф ункцию sort(y) пакетаMathcad.

23

По стро ени еги сто грам м ы , по ли го на ч асто т,

тео рети ч еск о й пло тно сти

распред елени я

Задается ч исло интервалов разбиения для построения гистограм м ы, напри-

м ер, r:=10 иопределяется длинаинтервала:

h := (max y( -)

min y() )

r

О сущ ествляется разбиение наинтервалы:

q

0

r - 1..

:=v0 := min(y)

vq+1

vq + h

:=

Сиспользованием

стандартной ф ункциипакетаMathcad определяется ч исло

выбороч ныхзнач ений, попавшихв каж дый из интервалов v:

Hist := hist(v,y).

Гистограм м аотноситель ныхч астотнаходится как

H := Hist

N×h

Знач ения Hist исполь зую тся идля построения полигонач астот P:=H.

Граф ик теоретич еской плотности распределения

случ айной велич ины,

рас-

пределенной по экспоненциальном у закону с парам етром

λ , м ож ет быть

по-

строен

так,

как

это

показано

выше,

с

исполь зованием

ф орм улы

f z( :=)

(

,0l×e

- l×z

)

if ³z

,0

Граф ич еское изображ ение гистограм м ы H полигонач астотP и кривой рас-

пределения f(z) приведенона рис. 4.

1

1

Hist

Pol

0.5

f z(

)

0

0 0

2

4

6

0

v,v,z

5.169

Рис. 4. Гистограм м аHist, полигонч астотPol икривая распределения f(z).

h:=0.01 ипределы изм енения перем енной: z min y( −)

,hmin y( ) max y( +) h . ..

:

Т еоретич еская ф ункция распределения случ айной

велич ины, распределен-

ной по экспоненциальном у закону с парам етром λ , м ож етбыть построенатак,

как этопоказановыше, сиспользованием ф орм улы FT t ( :=) if (t > 0 , 1 − e- l×t , 0)

Э м пирич еская ф ункция распределения случ айной

велич ины, распределен-

h :=

(max y( -) min y() )

r

q 0 r − 1..

:=

v0 := min(y)

vq+1 vq + h . :=

H :=

Hist

F0 := 0

k 1 last H( +) 1

.. :=

N×h

Fk

Fk−1 +

Hk−1

,:= - эм пирич еская ф ункция распределения.

r

1.01

1

F

FT t ( ) 0.5

0

0 0

2

4

0

v , t

5