Probability2
.pdf
Числовые характеристики случайных величин
Свойства математического ожидания
1 Если C постоянная, то M(C ) = C .
2 Если C постоянная, то M(CX ) = CM(X ).
3 Для любых величин X
|M(X )| 6 M(|X |).
4 Для любых случайных величин X1 и X2
M(X1 + X2) = M(X1) + M(X2).
Если существуют какие-нибудь два из участвующих в равенстве математических ожиданий, то существует и третье.
5 Если случайные величины X1 и X2 независимы, то
M(X1X2) = M(X1)M(X2).
Из существования любых двух математических ожиданий следует существование третьего.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
61 / 67 |
Числовые характеристики случайных величин
Дисперсия
Дисперсией D(X ) случайной величины X называется число |
|
D(X ) = M[(X − M(X ))2], |
|
если математическое ожидание в правой части равенства существует. |
|
Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около |
|
ее математического ожидания. Величину |
D(X ) называют средним |
квадратическим отклонением. |
p |
M[(X −M(X ))2] = M[X 2−2XM(X )+(M(X ))2] = M(X 2)−2M(X )M(X )+[M(X )]2 |
|
D(X ) = M(X 2) − [M(X )]2 |
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
62 / 67 |
Числовые характеристики случайных величин
Дисперсия
Для абсолютно непрерывной случайной величины
Z ∞
D(X ) = (x − M(X ))2f (x)dx.
−∞
Для дискретной случайной величины
∞
X
D(X ) = (xk − M(X ))2P(X = xk ),
k=1
∞
X
где P(X = xk ) = 1.
k=1
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
63 / 67 |
Числовые характеристики случайных величин
Свойства дисперсии
1 |
Для любой случайной величины X имеем D(X ) > 0. |
2 |
Если C постоянная, то D(C ) = 0. |
3 |
Если C постоянная, то D(CX ) = C 2D(X ). |
4 |
Если случайные величины X1 и X2 независимы, то |
D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2).
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
64 / 67 |
Числовые характеристики случайных величин
Ковариация. Коэффициент корреляции
Рассмотрим две произвольные случайные величины.
Число
COV(X1, X2) = M[(X1 − M(X1))(X2 − M(X2))]
называется ковариацией случайных величин X1, X2.
COV(X1, X2) = M(X1X2) − M(X1)M(X2)
COV(X , X ) = D(X )
COV(X1, X2) = COV(X2, X1)
D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2) + 2COV(X1, X2)
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
65 / 67 |
Числовые характеристики случайных величин
Ковариация. Коэффициент корреляции
Теорема:
Если для случайных величин X1, X2, . . . , Xn существуют COV(Xi , Xj ) = σij , i, j = 1, . . . , n, то при любых постоянных c1, c2, . . . , cn имеем
|
n |
X, |
|
D(c1X1 + c2X2 + · · · + cnXn) = |
σij ci cj . |
i |
j=1 |
|
|
Так как при любых c1, . . . , cn дисперсия неотрицательна, то квадратичная форма неотрицательно определена.
|
COV(X2 |
, X1) |
COV(X2 |
, X2) . . . COV(X2 |
, Xm) |
||
|
COV(X1 |
, X1) |
COV(X1 |
, X2) . . . |
COV(X1 |
, Xm) |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COV(Xm, X ) |
COV(Xm |
, X ) . . . COV(Xm, Xm) |
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
> 0, m = 1, 2, . . .
Для m = 2: det(X1, X2) = D(X1)D(X2) − COV2(X1, X2) 6 0.
|
|COV(X1, X2)| 6 |
D(X1)D(X2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
мат. стат. |
66 / 67 |
|||||||||
Теор. вер. иp |
|
||||||||||
Числовые характеристики случайных величин
Ковариация. Коэффициент корреляции
Для независимых случайных величин
COV(X1, X2) = 0.
Если COV(X1, X2) 6= 0, то величины X1 и X2 зависимы.
Для количественной характеристики степени зависимости используется коэффициент корреляции ρ(X1, X2), определяемый следующим равенством:
COV(X1, X2)
ρ(X1, X2) = p .
D(X1)D(X2)
Свойства коэффициента корреляции |
|
|||
1 |
|ρ(X1, X2)| 6 1 |
|
|
|
2 |
Если X1 |
и X2 независимы, то ρ(X1, X2) = 0 |
|
|
3 |
Если X2 |
= AX1 + B, где A и B постоянные, то |ρ(X1, X2)| = 1 |
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
67 / 67 |
|