Probability2
.pdf
Случайные величины
Плотность распределения вероятностей. Свойства
1 f (x) > 0, −∞ < x < ∞;
Z ∞
2f (x)dx = 1;
−∞
3 F ′(x) = f (x) в точках непрерывности f (x).
Плотность распределения полностью определяет распределение случайной величины.
Плотность распределения абсолютно непрерывной величины непрерывна.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
41 / 67 |
Случайные величины
Плотность распределения вероятностей. Примеры
Нормальное распределение |
|
|
1 |
−(x − a)2/(2σ2) , |
|
f (x) = √2πσ exp |
−∞ < a < ∞; σ > 0. |
|
Случайная величина называется нормально распределенной с параметрами
(a, σ).
Показательное распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
αe−αx |
, |
x > 0, |
|
|
||||
|
0, |
|
x 6 0. |
|
|
||||
Равномерное распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ( |
1 |
, |
x |
[a, b], |
a b |
|
|||
b − a |
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
a b |
|
|
|
|
0, |
|
|
/ [ |
, ], |
|
< . |
||
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
|
|
42 / 67 |
|||||
Случайные величины
Примеры дискретных распределений
Биномиальное распределение |
|
P(X = m) = Cnmpm(1 − p)n−m, |
0 < p < 1; m = 0, 1, . . . , n. |
Пуассоновское распределение |
|
P(X = m) = λm e−λ, |
m = 0, 1, . . . ; λ > 0. |
m! |
|
Геометрическое распределение |
|
P(X = m) = (1 − p)m−1p, |
m = 0, 1, . . . ; 0 < p < 1. |
Гипергеометрическое распределение
C mC n−m
P(X = m) = M N−M , m = 0, 1, . . . , min(M, n).
CNn
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
43 / 67 |
Случайные величины
Совместные распределения нескольких случайных величин
Пусть на вероятностном пространстве (Ω, F, P) заданы случайные величины
X1 = X1(ω), X2 = X2(ω), . . . , Xn = Xn(ω), ω Ω.
Каждому ω = n-мерный вектор.
Определение
Функцию от переменных x1, . . . , xn :
FX1 ...Xn (x1, . . . , xn) = P(X1 < x1, . . . , Xn < xn),
назовем многомерной функцией распределения случайного вектора
(X1, . . . , Xn).
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
44 / 67 |
Случайные величины
Совместные распределения нескольких случайных величин
Свойства многомерной функции распределения
FX1...Xn (x1, . . . , xn) монотонна по каждому аргументу,
lim FX1...Xn (x1, . . . , xn) = 1,
x1→+∞,...,xn→+∞
lim FX1 ...Xn (x1, . . . , xn) = 0,
xk →−∞
lim FX1 ...Xn (x1, . . . , xn) = FX1 ...Xn−1 (x1, . . . , xn−1). |
|
|
|
|
||
xn →+∞ |
|
|
|
|
|
|
Аналогичное свойство выполняется при переходе к пределу по любому |
||||||
аргументу. |
|
|
|
|
|
|
Случайный вектор дискретного типа |
|
|
|
|
|
|
|
~xk = (xk1, xk2, . . . , xkn), k = 1, 2, . . . : |
|
|
|||
|
( |
k1X, |
kn |
|
|
= 1. |
P(X1 = xk1, . . . , Xn = xkn) = pxk1xk2 ···xkn , |
|
|
pxk1 |
···xkn |
||
|
x |
...,x |
|
) |
|
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
|
|
|
|
45 / 67 |
Случайные величины
Совместные распределения нескольких случайных величин
Случайный вектор абсолютно непрерывного типа
fX1X2 ...Xn (x1, x2, . . . , xn) : x1, . . . , xn
x1 |
x2 |
xn |
FX1 ...Xn (x1, . . . , xn) = Z−∞ dx1′ |
Z−∞ dx2′ · · · |
Z−∞ dxn′ fX1 X2...Xn (x1′ , x2′ , . . . , xn′ ). |
|
|
|
Функция fX1 ...Xn (x1, . . . , xn) называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора (X1, . . . , Xn).
Для любого квадрируемого множества B в n-мерном пространстве
ZZ Z
P((X1, . . . , Xn) B) = . . . fX1 ...Xn (x1, . . . , xn)dx1 · · · dxn.
B
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
46 / 67 |
Случайные величины
N = 2
A= (a1 6 X < a2, b1 6 Y < b2)
B= (X < a1, Y < b2)
C = (X < a2, Y < b1)
Пусть F (x, y) = FXY (x, y) = P(X < x, Y < y).
Тогда (X < a2, Y < b2) = A + B + C . Так как BC = (X < a1, Y < b1), то
P(B + C ) = P(B) + P(C ) − P(BC ) = F (a1, b2) + F (a2, b1) − F (a1, b1).
P(A) = F (a2, b2) + F (a1, b1) − F (a1, b2) − F (a2, b1).
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
(X , Y ) − абс. непр. вектор = P(A) = Za1 |
2 |
dx Zb1 |
2 |
dy f (x, y). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
|
|
|
|
|
|
47 / 67 |
||||||
Случайные величины
N = 2
По двумерной функции распределения можно найти одномерные функции распределения.
(X < x) = (X < x, Y < +∞) FX (x) = FXY (x, +∞).
Таким образом,
F |
x |
lim |
F |
x |
y |
) = |
F |
x |
|||||||||
|
X ( ) = y→∞ |
XY |
( , |
|
XY |
( , ∞), |
|||||||||||
F |
y |
lim |
F |
(x, y) = F |
( , y), |
||||||||||||
Y ( ) = x→∞ |
XY |
|
|
|
XY |
∞ |
|||||||||||
Если (X , Y ) абс. непр. вектор, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
∞ |
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
FX (x) = Z−∞ Z−∞ fXY (x′, y′)dy′ dx′ = Z−∞ fX (x′)dx′, |
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где fX (x) = Z−∞ fXY (x′, y′)dy′ плотность распределения X . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
|
Теор. вер. и мат. стат. |
48 / 67 |
||||||||||||||
Случайные величины
N = 2
Пусть (X , Y ) вектор дискретного типа:
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
X |
P(X = xi , Y = yj ) = pij , |
i, j = 1, 2, . . . , |
pij = 1. |
||
|
|
|
|
i,j=1 |
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
X |
|
X |
|
P(X = xi ) = |
P(X = xi , Y = yj ) = |
pij . |
|
|
|
j=1 |
|
j=1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
X |
X |
|
|
|
Пусть pi = |
pij , pj = |
pij . |
|
|
j=1 |
i=1 |
|
|
|
|
P(X = xi ) = pi , |
P(Y = yj ) = pj . |
||
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
49 / 67 |
Случайные величины
Независимость случайных величин
Определение:
Случайные величины X1, . . . , Xn называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если при любых действительных x1, . . . , xn
FX1 X2···Xn (x1, x2, . . . , xn) = FX1 (x1)FX2 (x2) · · · FXn (xn).
Альтернативное определение:
Случайные величины X1, . . . , Xn независимы, если при любых множествах B1, . . . , Bn (на которых определены вероятности событий Xk Bk ) имеет место равенство
P(X1 B1, . . . , Xn Bn) = P(X1 B1)P(X2 B2) · · · P(Xn Bn).
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
50 / 67 |