Probability2
.pdf
Случайные величины
Случайные величины
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
31 / 67 |
Случайные величины
Определения и примеры
Пусть (Ω, F, P) произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной X назовем действительную функцию X = X (ω), ω Ω, такую, что при любом действительном x
{ω : X (ω) < x} F.
Так как F σ-алгебра, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X > x) |
= |
(X < x) F, |
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
||||
(x1 6 X < x2) |
= |
(X < x2) \ (X < x1) F, |
(2) |
|||||
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
||
(X = x) |
= |
|
|
|
|
F. |
(3) |
|
n=1 x 6 X < x + n |
||||||||
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
Для вычисления вероятностей событий вида (1)-(3) достаточно при любом x знать вероятность
FX (x) = P(X < x).
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
32 / 67 |
Случайные величины
Функция распределения
Функция FX (x) ≡ F (x),
F (x) = P(X < x),
действительной переменной x, −∞ < x < ∞, называется функцией распределения случайной величины X .
Так как (X < x2) = (x1 6 X < x2) + (X < x1), то
P(X < x2) = P(x1 6 X < x2) + P(X < x1).
P(x1 6 X < x2) = F (x2) − F (x1)
P(X > x) = 1 − F (x).
( = |
|
) = n→∞ h |
+ n |
− |
( )i |
= |
( + 0) − |
( ) |
|
P X |
x |
lim F x |
1 |
|
|
F x |
|
F x |
F x |
|
|
|
|
||||||
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
33 / 67 |
Случайные величины
Функция распределения. Примеры
Пример 1.
Два игрока по одному разу подбрасывают симметричную монету. Если выпал “орел”, то первый игрок получает 1 рубль, а если выпала “решка”, то отдает 1 рубль. Для описания данной игры естественно положить Ω = {Орел,Решка} и P({Орел}) = P({Решка}) = 1/2. Случайная величина X , равная выигрышу первого игрока, определяется следующим образом:
|
X = X (Орел) = 1, |
X = X (Решка) = −1. |
|
|
Функция распределения: |
|
|
||
F (x) = |
1/2, |
1 < x 6 1, |
|
|
|
0, |
x 6 −1, |
|
|
|
1, |
− x > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
34 / 67 |
||
Случайные величины
Функция распределения. Примеры
Пример 2.
Пусть в единичный квадрат Ω = {(u, v) : 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 1} наудачу брошена точка. Элементарными событиями ω являются точки квадрата Ω; σ-алгебра F порождается квадрируемыми подмножествами квадрата. Вероятность площадь. Случайное событие, например первая координата брошенной точки,
X = X (u, v) = u. Найдем функцию распределения величины X .
F (x) = |
x, 0 < x 6 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0, |
x 6 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1, |
x > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
35 / 67 |
Случайные величины
Функция распределения. Примеры
Пример 3.
Пусть один раз подбрасывается монета. Если выпал “орел”, то на этом опыт заканчивается. Если выпала “решка”, то на отрезок [0, 1] наудачу бросается точка. Пространство элементарных событий:
|
Ω = {орел; (решка, u)}, 0 6 u 6 1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
σ-алгебра F порождается событиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
{орел}; |
{(решка, u) : a 6 u < b}, |
0 6 a 6 b 6 1. |
|||||||||||||
Пусть вероятности равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P( орел ) = |
1 |
, |
P( (решка, u) : a 6 u < b ) = |
b − a |
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
{ |
} |
2 |
|
{ |
} |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Рассмотрим случайную величину X : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
X (орел) = −1, X (решка, u) = u. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
|
|
|
|
Теор. вер. и мат. стат. |
|
|
|
|
36 / 67 |
|||||
Случайные величины
Функция распределения. Примеры
Пример 3 (продолжение). Так как
|
(X < x) = |
|
|
|
{орел}, |
−1 < x 6 0, |
|
|
|
|
|
|
, |
x 6 |
−1, |
|
орел |
|
+ |
(решка, u) : 0 6 u < x , 0 < x 6 1, |
|||
то |
{ |
|
} |
|
{ |
} |
|
|
F (x) = |
1/2, |
−1 < x 6 0, |
|
|||
|
|
|
|
|
0, |
x 6 −1, |
|
|
|
|
|
(x + 1)/2, 0 < x 6 1. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
37 / 67 |
Случайные величины
Функция распределения. Свойства
|
|
|
|
F (−∞) = 0, |
F (+∞) = 1. |
||
Теорема: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Если x1 < x2, то F (x1) 6 F (x2). |
( ) = |
|
(+∞) = 1. |
|||
|
x→−∞ |
( ) = |
|
(−∞) = 0; x→+∞ |
|
||
2 |
lim |
F x |
F |
lim |
F x |
F |
|
3 |
lim |
F (x) = F (x0) (непрерывность слева). |
|||||
|
x→x0−0 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство на лекции. См. также, например, Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.
Любая функция G (x), обладающая тремя свойствами, указанными в теореме, является функцией распределения некоторой случайной величины.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
38 / 67 |
Случайные величины
Случайная величина X называется величиной дискретного типа, если существует конечное или счетное множество чисел x1, x2, . . . , xn, . . . (без предельных точек) таких, что
|
∞ |
|
X |
P(X = xn) = pn > 0, n = 1, 2, . . . ; |
pn = 1. |
|
n=1 |
Для дискретной случайной величины закон распределения полностью определяется указанием значений xn, n = 1, 2, . . ., и вероятностей pn, с которыми эти значения принимает X .
F (x) ступенчатая; скачок в точке xn равен pn.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
39 / 67 |
Случайные величины
Случайная величина X называется величиной абсолютно непрерывного типа, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что x
Z x
F (x) = P(X < x) = f (x′)dx′.
−∞
Функция f (x) называется плотностью распределения вероятностей.
Z b
P(a 6 X < b) = f (x)dx
a
n→∞ |
|
|
n |
a+1/n |
( ) = 0 |
|
|
||||||||||
|
= n→∞ Za |
|
|
||||||||||||||
P(X = a) = lim P |
|
a 6 X < a + |
1 |
|
lim |
f x dx |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
P(a 6 X 6 b) = P(a < X 6 b) = P(a 6 X < b) = P(a < X < b) |
|||||||||||||||||
Если x точка непрерывности f (x), то при |
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P(x < X < x + x) = f (x)Δx + o(Δx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(ФКН ВГУ) |
|
Теор. вер. и мат. стат. |
40 / 67 |
||||||||||||||