Probability2

Случайные величины

Теорема 1:

Если x, y

FXY (x, y) = FX (x)FY (y),

то при любых ak < bk , k = 1, 2,

P(a1 6 X < b1, a2 6 Y < b2) = P(a1 6 X < b1)P(a2 6 Y < b2).

Случайные величины

Теорема 2:

Пусть распределение величин X , Y задается формулой

Случайные величины X , Y независимы тогда и только тогда, когда при любых i, j

pij = pi · pj ,

где

Случайные величины

Теорема 3:

Пусть fXY (x, y) плотность распределения случайных величин X , Y . Случайные величины X , Y независимы тогда и только тогда, когда во всех точках непрерывности функций fXY (x, y), fX (x), fY (y) имеем

fXY (x, y) = fX (x)fY (y).

Случайные величины

Функции от случайных величин

Пусть (Ω, F, P) произвольное вероятностное пространство и X = X (ω), ω Ω, некоторая случайная величина.

Суперпозиция X , заданной на Ω, и функция ϕ(x) : x 7→ϕ, заданной на действительной прямой, является функцией

Y = ϕ[X (ω)] = Y (ω),

заданной на Ω.

Для дискретных вероятностных пространств функция Y случайная величина.

Для произвольных вероятностных пространств требуется, чтобы y

(Y < y) F

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Математическим ожиданием M(X ) случайной величины X = X (ωk ), заданной на дискретном вероятностном пространстве (Ω, F, P), называется

число

∞

X

M(X ) = X (ωk )pk ,

k=1

если ряд абсолютно сходится.

Математическим ожиданием M(X ) случайной величины

X = X (x1, x2, . . . , xn), заданной на абсолютно непрерывном вероятностном пространстве (Ω, F, P), называется число

ZZ

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Пусть Ω = {ω1, ω2, . . . , ωN } и событиям ωk приписаны вероятности pk > 0, k = 1, 2, . . . , N, p1 + p2 + · · · + pN = 1.

Положим X = X (ωk ) = xk .

Среднее значение случайной величины X :

p1x1 + p2x2 + · · · + pN xN .

Пусть проводится n независимых испытаний, каждое из которых состоит в том, что X принимает определенное значение.

Пусть получены следующие значения:

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Математическим ожиданием случайной величины X , заданной на вероятностном пространстве (Ω, F, P), называется число

Z

M(X ) = X (ω)P(dω),

Ω

если интеграл Лебега, стоящий в правой части равентсва, существует.

Z ∞

M(X ) = xdFX (x).

−∞

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Теорема 1:

Пусть (X , Y ) дискретный случайный вектор, для которого

Если ряд

X

|g (xi , yj )|pij

ij

сходится, то случайная величина ξ = g (X , Y ) имеет математическое ожидание

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Теорема 2:

Пусть (X , Y ) абсолютно непрерывный случайный вектор с плотностью распределения f (x, y). Если интеграл

Z ∞ Z ∞

· · · |g (x, y)|f (x, y)dxdy

−∞ −∞

сходится, то математическое ожидание случайной величины ξ = g (X , Y ) существует и