Probability2
.pdf
Последовательности испытаний
Конечные последовательности испытаний
Определение:
Последовательность испытаний, в которой условные вероятности p(lt |l1 . . . lt−1) не зависят от l1, . . . , lt−2,
(t)
p(lt |l1 . . . lt−1) = plt−1lt
называются цепью Маркова.
В случае, когда p(lt |l1 . . . lt−1) не зависят от l1, . . . , lt−1, последовательность испытаний называется последовательностью независимых испытаний.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
21 / 67 |
Последовательности испытаний
Последовательность независимых испытаний
Определение:
Под последовательностью n независимых испытаний, в каждом из которых может осуществиться один из N исходов (обозначим исходы
1, 2, . . . , N), мы будем понимать вероятностное пространство (Ω, U, P), в котором
Ω = {(l1l2 . . . ln)}, lk = 1, 2, . . . , N; k = 1, . . . , n,
и вероятности p(l1l2 . . . ln), приписываемые цепочкам из результатов отдельных испытаний, задаются формулой
p(l1l2 . . . ln) = pl1 pl2 · · · pln ,
PN
где pk > 0, k = 1, . . . , N, k=1 pk = 1.
Число pk является вероятностью появления исхода k в фиксированном испытании.
N
X
p(l1, l2, . . . , ln) = 1
l1,l2,...,ln=1
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
22 / 67 |
Последовательности испытаний
Последовательность независимых испытаний
Если событие A1(k) заключается в том, что в первом испытании наступил исход k, то
|
|
N |
A1(k) = {(l1l2 . . . ln) : l1 = k}, |
2 |
X |
P(A1(k)) = |
pk pl2 · · · pln = pk . |
l ,...,ln=1
Более общий случай:
Ai1...is (L1, . . . , Ls ) = {(l1l2 . . . ln) : li1 = L1, . . . , lis = Ls },
P(Ai1...is (L1, . . . , Ls )) = pL1 pL2 · · · pLs .
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
23 / 67 |
Последовательности испытаний
Последовательность независимых испытаний
Теорема: События A = Ai1...is (L1, . . . , Ls ) и B = Bj1 ...jt (L′1, . . . , L′t ),
независимы, если (i1 . . . is ) ∩ (j1 . . . jt ) = .
Доказательство в частном случае. Пусть
|
A = {(l1 . . . ln) : l1 = 2}, |
B = {(l1 . . . ln) : l2 = 1, l4 = 3}. |
||||||||||||||||
Тогда |
|
AB = {(l1 . . . ln) : l1 = 2, l2 = 1, l4 = 3}. |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
X |
|
|
1 |
3 |
5X |
pl1 p2pl3 p3pl5 pl6 · · · pln = p1p3 |
|||||||||||
P(A) = |
p2pl2 · · · pln = p2, |
P(B) = |
|
|||||||||||||||
l ,...,ln=1 |
|
|
l |
,l |
,l ,l6,...,ln=1 |
|||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
p2p1pl3 p3pl5 · · · pln = p2p1p3 |
P(AB) = P(A)P(B). |
|||||||||||||||
P(AB) = |
||||||||||||||||||
|
l2,l5,l6,...,ln=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(ФКН ВГУ) |
|
Теор. вер. и мат. стат. |
24 / 67 |
|||||||||||||||
Последовательности испытаний Последовательность независимых испытаний
Испытания Бернулли
Независимые испытания при N = 2 называют испытаниями Бернулли. Исходы 1 и 2 называют “успехом” (1) и “неудачей” (0), и их вероятности p1 и
p2 полагают равными p и q = 1 − p.
Элементарные события цепочки вида (из n элементов)
110001 . . . 1.
Вероятность:
P(110001 . . . 1) = pmqn−m,
где m число успехов (1).
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
25 / 67 |
Последовательности испытаний Последовательность независимых испытаний
Испытания Бернулли
Пусть задано вероятностное пространство (Ω, U, P).
µn = µn(110001 . . . 1) случайная величина, равная числу успехов в первых n испытаниях схемы Бернулли.
µ4 = µ4(1101) = 3, µ4 = µ4(0000) = 0
Найдем вероятности событий
{µn = m} = {(110001 . . . 1) : µn(110001 . . . 1) = m}.
Теорема
Если µn число успехов в n испытаниях Бернулли, то
P(µ |
n |
= m) = p |
(m) = C mpmqn−m, m = 0, 1, . . . , n. |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
26 / 67 |
Последовательности испытаний Последовательность независимых испытаний
Полиномиальная схема
Для схемы испытаний с произвольным N введем случайные величины ξk , равные числам исходов k, k = 1, 2, . . . , N.
|
n! |
|
|
P(ξ1 = m1, ξ2 = m2, . . . , ξN = mN ) = |
|
p1m1 |
· · · pNmN , |
m1! · · · mN ! |
|||
где m1, m2, . . . , mN неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию m1 + m2 + · · · + mN = n.
Вероятность каждой цепочки:
p1m1 p2m2 · · · pNmN .
m1 |
m2 |
mN |
|
n! |
Cn |
Cn−m1 |
· · · Cn−m1−···−mN−1 |
= |
m1!m2! · · · mN ! |
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
27 / 67 |
Последовательности испытаний Предельные теоремы в схеме Бернулли
Предельные теоремы в схеме Бернулли
n 1
Теорема Пуассона
Если n → ∞ и p → 0 так, что np → λ, 0 < λ < ∞, то
P(µn = m) = C mpmqn−m → λm e−λ
n m!
при любом постоянном m, m = 0, 1, 2, . . .
Часто эта формула используется при n > 100 и np < 30.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
28 / 67 |
Последовательности испытаний Предельные теоремы в схеме Бернулли
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Если n → ∞, p (0 < p < 1) постоянно, величина
x = |
m − np |
( |
< a 6 x 6 b < |
|
) |
||||||
m |
√ |
npq |
|
|
|
−∞ |
|
|
m |
∞ |
|
ограничена равномерно по m и n, то |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
/2(1 + αn(m)), |
|||||
P(µn = m) = |
√ |
|
e−xm |
||||||||
2πnpq |
|||||||||||
√
где |αn| < C / n при xm
Формулу P(µn = m) ≈ e npq > 20.
n → ∞ m → ∞.
m и n должны отличаться не очень сильно.
Для P(µn = 0) локальная теорема дает плохое приближение.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
29 / 67 |
Последовательности испытаний Предельные теоремы в схеме Бернулли
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Если p (0 < p < 1) постоянно, то при n → ∞ величина
|
√npq |
− √2π Za |
b |
→ |
|
||||||
|
|
||||||||||
P a 6 |
µn − np |
6 b |
1 |
|
e−x2/2dx |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
равномерно по a и b, −∞ 6 a 6 b 6 ∞.
Приближенная формула
|
√npq |
≈ √2π |
b |
|
|
Za |
|
||||
P a 6 |
µn − np |
6 b |
1 |
e−x |
2/2dx |
используется в тех случаях, когда возможно использование формулы
P(µn = m) ≈ e−xm2 /2/√2πnpq.
(ФКН ВГУ) |
Теор. вер. и мат. стат. |
30 / 67 |